1、2.2.2 2.2.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 0 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2焦点在焦点在x 轴上轴上12yoFFMx2 22 22 2c cb ba a椭圆的标准方程椭圆的标准方程0 0b ba a 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2焦点在焦点在y 轴上轴上2 22 22 2c cb ba ayo1FF2x.F F1 1(-c(-c，0)0)F F2 2(c(c，0)0)F F1 1(0(0，c)c)F F2 2(0(0，-c)-c)AxAx2 2ByBy2 21 1（A A0 0，B B0 0，ABAB）椭圆的一
2、般方程椭圆的一般方程一、椭圆的范围一、椭圆的范围即即-axa -b yb结论：椭圆位于直线结论：椭圆位于直线x xa a和和y yb b围成围成的矩形里的矩形里 oxy-aab-b22222222111xyxyabab由和xayb即：和yOF1F2x二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性结论：椭圆既是轴对称图形，结论：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形又是中心对称图形对称轴是对称轴是x轴轴和和y轴，轴，对称中心是对称中心是原点原点中心中心：椭圆的对称中心叫做：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心椭圆的中心小试身手：小试身手：1.已知点已知点P(3，6)在在 上上,则则()22221xyab(A)点点(-3
3、,-6)不在椭圆上不在椭圆上 (B)点点(3,-6)不在椭圆上不在椭圆上(C)点点(-3,6)在椭圆上在椭圆上(D)无法判断点无法判断点(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在椭圆上是否在椭圆上C三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点顶点顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的圆的顶点顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)令令x=0,x=0,得得y=y=？说明椭圆？说明椭圆与与y y轴轴的交点为的交点为(0,b)(0,b)、(0,-b)(0,-b)2 22 22 22 2x xy y+=1 1(a a b b 0 0)a
4、ab b令令y=0,y=0,得得x=x=？说明椭圆？说明椭圆与与x x轴轴的交点为的交点为(a,0)(a,0)、(-a,0)(-a,0)三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点长轴、短轴：长轴、短轴：线段线段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长长轴轴和和短轴短轴。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2a a、b b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长。思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？焦点落在椭圆的长轴上焦点落在椭圆的长轴上长轴：线段长轴：线段A1A2；长轴长长轴长|A1
5、A2|=2a短轴：线段短轴：线段B1B2；短轴长短轴长|B1B2|=2b焦焦 距距|F1F2|=2c a a2 2=b=b2 2+c+c2 2，oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a,0)A1(-a,0)bac椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质aF2F1|B2F2|=a；注意注意 由椭圆的由椭圆的范围范围、对称性对称性和和顶点顶点，再进行描点画图，只须描出较少的再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形点，就可以得到较正确的图形.小小 结结：离心率：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比c ce=e=a a椭圆的离心率椭圆的离心率 ,叫做叫做四、椭圆的离心率
