1、直线参数方程及其应用直线参数方程及其应用湖南省衡阳市衡东二中刘长征l000已知直线 过点M(x,y)，倾斜角，则直线则直线 的参数方程为：的参数方程为：M0(x0,y0)xOy00cossinxxttyyt（为参数）l1.直线参数方程的标准形式：直线参数方程的标准形式：基础知识基础知识M0(x0,y0)M(x,y)e(cos,sin)0M M xOy 在直线在直线 上上任任取一点取一点M(x,y),则则00(,)xxyyel设 是直线 的单位方向向量，则(cos,sin)e00/,M MetRM Mte 因为所以存在实数使即00(,)(cos,sin)xxyyt00cos,sinxxtyyt0
2、0cos,sinxxtyyt即，ll000已知直线 过点M(x,y)，倾斜角，则直线则直线 的参数方程为：的参数方程为：M0(x0,y0)M(x,y)xOy00cossinxxttyyt（为参数）注注：（：（1）通常把上述参数方程称为直线）通常把上述参数方程称为直线 的标准参数方程；的标准参数方程；（2）方程中为常量，）方程中为常量，为变量；为变量；（3）以）以 为坐标的点为上为坐标的点为上的点，当的值确定，则点确定，的点，当的值确定，则点确定，取不同的值，表示上不同的点。取不同的值，表示上不同的点。ll00,xy,xy t(,)x ylttl|t|=|M0M|xyOM0Me0M Mte 0M
3、 Mte 1ee又是单位向量，0M Mt e t所以所以,直线参数方程中参直线参数方程中参数数t t的绝对值等于直线上的绝对值等于直线上动点动点M M到定点到定点M M0 0的距离的距离.这就是这就是t的几何的几何意义意义,要牢记要牢记t的几何意的几何意M0(x0,y0)M(x,y)xOy2.直线直线标准参数标准参数方程中参数的几何意义方程中参数的几何意义00 xxcos()yysintttl直线 的参数方程为参数00000t(1).,),).(2).tMxyM x ytM M 表示几何意义：表示（到直线上的点（的有向线段 的数量注意注意:t的正负，当在上方时，的正负，当在上方时，t0;当在下
4、方时，当在下方时，t0;当当与重合时，与重合时，t=0.0M0M0M基础知识基础知识t的几何意的几何意M0（x0，y0）M（x，y）xyO是参数）ttyytxx(sincos00 （3 3）设）设A,BA,B为直线上任意两点，它们所对为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为应的参数值分别为t t1 1,t,t2 2.|AB|AB|M M是是ABAB的中点，求的中点，求M M对应的参数值对应的参数值21tt 221tt AB012,00Mttt特别，若为中点 其中点其中点(x0,y0)为直线上定点为直线上定点,若直线的若直线的斜率为斜率为00()xxa ttyyb t为参数 当且仅当当且仅当a
5、 a2 2+b+b2 2=1=1 且且 b0b0才是标准形式，才是标准形式，t t才具有上述几何意义；才具有上述几何意义；3.直线参数方程的一般形式：直线参数方程的一般形式：基础知识基础知识bka注意：注意：a0022022|,(0,0|axxtabababbyytab取 正 号取 负 号）标准形式为标准形式为22220,0,;btab tbtab t当时，时若若 A,B是直线上两点，则是直线上两点，则|AB|=22|ABABttabtt1121()32xttyt、已知直线的参数方程为为参数将其化为普通方程。将将其其化化为为标标准准形形式式。为为参参数数为为、已已知知直直线线的的参参数数方方程
6、程)(3512ttytx 牛刀小试牛刀小试sin203(cos20ooxttyt 3.直线为参数）的倾斜角是_.20oA.70oB.110oC.160oD1121()32xttyt、已知直线的参数方程为为参数将其化为普通方程。牛刀小试牛刀小试330 xy 将将其其化化为为标标准准形形式式。为为参参数数为为、已已知知直直线线的的参参数数方方程程)(3512ttytx 牛刀小试牛刀小试330 xy 牛刀小试牛刀小试sin203(cos20ooxttyt 3.直线为参数）的倾斜角是_.20oA.70oB.110oC.160oD21.:10l xyyx 例 已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的
7、长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。分析分析:3.点点M是否在直线上是否在直线上1.用普通方程去解还用普通方程去解还是用参数方程去解是用参数方程去解;2.分别如何解分别如何解.ABM(-1,2)xyO例题选讲例题选讲212(222xtltyt 参数方程为：为参数）把它代入抛物线把它代入抛物线y=xy=x2 2的方程的方程,得得2220tt t由参数 的几何意义得1210ttAB121 22MAMBttt tABM(-1,2)xyO222121tttt,参数方程求解1122(,),(,),x yB xy设21 0 xx 212121222()410,xxxxx xAB222211221
8、 212(1)(2)(1)(2)212MA MBxyxyx xxx ABM(-1,2)xyO12121,1xxx x 普通方程求解210 xyyx 由得例例2：在直角坐标系：在直角坐标系xoy中，已知直线的参数中，已知直线的参数方程为方程为 ，以原点，以原点o为极点，为极点，x轴轴非非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于、两程为，直线与曲线交于、两点。点。（1）求的长；）求的长；（2）若点的极坐标系为，求中点）若点的极坐标系为，求中点到点的距离。到点的距离。l3(1xttyt 为参数）2cos21lAB(1,)2例题选讲例题选讲解
9、解:(1)将曲线的极坐标方程化为普通方程为：将曲线的极坐标方程化为普通方程为：l221xy32,(112xttyt 为参数）将直线的参数方程化为标准形式为：将直线的参数方程化为标准形式为：将的标准参数方程代入得：将的标准参数方程代入得：2240tt所以所以212121 2()42 5ABttttt tl221xy设其根为设其根为12,t t(2)A,B中点对应参数，则中点对应参数，则Mt1212Mttt所以点坐标为所以点坐标为,3 3(,)22点的直角坐标为点的直角坐标为(0,1)2233(0)(1)122PM（1）另解：）另解：把代入得：把代入得：3(1xttyt 为参数）221xy210t
10、t 设其根为设其根为12,t t212121 23 12()42 5ABttttt t所以所以1.直线参数方程的标准式直线参数方程的标准式0cos(sinttyyt0 x=x是参数）|t|=|M0M|00(xxattyybt为参数）2.直线参数方程的一般式直线参数方程的一般式|tbaMM220|212221ttbaMM课堂小结课堂小结课后练习课后练习1.求过点(6,7),倾斜角的余弦值是的直线的标准参数方程.2.直线的方程：（t为参数），那么直线的倾斜角()A 65 B 25 C 155 D 1153.直线的方程：（t为参数）A、B是直线上的两个点，分别对应参数值、，那么|AB|等于()A B C D4.已知直线：(t为参数)与直线m：交于P点，求点M(1,5)到点P的距离.5.直线(t为参数)与椭圆交于A、B两点，则|AB|等于()A 2 B C 2 D 25cos225sin1tytxbtyyatxx002221battl t351ytx032 yxt 21ytx8222yx3343612tt12tt12tt1t2t
