1、第八节函数与方程(全国卷5年3考)【知识梳理】【知识梳理】1.1.函数的零点函数的零点(1)(1)定义定义:对于函数对于函数y=f(x)(xD),y=f(x)(xD),把使把使_成立的成立的实数实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)(xD)y=f(x)(xD)的零点的零点.f(x)=0f(x)=0(2)(2)函数零点与方程根的关系函数零点与方程根的关系:方程方程f(x)=0f(x)=0有实根有实根函函数数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与_有交点有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有有_._.(3)(3)零点存在性定理零点存在性定理:如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间
2、a,ba,b上的上的图象是连续不断的一条曲线图象是连续不断的一条曲线,并且有并且有_,_,那那么函数么函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间_内有零点内有零点,即存在即存在x x0 0(a,b),(a,b),使得使得_._.x x轴轴零点零点f(a)f(b)0f(a)f(b)0)+bx+c(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系=b=b2 2-4ac-4ac00=0=000)(a0)的图象的图象 =b=b2 2-4ac-4ac00=0=000与与x x轴的轴的交点交点_无交点无交点零点个数零点个数_(x(x1 1,0),0),(x(x2 2,0),0)(x(x1 1,0),0)2 21
3、10 0【常用结论】【常用结论】有关函数零点的结论有关函数零点的结论(1)(1)若连续不断的函数若连续不断的函数f(x)f(x)在定义域上是单调函数在定义域上是单调函数,则则f(x)f(x)至多有一个零点至多有一个零点.(2)(2)连续不断的函数连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号值保持同号.(3)(3)连续不断的函数图象通过零点时连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号函数值可能变号,也可能不变号也可能不变号.【基础自测】【基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”错误的打错误的打“”)(1)(1)
4、函数的零点就是函数的图象与函数的零点就是函数的图象与x x轴的交点轴的交点.()(2)(2)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)在当在当b b2 2-4ac0-4ac0时没有零时没有零点点.()(3)(3)函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点(函数图象连续不函数图象连续不断断),),则则f(a)f(b)0.f(a)f(b)0,f(a)f(b)0,则则f(x)f(x)在在(a,b)(a,b)内没有零点内没有零点.()【提示】【提示】(1)(1).函数的零点是函数图象与函数的零点是函数图象与x x轴交点的横轴交点的横
5、坐标坐标.(2).(2).当当b b2 2-4ac0-4ac0.f(a)f(b)0.(4)(4).若在区间若在区间a,ba,b内有多个零点内有多个零点,f(a)f(b)0,f(a)f(b)0也也可以可以.2.2.函数函数f(x)=f(x)=的零点是的零点是_._.【解析】【解析】由由lg x=0(x0)lg x=0(x0)得得x=1,x=1,由由x x2 2-4=0(x0)-4=0(x0)得得x=-2,x=-2,所以函数的零点为所以函数的零点为-2,1.-2,1.答案答案:-2,1-2,12lg xx0 x4x0，3.3.函数函数f(x)=ax+1-2af(x)=ax+1-2a在区间在区间(-
6、1,1)(-1,1)上存在一个零点上存在一个零点,则则实数实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】因为函数因为函数f(x)f(x)的图象为直线的图象为直线,由题意可得由题意可得f(-1)f(1)0,f(-1)f(1)0,所以所以(-3a+1)(1-a)0,(-3a+1)(1-a)0,解得解得 所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是 答案答案:1a 13 ，1(,1).31(,1)3题组二题组二:走进教材走进教材1.(1.(必修必修1P92T11P92T1改编改编)下列函数图象与下列函数图象与x x轴均有交点轴均有交点,其其中不能用二分法求图中函数零点的是中不能用二分法