6、四、椭圆的离心率1离心率的取值范围离心率的取值范围：因为：因为 a c 0，所以，所以0e0 ac0cea xyA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)一个框，四个点，一个框，四个点，注意光滑和圆扁注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现莫忘对称要体现课堂小结课堂小结)0(12222 babyax小试身手：小试身手：2.说出椭圆说出椭圆 的范围的范围,长轴长轴长长,短轴长短轴长,焦点坐标焦点坐标,顶点坐标顶点坐标:221916xy33,44xy 28,26ab(0,7)(0,4),(3,0)例求椭圆例求椭圆16x16x2 2+25y+25y2 2=400=400的长轴和短轴的长、的长
7、轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标并画出简图离心率、焦点和顶点坐标并画出简图解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程1452222yx这里，这里，31625,4,5cba椭圆的长轴长和短轴长分别是椭圆的长轴长和短轴长分别是82,102ba离心率离心率6.053ace四个顶点坐标分别为四个顶点坐标分别为)4,0(),4,0(),0,5(),0,5(2121BBAA焦点坐标分别为焦点坐标分别为0,3,0,321FF基本量：基本量：a a、b b、c c、e e、（共四个量）、（共四个量）基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）练习练习 求经过点求经
8、过点P P(4,1)(4,1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2 2倍的椭圆的标准方程倍的椭圆的标准方程.2 55ab得：2221611abab22222222若若焦焦点点在在x x轴轴上上，设设椭椭圆圆方方程程为为:xyxy+=1(a b 0)+=1(a b 0)，abab依依题题意意有有：解：解：2222xyxy故故椭椭圆圆方方程程为为:+=1.:+=1.205205练习练习 求经过点求经过点P P(4,1)(4,1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2 2倍的椭圆的标准方程倍的椭圆的标准方程.解：解：若若焦焦点点在在y y轴轴上上，所所以以椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为：
9、222211.65205654xyyx或同同理理求求得得椭椭圆圆方方程程为为：2241.6565yx12516.1251611625.11625.1169.2222222222 yxDyxyxCyxByxA或或复习练习：复习练习：1.1.椭圆的长短轴之和为椭圆的长短轴之和为1818，焦距为，焦距为6 6，则椭圆，则椭圆的标准方程为（的标准方程为（）2、下列方程所表示的曲线中，关于、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和轴和y 轴轴都对称的是（都对称的是（）A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0 C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=4CD例例2 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条
10、件的椭圆的标准方程：1.经过点经过点P（3,0）、）、Q（0，2）；）；2.长轴的长等于长轴的长等于20，离心率等于，离心率等于 .53注意：焦点落在椭圆的长轴上注意：焦点落在椭圆的长轴上注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，必须讨论两种情况必须讨论两种情况练习练习 2.离心率为离心率为 ,且过点且过点(2,0)的椭圆的标准的椭圆的标准方程为方程为 多少多少?3222221;1.4416yxxy22.5510,5mxymem例1已知椭圆的离心率求 的值。261椭圆标准方程椭圆标准方程)0(12222babyax所表示的椭圆的存在范围是什么？所表示的椭圆的存在范围是
11、什么？2上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？3椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？4对称轴与长轴、短轴是什么关系？对称轴与长轴、短轴是什么关系？52a 和和 2b是什么量？是什么量？a和和 b是什么量？是什么量？6关于离心率讲了几点？关于离心率讲了几点？回回 顾顾5.5.已知椭圆的一个焦点为已知椭圆的一个焦点为F F（6 6，0 0）点）点B B，C C是短是短轴的两端点，轴的两端点，FBCFBC是等边三角形，求这个椭圆是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。的标准方程。6、已知椭圆、已知椭圆G的中心在坐标
