1、第 32 课时轴对称第七单元图形与变换轴对称轴对称图形定义把一个图形沿着某一条直线翻折,如果它能够与另一个图形,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴.翻折后重合的点是对应点,叫对称点把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么称这个图形是 ,这条直线叫做它的对称轴.这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称区别轴对称是指全等图形之间的相互位置关系轴对称图形是指具有特殊形状的图形考点一轴对称与轴对称图形的基本概念和性质考点聚焦重合重合轴对称图形轴对称图形两个两个一个一个（续表）轴对称轴对称图形联系(1)如果把成轴对称的两个图形看成一
2、个整体(一个图形),那么这个整体就是一个轴对称图形;(2)如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形,那么这两部分图形就成轴对称基本图形轴对称的性质(1)对应点的连线被对称轴;(2)对应线段;(3)对应线段或延长线的交点在上;(4)成轴对称的两个图形 垂直平分垂直平分相等相等对称轴对称轴全等全等考点二轴对称相关的作图考点二轴对称相关的作图1.对称轴的画法对称轴的画法在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中,连接其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线,即为所求作的对称轴.注意:有的轴对称图形只有一条对称轴,有的不止一条,要画出所有的对称轴.2.作出点A关于直线m对称的点A作法:如图32
3、-1所示:(1)以点A为圆心,适当的长为半径画圆弧.使圆弧与直线m交于C,D两点.(2)分别以点C,D为圆心,大于CD的长为半径画圆弧,设两条圆弧交于点E.(3)作射线AE,交直线m于点F.(4)在射线AE上截取FA=FA.点A即为所求.说明:要作出一个图形关于坐标轴(或直线)成轴对称的图形,只需作出各顶点的对称点,再顺次连接各对称点即可.图32-1考点三常见的轴对称和轴对称图形考点三常见的轴对称和轴对称图形1.平面直角坐标系中的轴对称平面直角坐标系中的轴对称(1)(a,b)(a,-b)(2)(a,b)(-a,b)2.常见的轴对称图形常见的轴对称图形(1)英文字母:A,B,C,D,E,H,(2
4、)中文:日,目,木,土,十,士,中,(3)数字:0,3,8,(4)图形:说明:圆有无数条对称轴,正n边形有n条对称轴.图32-2题组一必会题对点演练答案C解析判断一个图形是不是轴对称图形,就是看有没有这样一条直线,使图形上的任何一点关于这条直线的对称点都在这个图形上.1.八上P72复习题第1题改编下列图形中,不属于轴对称图形的是()图32-3答案B解析既是轴对称图形又是中心对称图形,共3个.2.八下P62习题第1题改编下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有()A.2个B.3个C.4个D.5个图32-43.在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于x轴对称,则()A.m=3,n
5、=2B.m=-3,n=2C.m=2,n=3D.m=3,n=-2D题组二易错题【失分点】不明白折叠的实质是轴对称导致的错误;不能利用轴对称解决最短路线问题.4.2018衢州如图32-5,将矩形ABCD沿GH折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E处,若AGE=32,则GHC等于()A.112B.110C.108D.106图32-5D图32-6答案D考向一轴对称图形的概念例例12019泰州下列图形中的轴对称图形是()图32-7B|考向精练|D1.2019武汉现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性,下列美术字是轴对称图形的是()2.2018无锡下列图形中的五边形ABCDE都
6、是正五边形,则这些图形中的轴对称图形有()A.1个B.2个C.3个D.4个图32-8D3.2019泰安下列图形:其中,是轴对称图形且有两条对称轴的是()A.B.C.D.图32-9答案A解析四个图形中,轴对称图形有:,其中图有2条对称轴,图有2条对称轴,图有4条对称轴,故选A.考向二轴对称的性质例例22019台湾如图32-10,ABC中,D点在BC上,将D点分别以AB,AC为对称轴,画出对称点E,F,并连接AE,AF.根据图中标示的角度,求EAF的度数为()A.113B.124C.129D.134图32-10答案D解析连接AD,D点分别以AB,AC为对称轴,画出对称点E,F,EAB=BAD,FA
