1、2.2.2 2.2.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 复习：复习：21.椭圆的定义椭圆的定义:到到两定点两定点F1、F2的距离和的距离和为为常数（大于常数（大于|F1F2|）的）的点点的轨迹的轨迹叫做叫做椭圆椭圆。2.椭圆的标准方程是：椭圆的标准方程是：3.椭圆中椭圆中a,b,c的关系是的关系是a2=b2+c20 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2焦点在焦点在x 轴上轴上12yoFFMx2 22 22 2c cb ba a椭圆的标准方程椭圆的标准方程0 0b ba a 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2焦点在焦点在y 轴上轴上2
2、22 22 2c cb ba ayo1FF2x.F F1 1(-c(-c，0)0)F F2 2(c(c，0)0)F F1 1(0(0，c)c)F F2 2(0(0，-c)-c)AxAx2 2ByBy2 21 1（A A0 0，B B0 0，ABAB）椭圆的一般方程椭圆的一般方程一、椭圆的范围一、椭圆的范围即即-axa -b yb结论：椭圆位于直线结论：椭圆位于直线x xa a和和y yb b围成围成的矩形里的矩形里 oxy-aab-b22222222111xyxyabab由和xayb即：和6YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）22221(0)xyabab关于关于
3、x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称关于关于原点对称原点对称二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性yOF1F2x二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性结论：结论：椭圆既是轴对称图形，椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形又是中心对称图形对称轴是对称轴是x轴轴和和y轴，轴，对称中心是对称中心是原点原点中心中心：椭圆的对称中心叫做：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心椭圆的中心8从图形上看，椭圆关于从图形上看，椭圆关于x x轴、轴、y y轴、原点对称。轴、原点对称。从方程上看：从方程上看：（1 1）把）把x x换成换成-x-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y y轴对称；轴对称；（2 2）把）把y y换成换成-y-
4、y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x x轴对称；轴对称；（3 3）把）把x x换成换成-x-x，同时把，同时把y y换成换成-y-y方程不变，图象关于原点成中方程不变，图象关于原点成中心对称。心对称。即即标准方程的椭圆标准方程的椭圆是以是以坐标轴为对称轴坐标轴为对称轴，坐标原点坐标原点为为对称中心对称中心。练习：练习：1.已知点已知点P(3，6)在在 上上,则则()22221xyab(A)点点(-3,-6)不在椭圆上不在椭圆上 (B)点点(3,-6)不在椭圆上不在椭圆上(C)点点(-3,6)在椭圆上在椭圆上(D)无法判断点无法判断点(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在椭圆上是否
5、在椭圆上C三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点顶点顶点：椭圆椭圆与它的与它的对称轴对称轴的的四个交点四个交点，叫做椭，叫做椭圆的圆的顶点顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)令令x=0,x=0,得得y=y=？说明椭圆？说明椭圆与与y y轴轴的交点为的交点为(0,b)(0,b)、(0,-b)(0,-b)2 22 22 22 2x xy y+=1 1(a a b b 0 0)a ab b令令y=0,y=0,得得x=x=？说明椭圆？说明椭圆与与x x轴轴的交点为的交点为(a,0)(a,0)、(-a,0)(-a,0)三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点长轴、短轴：长轴、短轴：线段线段
6、A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长长轴轴和和短轴短轴。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2a a、b b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长。思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？焦点落在椭圆的长轴上焦点落在椭圆的长轴上椭圆的椭圆的长轴长长轴长为为2a2a,短轴长短轴长为为2b2b。长轴：线段长轴：线段A1A2；长轴长长轴长|A1A2|=2a短轴：线段短轴：线段B1B2；短轴长短轴长|B1B2|=2b焦焦 距距|F1F2|=2c a a2 2=b=b2 2+c