12、原点，长轴在轴的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上，离心率为，且G上一点到上一点到G的两个焦点的两个焦点的距离之和为的距离之和为12，求椭圆，求椭圆G的方程。的方程。x23x7、课本例、课本例5变式：变式：已知椭圆的左右焦点分别为已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点，点P在椭圆上，若在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角是一个直角三角形的三个顶点，求点形的三个顶点，求点P到轴的距离。到轴的距离。191622yxx10:2222byaxCByAx，直线和椭圆方程分别为直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系：共点。直线和椭圆相离，无公个公共点；直线和椭圆相切，有一个公共点；直线和椭圆
13、相交，有两，则的判别式为若二次方程000010/2/2222cxbxabyaxCByAx则由 yoF1F2x yoF1F2x yoF1F2x.1416,023)2(;1425,025103112222yxyxyxyx）（交点坐标：、求下列直线和椭圆的一、直线和椭圆的位置关系一、直线和椭圆的位置关系通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。).3770,3748(,2,0)2(;5831）（），）（2、弦长公式：、弦长公式：mkxyyxf0)(，)0(02acbxaxy 得：消去，则，弦端点
14、设)()(2211yxByxA221221)()(|yyxxAB221221)()(kxkxxx|1212xxk2122124)(1xxxxkacabk4)(122|1|2akABmkxyyxf0)(，)0(02acybyax 得：消去|11|2akAB弦所在的直线方程。）求被椭圆截得的最长（的范围；点时，求）当直线与椭圆有公共（，及直线练习：已知椭圆211422mmxyyxxyO121代入椭圆将解：mxy)1(01)(422mxx012522mmxx直线与椭圆有公共点，0)1(20422mm2525m点时，直线与椭圆有公共所以当2525m弦所在的直线方程。）求被椭圆截得的最长（的范围；点时，
15、求）当直线与椭圆有公共（，及直线练习：已知椭圆211422mmxyyxxyO121AB代入椭圆将mxy)2(012522mmxx由弦长公式得：5)1(20411|1|2222mmakAB245522m5102|0maxABm时，当xy 此时，直线方程为.241936.222方程在直线）平分，求此弦所，（被点的弦已知椭圆例MAByx.036)42(4)21(16)41(222kxkkxk4)41(2)21(1620221kkkxxxM.21k解得得由1936)4(222yxxky.AxyOMB)4(2xky存在，设解：由题意知直线斜率082)4(212:yxxy即所以所求直线方程为.241936
16、.222方程在直线）平分，求此弦所，（被点的弦已知椭圆例MAByx.AxyOMB另解：，设)()(2211yxByxA21936 1 193622222121yxyx则09)(36)(2 1 21212121yyyyxxxx得：由21212121369yyxxxxyy即.212241MMAByxk.22)(0)()(0)()(1212121yyyxxxyxfyxfyxMxy，由韦达定理得一元二次方程椭圆，直线，则由，：设弦中点为解求弦中点的方法或消21 1 1222222221221byaxbyax则，：设弦中点为解)()()(22211yxByxAyxM0)()(2 1 2212122121
17、byyyyaxxxx得：由差分法差分法求椭圆方程。，且于与椭圆交直线已知椭圆方程为例,1,14:32222OBOABAxybybxAxyOB),(),(2211yxByxA解：设02121yyxxOBOA得：则由222441byxxy由2224)1(4bxx0448522bxx整理得：5445822121bxxxx由韦达定理得)1)(1(2121xxyy12121xxxx5412b054154422bb852b1585222yx椭圆方程为0直线与椭圆直线与椭圆：（2 2）弦长问题）弦长问题|1|2akAB（3 3）弦中点问题）弦中点问题（4 4）与垂直有关的问题）与垂直有关的问题（1 1）直线
18、与椭圆位置关系）直线与椭圆位置关系韦达定理或设点作差法.2,1941.:22的弦长斜率为的焦点求过椭圆练习yx.,)0,1(1492.22求弦的中点的轨迹方程引弦内一定点过椭圆yx.,124)1,1(.322所在的直线方程求的中点的弦是椭圆若ABAByxM?,12:,:122相离相交相切与椭圆直线为何值时当例yxmxylm的长。求两点，直线与椭圆相交于的直线倾斜角为作的左焦点、经过椭圆ABBAlFyx,60122122通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标，解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标，然后利用两点间的距离公式求线段