7、求图中函数零点的是()【解析】【解析】选选A.A.根据二分法的概念可知根据二分法的概念可知A A不能用二分法求不能用二分法求零点零点.2.(2.(必修必修1P92T51P92T5改编改编)函数函数f(x)=f(x)=的零点所在的的零点所在的大致区间是大致区间是()A.(1,2)A.(1,2)B.(2,3)B.(2,3)C.C.和和(3,4)(3,4)D.(4,+)D.(4,+)2ln xx1(1)e，【解析】【解析】选选B.B.因为因为f(2)=ln 2-10,f(3)=f(2)=ln 2-10,f(3)=且函数且函数f(x)f(x)的图象连续不断的图象连续不断,f(x),f(x)为增函数为增
8、函数,所以所以f(x)f(x)的零点在区间的零点在区间(2,3)(2,3)内内.2ln 303，3.(3.(必修必修1P92T41P92T4改编改编)函数函数f(x)=f(x)=的零点个数为的零点个数为_._.1x21x()2【解析】【解析】作函数作函数 的图象如图所示的图象如图所示,1x2121yxy()2和 由图象知函数由图象知函数f(x)f(x)有有1 1个零点个零点.答案答案:1 1考点一判断函数零点所在区间考点一判断函数零点所在区间【题组练透】【题组练透】1.1.函数函数f(x)=ln(x+1)-f(x)=ln(x+1)-的一个零点所在的区间是的一个零点所在的区间是()A.(0,1)
9、A.(0,1)B.(1,2)B.(1,2)C.(2,3)C.(2,3)D.(3,4)D.(3,4)1x【解析】【解析】选选B.B.因为因为f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数,且且f(1)f(1)=ln 2-10,=ln 2-10,所以所以f(x)f(x)的零点所在区的零点所在区间为间为(1,2).(1,2).122.2.设函数设函数 则函数则函数y=f(x)y=f(x)()A.A.在区间在区间 (1,e)(1,e)内均有零点内均有零点B.B.在区间在区间 (1,e)(1,e)内均无零点内均无零点C.C.在区间在区间 内有零点内有零点,在区间在区间(1,e)(1,e)内
10、无零点内无零点D.D.在区间在区间 内无零点内无零点,在区间在区间(1,e)(1,e)内有零点内有零点1f(x)xln x3，1(1)e，1(1)e，1(1)e，1(1)e，【解析】【解析】选选D.D.令令f(x)=0f(x)=0得得 作出函数作出函数 和和y=ln xy=ln x的图象的图象,如图如图,显然显然y=f(x)y=f(x)在在 内无零点内无零点,在在(1,e)(1,e)内有零点内有零点.1xln x.31yx31(1)e，3.3.设设f(x)=ln x+x-2,f(x)=ln x+x-2,则函数则函数f(x)f(x)的零点所在的区间为的零点所在的区间为()A.(0,1)A.(0,
11、1)B.(1,2)B.(1,2)C.(2,3)C.(2,3)D.(3,4)D.(3,4)【解析】【解析】选选B.B.方法一方法一:函数函数f(x)f(x)的零点所在的区间可转的零点所在的区间可转化为函数化为函数g(x)=ln x,h(x)=-x+2g(x)=ln x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在图象交点的横坐标所在的取值范围的取值范围.作图如下作图如下:可知可知f(x)f(x)的零点所在的区间为的零点所在的区间为(1,2).(1,2).方法二方法二:由于由于f(1)=-10,f(2)f(1)0,f(1)=-10,f(2)f(1)0 x0时时,f(x)=2+,f(x)=2+00恒成立恒
12、成立,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数.又因为又因为f(2)=-2+ln 20,f(2)=-2+ln 20,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上有一个零点上有一个零点,综上综上,函数函数f(x)f(x)的零点个数为的零点个数为2.2.答案答案:2 221x考点三函数零点的应用考点三函数零点的应用【明考点【明考点知考法】知考法】已知函数零点求参数值或范围是常考内容已知函数零点求参数值或范围是常考内容,选择题、选择题、填空题和解答题均有可能出现填空题和解答题均有可能出现,主要考查零点的应用及主要考查零点的应用及数形结合思想与等价转化思想的应用数形结