7、C=CAD,B=62,C=51,BAC=BAD+DAC=180-62-51=67,EAF=2BAC=134,故选D.|考向精练|1.平面直角坐标系中,点P(1,-2)关于x轴的对称点的坐标为()A.(1,2)B.(-1,-2)C.(-1,2)D.(-2,1)A2.2019河北如图32-11,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形,使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为()A.10B.6C.3D.2答案C解析如图所示,n的最小值为3.图32-113.2019吉林如图32-12,在四边形ABCD中,AB=10,BDAD,若将BCD沿
8、BD折叠,点C与边AB的中点E恰好重合,则四边形BCDE的周长为.答案20图32-12考向三轴对称的作图例例32019龙东地区如图32-13,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系中,OAB的三个顶点O(0,0),A(4,1),B(4,4)均在格点上.(1)画出OAB关于y轴对称的OA1B1,并写出点A1的坐标;(2)画出OAB绕原点O顺时针旋转90后得到的OA2B2,并写出点A2的坐标;(3)在(2)的条件下,求线段OA在旋转过程中扫过的面积(结果保留).图32-13解:(1)OA1B1如图所示,A1(-4,1).例例32019龙东地区如图32-13,正方形网格中
9、,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系中,OAB的三个顶点O(0,0),A(4,1),B(4,4)均在格点上.(2)画出OAB绕原点O顺时针旋转90后得到的OA2B2,并写出点A2的坐标;图32-13(2)OA2B2如图所示,A2(1,-4).例例32019龙东地区如图32-13,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系中,OAB的三个顶点O(0,0),A(4,1),B(4,4)均在格点上.(3)在(2)的条件下,求线段OA在旋转过程中扫过的面积(结果保留).图32-13考向四轴对称的综合应用 微专题角度角度1图形的翻折图形的翻折例例42019甘肃如图
10、32-14,在矩形ABCD中,AB=10,AD=6,E为BC上一点,把CDE沿DE折叠,使点C落在AB边上的F处,则CE的长为.图32-14例例5 如图32-15,点A,B在直线l的同侧,点B是点B关于直线l的对称点,AB交直线l于点P.(1)AB与AP+PB相等吗?为什么?(2)在直线l上再取一点Q,连接AQ和QB,比较AQ+QB与AP+PB的大小,并说明理由.角度角度2用轴对称解决图形最短路径问题用轴对称解决图形最短路径问题图32-15解:(1)AB=AP+PB.理由:因为点B是点B关于直线l的对称点,所以PB=PB,所以B=AP+PB=AP+PB.例例5 如图32-15,点A,B在直线l
11、的同侧,点B是点B关于直线l的对称点,AB交直线l于点P.(2)在直线l上再取一点Q,连接AQ和QB,比较AQ+QB与AP+PB的大小,并说明理由.图32-15(2)AQ+QBAP+PB.理由:如图,在l上另取异于点P的一点Q,连接QB.在AQB中,AQ+QBAB.由(1)知AB=AP+PB,又QB=QB,所以AQ+QBAP+PB.【方法点析】轴对称与最短距离基本题引入:如图32-16,要在公路a上修建一个加油站,有A,B两人要去加油站加油.加油站修在公路的什么地方,可使两人到加油站的总路程最短?分析:如图,我们可以把公路a近似地看成一条直线,问题就是要在a上找一点M,使AM与BM的和最小.设
12、点A是点A关于直线a的对称点,本题也就转化为求使AM与BM的和最小的点M的位置.在连接AB的线中,线段AB最短.因此,线段AB与直线a的交点M的位置即为所求.图32-16利用这个基本图形,可以解决如下一些问题:(1)两条直线间的对称(如图32-17).(2)三角形中的对称(如图32-17).(3)四边形中的对称(如图32-18).(4)圆中的对称(如图32-18).图32-17图32-18|考向精练|图32-19答案B图32-20答案B3.(1)观察发现:如图32-21,若点A,B在直线l同侧,在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小.作法如下:作点B关于直线l的对称点B,连接AB,与直线l的交点就是所求的点P.再如图,在等边三角形ABC中,AB=2,E是AB的中点,AD是高,在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.作法如下:作点B关于AD的对称点B,恰好与点C重合,连接CE交AD于点P,则点P就是所求的点,故BP+PE的最小值为.图32-21图32-22图32-23图32-22图32-23(3)作点B关于AC的对称点E,连接DE并延长交AC于点P,连接BP,则APB=APD.