19、长度。然后利用两点间的距离公式求线段长度。)1(3:)0,1(11,21222xylFcba解：04127;12)1(3222xxyxxy得：由）（）（可求得交点坐标为：7623,7226,7623,7226728)764()724(22 AB)1(3:)0,1(11,21222xylFcba解：04127;12)1(3222xxyxxy得：由747122121xxxx7284)(2)(2)(3)()()(21221221221221221221xxxxxxxxxxyyxxAB第二种方法是处理直线和椭圆位置关系第二种方法是处理直线和椭圆位置关系的常用方法，利用根与系数的关系，的常用方法，利用根
20、与系数的关系，设出交点坐标，但是不求出，设出交点坐标，但是不求出，从而求出弦长。从而求出弦长。;12222byaxmkxy由212212221222122212212214)()1()(1()()()()(xxxxkxxkxxkxxyyxxAB这种方法称为这种方法称为设而不求设而不求，这个公式叫做这个公式叫做弦长公式弦长公式。;12222byaxmkxy由212212221222122122212214)()11()(11()()(1)()(yyyykyykyyyykyyxxAB4748三、求轨迹方程的问题三、求轨迹方程的问题的轨迹是什么？点在圆上运动时，当点相交于点半径和的垂直平分线是圆上任
21、意一点，线段内一个定点，是圆，的半径为定长圆QPQOPlAPPOArO它是什么曲线。，并说明求动圆圆心的轨迹方程内切，同时与圆外切，一动圆与圆09160562222xyxxyx127361233121021003,4322222221212222yxyxyxPCPCRPCRPCyxyx化简，得：即：两式相加，得：由已知，：解：两圆的标准方程为5253542axcyo左左Fx右右F(,)00P x y5556572axcyo左左Fx右右F(,)00P x y581oFyx2FM2ayc d1.1.对于椭圆的原始方程对于椭圆的原始方程,变形后得到变形后得到 ,再变形为再变形为 .这个方程的几何意义
22、如何？这个方程的几何意义如何？2222()()2xcyxcya+-+=222()acxaxcy-=-+22ycaaxc+=-2（x-c）新知探究新知探究O Ox xy yF FH HM Ml22ycaaxc+=-2（x-c）椭圆上的点椭圆上的点M(xM(x，y)y)到焦点到焦点F(cF(c，0)0)的距的距离与它到直线离与它到直线 的距离之比等于离心率的距离之比等于离心率.2axc=新知探究新知探究2axc=若点若点F F是定直线是定直线l l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F的距离的距离与它与它到直线到直线l l的距离的距离之之比比等于常等于常数数e e(0(0e e1)1)，
23、则点，则点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆.M MF FH Hl新知探究新知探究 直线直线 叫做椭圆相应于焦点叫做椭圆相应于焦点F F2 2(c(c，0)0)的的准线准线，相，相应于焦点应于焦点F F1 1(c c，0)0)的准线方程是的准线方程是2axc=2=-axcO Ox xy yF F2 2F F1 12axc=2=-axc新知探究新知探究椭圆椭圆 的准线方程是的准线方程是222210 xyabbax xF F1 1F F2 2y yO O2=ayc2=-ayc新知探究新知探究M MO Ox xy yF Fl椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是22|abF
24、Mccc=-=新知探究新知探究对于椭圆对于椭圆 222210 xyabba椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是O OM Mx xy y最大值为最大值为a a，最小值为，最小值为b.b.新知探究新知探究椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？O OM Mx xy yF F新知探究新知探究 点点M M在椭圆上运动，当点在椭圆上运动，当点M M在什么位置时，在什么位置时，FF1 1MFMF2 2为最大？为最大？F F1 1O OF F2 2x xy yM M 点点M M为短
25、轴的端点为短轴的端点.新知探究新知探究 椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的做椭圆的焦半径焦半径，上述结果就是椭圆的焦，上述结果就是椭圆的焦半径公式半径公式.|MF|MF1 1|a aexex0 0|MF|MF2 2|a aexex0 0新知探究新知探究 椭圆椭圆 的焦半径公式是的焦半径公式是 222210yxabab|MF|MF|a aeyey0 0 x xF F1 1F F2 2y yO OM M新知探究新知探究 例例1 1 若椭圆若椭圆 上一点上一点P P到到椭圆左准线的距离为椭圆左准线的距离为1010，求点，求点P P到椭到椭圆右焦点的距离圆右焦点的