7、+c2 2，oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a,0)A1(-a,0)bac椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质aF2F1|B2F2|=a；注意注意 由椭圆的由椭圆的范围范围、对称性对称性和和顶点顶点，再进行描点画图，只须描出较少的再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形点，就可以得到较正确的图形.小小 结结：4、椭圆的离心率椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量刻画椭圆扁平程度的量)ace 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：0ec0，所以0 e 1.2210,ceca
8、abac当当椭椭圆圆扁扁2200,cecabaca当当椭椭圆圆圆圆离心率越大，椭圆越扁离心率越小，椭圆越圆Oxyabc2离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a，从而，从而 b就越小，就越小，椭圆就越椭圆就越扁扁2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，从而，从而 b就越大，就越大，椭圆就越椭圆就越圆圆15思考：当思考：当e0时，曲线是什么？当时，曲线是什么？当e1时曲线又是时曲线又是 什么？什么？如果a=b，则c=0，两个焦点重合，椭圆的标准方程就变为圆的方程：e=0，这时两个焦点重合，图形变为圆 e=1,为线段。222xy
9、a3e与与a,b的关系的关系:222221ababaace16小试身手：小试身手：2.说出椭圆说出椭圆 的范围的范围,长轴长轴长长,短轴长短轴长,焦点坐标焦点坐标,顶点坐标顶点坐标:221916xy33,44xy 28,26ab(0,7)(0,4),(3,0)练习：练习：3.比较下列每组中两个椭圆的形状比较下列每组中两个椭圆的形状,哪一个更扁哪一个更扁?22222(1)19161221610 xxyxy222y+=1与；5y（）x+=1与。2根据：离心率根据：离心率e e越大，椭圆越扁；越大，椭圆越扁；离心率离心率e e越小，椭圆越圆越小，椭圆越圆19例1已知椭圆方程为16x2+25y2=40
10、0,108635(3,0)(5,0)(0,4)80分析：椭圆方程转化为标准方程为：分析：椭圆方程转化为标准方程为：2222162540012516xyxya=5 b=4 c=3 oxy ox y 它的长轴长是：它的长轴长是：。短轴长是。短轴长是：。焦距是焦距是 。离心率等于离心率等于：。焦点坐标是：焦点坐标是：。顶点坐标是：。顶点坐标是：。外切矩形的面积等于：外切矩形的面积等于：。2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=6,e=(1)a=6,e=,焦点在焦点在x x轴上轴上(2)(2)离心率离心率 e=0.8,e=0.8,焦距为焦距为8 8求椭圆的标准方程时求椭
11、圆的标准方程时,应应:先定位先定位(焦点焦点),再定量（再定量（a、b）当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！311323622yx192519252222xyyx或 练习练习2 2：过适合下列条件的椭圆的标准方程：过适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 1）经过点）经过点 、；（2 2）长轴长等于）长轴长等于 ,离心率等于离心率等于 (3,0)P(0,2)Q2035解解:（1 1）由题意，）由题意，,又又长轴在长轴在轴上，所以，椭圆的标准方程为轴上，所以，椭圆的标准方程为 3a 2b x22194xy（2 2）由已知，由已知，所以椭圆的标准方程为所
12、以椭圆的标准方程为 或或 220a 35cea10a 6c 22210664b 22110064xy22110064yx(0,6 2)81922 yx18186 66 26 22 22 23 3(0,9)(3,0)课前练习课前练习1练习练习 求经过点求经过点P P(4,1)(4,1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2 2倍的椭圆的标准方程倍的椭圆的标准方程.2 55ab得：2221611abab22222222若若焦焦点点在在x x轴轴上上，设设椭椭圆圆方方程程为为:xyxy+=1(a b 0)+=1(a b 0)，abab依依题题意意有有：解：解：2222xyxy故故椭椭圆圆方方程程为为:+=1.:+=1.20520522221(0)xyabab22221(0)yxabab|x|a,|y|b|x|b,|y|a关于关于x轴轴，y轴，原点对称轴，原点对称（a,0 ）;(0,b)（b,0）;(0,a)(c,0)(0,c)长半轴长为长半轴长为a,短半轴长为短半轴长为b.焦距为焦距为2ca2=b2+c2 ab0 ac0cea xyA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)一个框，四个点，一个框，四个点，注意光滑和圆扁注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现莫忘对称要体现课堂小结课堂小结)0(12222 babyax