13、合思想与等价转化思想的应用,难度属中高档难度属中高档.命题角度命题角度1 1由函数零点个数求参数的值或范围由函数零点个数求参数的值或范围【典例】【典例】设函数设函数f(x)=f(x)=(1)(1)若若a=1,a=1,则则f(x)f(x)的最小值为的最小值为_._.(2)(2)若若f(x)f(x)恰有恰有2 2个零点个零点,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.世纪金榜导学号世纪金榜导学号x2ax14(xa)(x2a)x1.，【解析】【解析】(1)(1)若若a=1,a=1,则则 作出函数作出函数f(x)f(x)的图象如图所示的图象如图所示,由图可得由图可得f(x)f(x)的最小值的最
14、小值为为-1.-1.x21x1f(x)4(x 1)(x2)x1，(2)(2)当当a1a1时时,要使要使f(x)f(x)恰有恰有2 2个零点个零点,需满足需满足2 21 1-a0,-a0,即即a2,a2,所以所以a2;a2;当当a1a1m1时时,有交点有交点,即函数即函数g(x)=f(x)+x-mg(x)=f(x)+x-m有零点有零点.xxx0exx0，【状元笔记】【状元笔记】由函数有无零点求参数问题的解题步骤由函数有无零点求参数问题的解题步骤(1)(1)对解析式变形对解析式变形.(2)(2)在同一平面直角坐标系中在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象画出函数的图象.(3)(3)数形结合求解数形
15、结合求解.命题角度命题角度3 3比较大小比较大小【典例】【典例】已知函数已知函数f(x)=2f(x)=2x x+x,+x,的零点分别为的零点分别为x x1 1,x,x2 2,x,x3 3,则则x x1 1,x,x2 2,x,x3 3的大小关系是的大小关系是世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.xA.x1 1xx2 2xx3 3B.xB.x2 2xx1 1xx3 3C.xC.x1 1xx3 3xx2 2D.xD.x3 3xx2 2xx1 1122g(x)xlog xh(x)log x，x【解析】【解析】选选D.D.由由f(x)=2f(x)=2x x+x=0,+x=0,得得2 2x x=-x,=-x
16、,在坐标在坐标系中分别作出系中分别作出y=2y=2x x,y=-x;y=x,y=log,y=-x;y=x,y=log2 2x,x,的图象的图象,由图象可知由图象可知-1x-1x1 10,0 x0,0 x2 21,x1,1,所以所以x x3 3xx2 2xx1 1.12g(x)xlog x0，2h(x)log xx0122xlog xlog xx.，12ylog x;yx【状元笔记】【状元笔记】借助函数零点比较大小的策略借助函数零点比较大小的策略要比较要比较f(a)f(a)与与f(b)f(b)的大小的大小,通常先比较通常先比较f(a),f(b)f(a),f(b)与与0 0的的大小大小.【对点练【
17、对点练找规律】找规律】1.1.已知函数已知函数f(x)=f(x)=若函数若函数g(x)=f(x)-mg(x)=f(x)-m有有3 3个零点个零点,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.x221x0 x2xx0，【解析】【解析】画出函数画出函数f(x)=f(x)=的图象的图象,如图如图所示所示.x221x0 x2xx0，由于函数由于函数g(x)=f(x)-mg(x)=f(x)-m有有3 3个零点个零点,结合图象得结合图象得0m1,0m1,即即m(0,1).m(0,1).答案答案:(0,1)(0,1)2.2.已知函数已知函数f(x)=x+2f(x)=x+2x x,g(x)=x+ln x
18、,h(x)=,g(x)=x+ln x,h(x)=的零点分别为的零点分别为x x1 1,x,x2 2,x,x3 3,则则x x1 1,x,x2 2,x,x3 3的大小关系是的大小关系是_._.xx 1【解析】【解析】因为因为f(x)=x+2f(x)=x+2x x的零点必定小于零的零点必定小于零,g(x)=x+,g(x)=x+ln xln x的零点必位于的零点必位于(0,1)(0,1)内内,函数函数h(x)=h(x)=的零的零点必定大于点必定大于1,1,所以这三个函数的零点依次增大所以这三个函数的零点依次增大,即即x x1 1xx2 2xx3 3.答案答案:x x1 1xx2 2xx3 3xx 1