26、距离.22110036xy12 12 典型例题典型例题 例例2 2 已知椭圆的两条准线方程为已知椭圆的两条准线方程为 y y9 9，离心率为，离心率为 ，求此椭圆的标准方程，求此椭圆的标准方程.3119822yx典型例题典型例题 例例3 3 已知椭圆中心在原点，焦点在已知椭圆中心在原点，焦点在x x轴上，点轴上，点P P为直线为直线x x3 3与椭圆的一个与椭圆的一个交点，若点交点，若点P P到椭圆两焦点的距离分别是到椭圆两焦点的距离分别是6.56.5和和3.53.5，求椭圆的方程，求椭圆的方程.22412575xy+=F F1 1O OF F2 2x xy yP P典型例题典型例题例例4 4
27、 已知点已知点M M与点与点F(4F(4，0)0)的距离和它的距离和它到直线到直线l l：的距离之比等于的距离之比等于 ，求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程.254x 45221259xy+=M MO Ox xy yF FH Hl典型例题典型例题课堂小结课堂小结 1.1.椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于椭圆的离心率，这是椭圆的一个重的距离之比等于椭圆的离心率，这是椭圆的一个重要性质，通常将它称为椭圆的第二定义要性质，通常将它称为椭圆的第二定义.25 2:(,)(4,0):44 ,.5M x yFl xM例点与定点的距离和它到直线的距
28、离的比是常数求点的轨迹Hd1925610 ,1925 ,225 259 ,.54425)4(,54 ,425:22222222 yxxMyxyxxyxdMFMPMxlMd的椭圆，其轨迹方程是的椭圆，其轨迹方程是、为为轴，长轴、短轴长分别轴，长轴、短轴长分别的轨迹是焦点在的轨迹是焦点在点点所以所以即即并化简得并化简得将上式两边平方将上式两边平方由此得由此得迹就是集合迹就是集合的轨的轨点点根据题意根据题意的距离的距离到直线到直线是点是点设设解解22221111yxabPPPOPPFPFPF-点 是椭圆上的动点，当 的坐标为时，到原点 的最大距离为；当 的坐标为时，到原点O的最小距离为；设（c,0)
29、,则当P的坐标为时，的最大值为；则当P的坐标为时，的最小值为。(a,0)a(0,b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c77(0,6 2)81922 yx18186 66 26 22 22 23 3(0,9)(3,0)课前练习课前练习1例例5 如图如图.一种电影放映灯泡的放射镜面是旋转椭圆一种电影放映灯泡的放射镜面是旋转椭圆面面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分的一部分.过对称轴的截口过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆灯丝位于椭圆的一个焦点的一个焦点F1上上,片门位于另一个焦点片门位于另一个焦点F2上上.由椭圆由椭圆一个焦点
30、一个焦点F1发出的光线发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点到另一个焦点F2,已知已知 求截求截口口BAC所在椭圆的方程所在椭圆的方程.xyol lFFABC121122.8,4.5,BCFFFBCM FFCM，xyo例例2.如图，我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道，如图，我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆。为一个焦点的椭圆。已知它的近地点已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面（离地面最近的点）距地面 439km。远地点。远地点B（离地面最远的点）距地面（离地面最远的点）距地面 2384km,
31、并且并且F2、A、B在同一直线上，地球在同一直线上，地球 半径约为半径约为6371km.求卫星运行的轨道方程求卫星运行的轨道方程(精确精确 到到1km).F2F1BA818283例例3.点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）的距离和它到）的距离和它到 定直线定直线l l:x=的距离的比是常数的距离的比是常数 ,求点求点 M的轨迹的轨迹.ca2acxyol lFl l FM例例2.点点M（x,y）与定点）与定点F（4,0）的距离和它到）的距离和它到 定直线定直线l l:x=的距离的比是常数的距离的比是常数 ,求点求点 M的轨迹的轨迹.25445xyol lFMd变式变式1、点、点P与定点与定
32、点F（2,0）的距离和它到定直线）的距离和它到定直线 x=8的距离的比是的距离的比是1:2,求点求点P的轨迹方程，并说明的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。轨迹是什么图形。xyoX=8X=8FP2222xyxy例例3 3：已已知知椭椭圆圆+=1,+=1,过过点点P(2,1)P(2,1)作作一一弦弦,使使弦弦在在这这164164点点被被平平分分，求求此此弦弦所所在在直直线线的的方方程程。xyo-44P(2,1)练习练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(2)(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，已知椭圆的对称轴是坐标轴，OO为坐标原点，为坐标原点，F F是一个焦点，是一个焦点
