1、4.4 利用主直径化简二次曲线方程利用主直径化简二次曲线方程(Using master diameter simpling equation of quadratic curve)前面讨论了利用直角坐标变换和不变 量化简一般二次曲线,这里讨论如何利用主方向和主直径化简一般二次曲线.4.4.1 二次曲线的主直径二次曲线的主直径(Master diameter of quadratic curves)已给二次曲线方程(4.2-1),满足(X,Y)=0的方向(X,Y)称为二次曲线的渐近方向.设(X,Y)是二次曲线的一个非渐近方向,即(X,Y)0.当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时,这条直线与二次
2、曲线总交于两点(两个不同的实点,两个重合的实点或一对共轭的虚点),这两点决定了二次曲线的一条弦下面研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹,有如下相关结论(证明从略).定理定理1 二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线,称为这个二次曲线的直径该直径所对应的平行弦,称为共轭于这条直径的共轭弦；而直径也称为共轭于平行弦方向的直径由于斜率k=Y/X 对应方向(X,Y),故有定理定理2 如果二次曲线的一族平行弦的斜率为k,那么共轭于这族平行弦的直径方程是F1(x,y)+kF2(x,y)=0,即 XF1(x,y)+YF2(x,y)=0.定理定理3 中心二次曲线的直径通过曲线的中心,无心二次曲线的直径平行于曲
3、线的渐近方向,线心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线.例例 求抛物线y22px的直径。解解 F1(x,y)p,F2(x,y)y,共轭于非渐近方向(X,Y)的直径为 X pY y0,即 y(X/Y)p.这是一条平行于轴的直线。所以抛物线y22px 的直径平行于它的渐近方向(1,0).二次曲线与非渐近方向(X,Y)共轭的直径方程 XF1(x,y)+YF2(x,y)=0即 (a11X+a12Y)x+(a12X+a22Y)y+a13X+a23Y=0其方向是(X,Y)(-(a12X+a22Y),(a11X+a12Y),称这个方向为非渐近方向(X,Y)的共轭方向.定理定理4 中心二次曲线的非渐近方
4、向的共轭方向仍然是非渐近方向,而非中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向是渐近方向.中心二次曲线的一对具有相互共轭方向的直径称为一对共轭直径.Def 1 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径称为二次曲线的主直径,主直径的方向与垂直于主直径的方向都称为二次曲线的主方向.我们也可以定义二次曲线的主方向为一对既正交、又共轭的方向.显然,主直径是二次曲线的对称轴,因此主直径也称为二次曲线的轴,轴与曲线的交点称为曲线的顶点.现在我们来求二次曲线(4.2-1)的主方向与主直径.方向(X,Y)成为中心二次曲线的主方向的条件是 其中 0 可改写成这是一个关于X,Y的齐次线性方程组,称为二次曲线的主方向方程组.因为X,Y
5、不能全为零,此齐次线性方程组有非零解,所以其系数行列式 即称为二次曲线的特征方程。,22121211YYaXaXYaXa.0)(,0)(22121211YaXaYaXa022121211aaaa0212II 因此对于中心二次曲线来说,只要由特征方程解出特征根,再代入二次曲线的主方向方程组,就能得到它的主方向.如果二次曲线为非中心二次曲线,那么它的任何直径的方向总是它的唯一的渐近方向而垂直于它的方向显然为所以非中心二次曲线的主方向有下面两种：渐近主方向：非渐近主方向：在特征方程中令I2=0,得其两根为1=0，2=I1=a11+a22.)(:1222111211aaaaYX2212121122:a
6、aaaYX)(:1222111211aaaaYX2212121122:aaaaYX 将这两个根代入主方向方程组,得到的主方向恰好为非中心二次曲线的渐近主方向与非渐近主方向.这样,就把根据特征方程的根求二次曲线的主方向的方法推广到了非中心二次曲线.因此,一个方向(X,Y)成为二次曲线的主方向的条件是主方向方程组成立,这里的是特征方程的根。从二次曲线的特征方程求出特征根,把它代入主方向方程组,就得到相应的主方向(X,Y).如果主方向为非渐近方向,那么根据就能得到共轭于此主方向的主直径.为此,还需要解决特征根的存在问题,有下面的定理(证明略).定理定理5 二次曲线的特征根都是实数.定理定理6 二次曲
7、线的特征根不能全为零.定理定理7 由二次曲线的特征根 确定的主方向(X,Y),当 0时,为二次曲线的非渐近主方向；当0时,为二次曲线的渐近主方向.定理定理8 中心二次曲线至少有两条主直径,非中心二次曲线只有一条主直径.例例2 求二次曲线 的主方向与主直径.解解：I1=2，I2=0,曲线为非中心曲线,它的特征方程为 2-2 0,特征根为 12,20.因为12是非中心二次曲线的非零特征根,它确定二次曲线的非渐近主方向：(X,Y)(-1,1),而特征根20确定二次曲线的渐近主方向：(X,Y)(1,1),因为 所以曲线的唯一主直径只能由非渐近主方向(-1,1)确定：即得到 2),(1yxyxFyxyx
8、F),(2 20 xyxy 10 xy 042),(22xyxyxyxF4.4.2利用主直径化简二次曲线方程利用主直径化简二次曲线方程（Using master diameter to simpling equation of quadratic curve）下面用例子说明如何利用主直径、主方向化简一般二次曲线.例例 化简二次曲线的方程 x2-2xy+y2+2x-2y-3=0.解解 所给二次曲线的矩阵为A的第一行和第二行的元素成比例,这表示F1(x,y)=0和F2(x,y)=0是同一条直线,曲线为线心曲线,它的唯一的一条直径即曲线的中心直线,也就是曲线的主直径,其方程就是F1(x,y)=0：1
9、11111113A 10 xy 取其为新坐标系的x 轴,再取任意垂直于此中心直线的直线比如x+y0为新坐标系的y 轴作坐标变换,则变换公式为解出x与y,得代入已知方程,经过整理得即 或 .这是两条平行直线.21,2yxyyxx.212121,212121yxyyxx0422 y22y 2y 对于线心型曲线,我们可以直接从原方程分解为两个一次因式,从而可立即作出它的图形.原方程表示两条直线图象如下图所示 30 xy10 xy 例例 化简二次曲线方程解解：由于I1=2，I2=0,曲线是非中心型的.解特征方程2-2 0,得特征根为 1=2,2=0.曲线的非渐近主方向为对应于 1=2的主方向(X,Y)
10、(1,1),所以曲线的主直径为将此主直径的方程与原曲线的方程 联立,即求得曲线的顶点过顶点且以求得的非渐近主方向为方向的直线为这也是过顶点垂直于主直径的直线.02222yxyxyx304xy02222yxyxyx315,1616908xy取主直径 为新坐标系的x 轴,取直线 为y轴,作坐标变换,则变换公式为 即代入已知方程,经过整理得标准方程就是 这是一条抛物线.若要画出这条抛物线,必须确定代表x 轴的直线的正方向 304xy908xy,24/3,28/9yxyyxx.1615)(21,163)(21yxyyxxxy422设x 轴与x轴的交角为,则根据变换公式有 ,因此 ,于是轴的正向就能确定了新坐标轴作出后,就能在新坐标系下,根据抛物线的标准方程来作出它的图形(图形略).通过主方向、主直径化简后,一般二次方程仍然可以分为上面的3类9种,这里就不再赘述.21sin21cos4aEnd