19、3.3.若函数若函数 的图象与的图象与x x轴有公共点轴有公共点,则则m m的取的取值范围是值范围是_._.|1 x|1y()m2【解析】【解析】作出函数作出函数g(x)=g(x)=的图象如图的图象如图,x 1x 11(),x1 22,x1由图象可知由图象可知0g(x)1,0g(x)1,则则mg(x)+m1+m,mg(x)+m1+m,即即mf(x)1+m,mf(x)1+m,要使函数要使函数 的图象与的图象与x x轴有公共点轴有公共点,则则 解得解得-1m0.-1m0)bx+c(a0)对应方程对应方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根为的根为x x1 1,x,x2 2,其零点分其零点
20、分布情况如下布情况如下:零点分布零点分布(mnp(mnp为常数为常数)图象图象满足条件满足条件x x1 1xx2 2mm 0,b m,2af(m)0 零点分布零点分布(mnp(mnp为常数为常数)图象图象满足条件满足条件mxmx1 1xx2 2 0,bm,2af(m)0 零点分布零点分布(mnp(mnp为常数为常数)图象图象满足条件满足条件x x1 1mxmx2 2 f(m)0f(m)0零点分布零点分布(mnp(mnp为常数为常数)图象图象满足条件满足条件mxmx1 1xx2 2nn 0,bmn,2a f(m)0f(n)0 零点分布零点分布(mnp(mnp为常数为常数)图象图象满足条件满足条件
21、mxmx1 1nxnx2 2pp f(m)0,f(n)0,f(p)0零点分布零点分布(mnp(mnp为常数为常数)图象图象满足条件满足条件只有一根在只有一根在(m,n)(m,n)之间之间 或或f(m)f(n)0f(m)f(n)00,bmn,2a 【典例】【典例】m m为何值时为何值时,f(x)=x,f(x)=x2 2+2mx+3m+4.+2mx+3m+4.(1)(1)有且仅有一个零点有且仅有一个零点?(2)(2)有两个不同零点且均比有两个不同零点且均比-1-1大大?【解析】【解析】(1)f(x)=x(1)f(x)=x2 2+2mx+3m+4+2mx+3m+4有且仅有一个零点有且仅有一个零点方方
22、程程f(x)=0f(x)=0有两个相等实根有两个相等实根=0,=0,即即4m4m2 2-4(3m+4)=0,-4(3m+4)=0,即即m m2 2-3m-4=0,-3m-4=0,所以所以m=4m=4或或m=-1.m=-1.(2)(2)方法一方法一:设设f(x)f(x)的两个零点分别为的两个零点分别为x x1 1,x,x2 2,则则x x1 1+x+x2 2=-2m,x=-2m,x1 1xx2 2=3m+4.=3m+4.由题意由题意,知知 2212124m4(3m4)0m3m40(x1)(x1)03m42m 102m20(x1)(x1)0，m4m1m5m1.或，所以所以-5m-1,-5m-1,故
23、故m m的取值范围为的取值范围为(-5,-1).(-5,-1).方法二方法二:由题意由题意,知知 所以所以-5m-1.-5m-1.所以所以m m的取值范围为的取值范围为(-5,-1).(-5,-1).20m3m40m1m1f(1)012m3m40.，即，【技法点拨】【技法点拨】解决与二次函数有关的零点问题的三种方法解决与二次函数有关的零点问题的三种方法(1)(1)利用一元二次方程的求根公式利用一元二次方程的求根公式.(2)(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系.(3)(3)利用二次函数的图象列不等式组利用二次函数的图象列不等式组.【即时训
24、练】【即时训练】已知已知f(x)=xf(x)=x2 2+(a+(a2 2-1)x+(a-2)-1)x+(a-2)的一个零点比的一个零点比1 1大大,一个零一个零点比点比1 1小小,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析】【解析】方法一方法一:设方程设方程x x2 2+(a+(a2 2-1)x+(a-2)=0-1)x+(a-2)=0的两根分的两根分别为别为x x1 1,x,x2 2(x(x1 1xx2 2),),则则(x(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0,-1)0,所以所以x x1 1x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2)+10,)+10,由根与系数的关系由根与系数的关系,得得(a-2)+(a(a-2)+(a2 2-1)+10,-1)+10,即即a a2 2+a-20,+a-20,所以所以-2a1.-2a1.故实数故实数a a的取值范围为的取值范围为(-2,1).(-2,1).方法二方法二:函数函数f(x)f(x)的图象大致如图的图象大致如图,则有则有f(1)0,f(1)0,即即1+(a1+(a2 2-1)+a-20,-1)+a-20,得得a a2 2+a-20,+a-20,所以所以-2a1.-2a1.故实数故实数a a的取值范围是的取值范围是(-2,1).(-2,1).答案答案:(-2,1)(-2,1)