33、，A A是一个顶点，若椭圆的长轴是一个顶点，若椭圆的长轴 长是长是6 6且且coscosOFAOFA=2/3;=2/3;(1)(1)椭圆过椭圆过(3,0),(3,0),离心率离心率e=;e=;6 63 3练习练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)(1)在在 x x轴上的一个焦点与短轴两端点得连线互相轴上的一个焦点与短轴两端点得连线互相 垂直垂直,且焦距为且焦距为6 6；(2)(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，已知椭圆的对称轴是坐标轴，OO为坐标原点，为坐标原点，F F是一个焦点，是一个焦点，A A是一个顶点，若椭圆的长轴是一个顶点，若椭圆的长轴 长是长是6 6且
34、且coscosOFAOFA=2/3;=2/3;(3)(3)椭圆过椭圆过(3,0),(3,0),离心率离心率e=;e=;6 63 32222变变式式训训练练：xyxy已已知知(4,2)(4,2)是是直直线线l l被被椭椭圆圆+=1+=1所所截截得得的的线线段段中中点点,369369求求直直线线l l的的方方程程？91922答案答案3答案答案939495一般地一般地思考思考396法二法二9798221916xy998 2cm1003答案答案101本课小结本课小结102.,14 1:222的长求弦两点交椭圆于的右焦点过椭圆直线的已知斜率为例ABBAyxl二、焦点三角形的面积问题二、焦点三角形的面积问
35、题的坐标。求点，等于为顶点的三角形的面积、及焦点点上的一点，且以是椭圆、已知点PFFPyxP1145121221,21514511212221，得：代入思路分析：yxyyFFpp。，则的面积为若。是椭圆上一点，且两个焦点，点的是椭圆、已知点_9)0(122121222221bFPFPFPFPbabyaxFF39214242)(;2;4,222222221bbxySbxycxyyxayxcyxyPFxPF则设推广：推广：2tan2cos22cos2sin21cossinsin211cos24cos22)(;2;4cos2,222222222221bbbxySbxycxyxyyxayxcxyyxy
36、PFxPF则设。的面积为则，且、焦点分别是上的一点，是椭圆、已知点_,45179321212122FPFFPFFFyxP求出三角形的面积。，然后用求出中，由余弦定理可以在则设法一：CabSxFPFxPFxPFsin2127.6,212127221S24704921416;17922:2221ycyyyxyxxyxyPF解之，得：可得：消去由直线法二：线上。的线段的中点在一条直截得，证明这些直线被椭圆）当它们与椭圆相交时（相交？）这组直线何时与椭圆（是，一组平行直线的斜率已知椭圆21.2319422yx圆截下的弦。的轨迹是这条直线被椭所以，点可得：消去则：中点为得到的线段的）设直线与椭圆相交所（
37、。得由程，得：把直线方程代入椭圆方程为：解：设这组平行线的方MyxmmxymxxxyxMmmmmmxxmxy0232332).,(22323,0)1()182(363601826923212222四、椭圆上的点到焦点距离的最值四、椭圆上的点到焦点距离的最值。分别为距离的最大值和最小值点到左焦点的的左、右焦点，求证：分别为椭圆为椭圆上任意一点，点设、已知椭圆方程cacaPbabyax,),0(112222知识求最值。次函数的消去一个变量，运用二，代入两点间的距离公式坐标，设出椭圆上任意一点的。为：的最大值则为椭圆上的任意一点，点的中心和左焦点，点分别为椭圆和点年福建高考，文科）若、（_13420
38、10222FPOPPyxPO的有关知识求最值。函数运算数量积，运用二次写出两个向量的坐标，点的坐标，设出椭圆上 P求这个椭圆的方程。，远距离是到这个椭圆上的点的最，已知点轴上，离心率在原点，长轴、若椭圆的中心是坐标7)23,0(233Pex知识求最值。用二次函数的有关经过离心率化简后，运代入两点间距离公式，设出椭圆上点的坐标，三、求椭圆的离心率三、求椭圆的离心率求椭圆的离心率。时，为椭圆中心，当为椭圆上的点，和上顶点，分别为椭圆的右顶点、为椭圆的左焦点，如图所示，)(/111OABPOAFPFPBAF22),(),(),0,(22222222cbcacacecbacbabkkacbkabcPa
39、bkboBaAOPABOPAB又解：036322222222bacacxaxba）（得：22222222213246,3246baabcaxbaabcax解得：cxxycxyxcFBAF32),(2),(22122113232eca即：代入化简，可得：2122124)1(2xxxxkAB）（22222222213246,3246baabcaxbaabcax1.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是是 .23知识巩固知识巩固A1MB2OF2yx2.如图如图F2是椭圆的右焦点，是椭圆的右焦点，MF2垂垂直于直于
40、x轴，且轴，且B2A1MO,求其离心率求其离心率.椭圆的简单几何性质(4)-新课探究问题1:22221(,),?xyP x yab对于椭圆上的点能否借鉴圆的方法进行一种三角代换22222222cossincossin1,cos,sin,cossin1,().(1)x ay bxyxyabab联想令则则为参数与圆类似与圆类似,把方程把方程(1)叫做椭圆的参数方程叫做椭圆的参数方程.椭圆简单几何性质(4)-探求新知问题2:椭圆的参数方程中a,b,的含义是什么?例5 如图,以原点为圆心,分别以a、b(ab0)为半径作两个大圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMA
41、N，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。分析：本题是给定条件求轨迹问题，请同学们观察动画并思考下列各问题：（1）动点A、B、N、M分别是如何人运动的？相互关系如何？其中最主要的动点是哪个点？（2）动点M是如何产生的？M的坐标与点A、B的坐标的关系如何？（3）什么是参数方程？如何设出恰当的参数？M N B A x O y动画演示动画演示椭圆的简单几何性质(4)-新课探究解:cossin(,),cos,sin,(x ay bM x yoxOAxONOAayNMOBbabOMx 设点是以为始边，为终边的正角，为参数，则即为参数）。这就是椭圆的参数方程。其中 为长半轴的长，为短半
42、轴的长，叫离心率，但 不是与 轴所成的角，而是OA与x轴所成的角。ANBM2222cos,sin.1.yxabyxab把参数方程变形为可得到即参数方程与普通方程可以互化，是等价的。椭圆的简单几何性质(4)-新课探究问题3:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?cossin(x a ry b r 为参数）,)(,)O a brP x yOPx（表示圆心，表示半径，动点表示与 轴的正半轴组成的圆心角。cossin(x ay b为参数）abOMOX表示长半轴，表示短半轴，表示离心角，但不是与的正半轴所成的角。椭圆的简单几何性质(4)-知识应用变式练习1将下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程
43、:3cos2sin1(xy（）为参数）8cos6sin2(xy（）为参数）224931yx（）2216(4)1yx 椭圆的简单几何性质(4)-知识应用补充例题:如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.解1:把直线l平移至首次与椭圆相切,切点就是所求的点P,即:设l1的方程为x-y+m=0 ,整理得9y2-2my+m2-8=0,=4m2-49(m2-8)=0,解得m=3.由图形可知m=3,l1首先与椭圆相切,此时 ,即9y2-6y+1=0.XYlOx-y+m=0X2+8y2=8x-y+3=0X2+8y2=8881133334 3222,.yxPd代入可得即（
44、，），最小距离椭圆的简单几何性质(4)-知识应用补充例题:如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.XYlOP2 21332 2cossin3(cossin)42 2cossin442223sin()422 2133212222 213381332,2 2cos,sin),sin,cos,cossin,sincos,).xyx yPddP 解：将椭圆的方程化为参数方程得所以可设点 为（其中当时，有最小值即，此时即（椭圆的简单几何性质(4)-知识应用1、2100641y2x已知椭圆有一内接矩形ABCD,求矩形ABCD的最大面积.:,(10cos,8sin)4
45、10 cos8 sin320 sincos160 sin2160.4ABCDAS解 由椭圆的对称性可知 矩形可分为四个部分如图,设当时有最大值222.(1,0),1,.4xAyPPA已知点椭圆点 在椭圆上移动 求的最小值2222222:(2cos,sin),(2cos1)sin4cos4cos1 sin123cos4cos23(cos),23226cos,.333PPAPA 解 设则当时的最小值为椭圆的简单几何性质(4)-课堂小结v本节课学习了椭圆的参数方程及 的几何意义。v通过学习我们对椭圆有了更深入的了解，椭圆的两种定义，两种方程都是等价的，可以互相转化。v椭圆的参数方程应用广泛，特别是求有关最值问题，常比普通方程更简洁。椭圆的简单几何性质(4)-作业布置1、椭圆10cos6sin().xy为参数 的焦点坐标为2222288:403101259xyPPl xyxyMPPM、在椭圆上求一点，使 到直线的距离最大。、已知点（，），动点 在椭圆上，求的最大值与最小值。
