1、5空间直角坐标变换与点变换空间直角坐标变换与点变换（Rectangular coordinate transformation in space and point transformation）一切事物都在不停地运动和变化着,因此,了解图形在运动与变化中的情况是很重要的.在日常生活和生产实践中,经常遇到物体改变位置和形状的现象.开门、搬凳子就是改变物体的位置.阳光通过长方形窗格射到地上,其影像是平行四边形.弹性体在外力作用下的主要表现是变形.在本章中,主要讨论图形变位和变形这两种比较简单的情况.在变形的讨论中,坐标法也是基本的方法,首先是如何用数量关系来表示变形;其次是区别图形的性质,有哪些
2、在变形中是不变的,有哪些是要改变的.5.1 空间直角坐标变换空间直角坐标变换(Rectangular coordinate transformation in space)在用坐标法讨论变形的时候,首要的问题常常是选取一个适当的坐标系来化简问题,并且常常需要把一个坐标系中的结果转化到另一个坐标系中去.要解决这个问题,最基本的是求出同一个点在两个不同的坐标系中的坐标变换式.设在空间给出了两个右手直角坐标系O-xyz与O-xyz,i,j,k和i,j,k是两组坐标基向量,它们是空间中的两组标准正交基.前一个称为旧坐标系,后一个坐标系称为新坐标系.它们之间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的
3、坐标,以及新坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定.下面先讨论直角坐标系的移轴和转轴(也称为平移和旋转),然后通过移轴和转轴给出直角坐标变换的一般公式.5.1.1 移轴变换移轴变换(Axis transformation)设坐标系O-xyz与O-xy z的原点O与O不同,O在旧坐标系下的坐标为(x0,y0,z0),但是坐标向量相同i=i,j=j,k=k,(图5-1)这时新坐标系可以看成由O-xyz平移到使O与O 重合而得来,这种情况下的坐标变换称为移轴移轴.现在推导移轴变换公式.设P为空间任意一点,它在O-xyz与O-xy z下的坐标分别是(x,y,z)与(x,y,z),OPxyz ijkO
4、 Px iy jz kx iy jz k 000OOx iy jz k kzzjyyixxzkyjxi)()()(000OPOOO P 利用向量相等则对应坐标相等这就是空间直角坐标系的移轴公式.从(5.1-1)解出(x,y,z)，就得到移轴的逆变换公式 000,(5.1 2).xxxyyyzzz 000,5.1-1.xxxyyyzzz所以有（）例1 利用移轴化简曲面方程 从而判别该方程代表的曲面.解 利用配方,将方程左边变为 =化简,得 作移轴即将坐标原点移到点O(2,-1,0),曲面方程为 可见它是椭球面.222(2)(1)1.49xyz 22294363684 0 xyzxy 2229(4
5、4)4(2 1)3636xxyyz 2229(2)4(1)3636,xyz 2,1,.xxyyzz 2221.49xyz5.1.2 转轴变换转轴变换(Rotation transformation)设两个右手坐标系O-xyz与O-x y z的原点相同,但坐标向量i,j,k与i,j,k不同,这时新坐标系可以看成由旧坐标系绕原点旋转,使得i,j,k分别与i,j,k重合得到的,这种情况下的坐标变换称为转轴.下面推导转轴变换公式.具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴之间的夹角来决定,列表如下：表表5-1 新、旧坐标系之间的夹角新、旧坐标系之间的夹角x轴(i)y轴(j)z轴(k)x 轴
6、(i)111y 轴(j)222z 轴(k)333 由于i,j,k都是单位向量,其坐标为它的3个方向余弦.故从表5-1可知 设空间任意一点P,它的旧坐标为(x,y,z),在新坐标系内的坐标为(x,y,z),那么有由于O=O,由上面两式得:333222111coscoscoscoscoscoscoscoscoskjikkjijkjii,OPxiyjzk.OPxiyjz k .xi yj zk xiy jzk 将i,j,k代入得于是有这就是空间直角坐标变换的转轴公式.转轴的逆变换公式为：123123123coscoscos,coscoscos,coscoscos.xxyzyxyzxxyz123123
7、123coscoscoscoscoscoscoscoscos.xiyjzkxyzixyzjxyz 111222333coscoscos,coscoscos,coscoscos.xxyzyxyzzxyz 例2 试求空间直角坐标系O-xyz绕z轴旋转的直角坐标变换公式.解 设新的坐标向量为i,j,k,显然k=k.另外绕z轴旋转时,应符合右手螺旋准则,有 i=i cos+j sin=(cos,sin,0),j=-i sin+j cos=(-sin,cos,0).于是坐标变换公式(注意行变列)为上式的前两式实际上是在xy平面内的旋转公式.cossin,sincos,xxyyxyzz5.1.3 正交条件
8、正交条件(Orthogonal condition)转轴变换公式(5.1-3)与其逆变换公式(5.1-4)都是齐次线性变换,它们的一次项系数不是独立的,这是因为,i,j,k与i,j,k是两组相互垂直的单位向量,它们的坐标要满足一定的条件，由于1,ijk0,ijjkki1,ikj 0.i jjkki 所以变换公式(5.1-3)与逆变换公式(5.1-5)的一次项系数分别满足下列条件：222123222123222123112233112233112233coscoscos1,coscoscos1,coscoscos1,coscoscoscoscoscos0,coscoscos coscos cos
9、0,coscoscoscoscoscos0.又因为(i,j,k)=(i,j,k)=1,可得转轴变换(5.1-3)与(5.1-4)的系数行列式222111222222222333121212232323313131coscoscos1,coscoscos1,coscoscos1,coscoscoscoscoscos0,coscoscoscoscoscos0,coscoscoscoscoscos0.条件(5.1.5),(5.1.6),(5.1.7)称为直角坐标变换的正交条件.根据代数学知识可知，转轴变换及其逆变换的系数矩阵是正交矩阵，而且AA-1=AAT=E.123111123222123333c
10、oscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos1.coscoscoscoscoscos123123123coscoscoscoscoscos,coscoscosA例3 证明在空间任意的转轴(5.1-3)下,多项式 x2+y2+z2 变为 x2+y2+z2.证明 将(5.1-3)代入 x2+y2+z2,整理得 根据正交条件(5.1-6)得 x2+y2+z2.22222222111222(coscoscos)(coscoscos)xy2222333(coscoscos)z1212122(coscoscoscoscos cos)xy 1313132(cos coscos co
11、scos cos)xz2323232(cos coscos coscos cos)yz5.1.4一般坐标变换公式一般坐标变换公式(General coordinate transformation)在空间给出了由坐标系O-xyz决定的旧坐标系由O-xyz决定的新坐标系,且O在旧坐标系的坐标为(x0,y0,z0).两坐标系的坐标轴之间的夹角由表格5-1决定,在一般情况下,由旧坐标系变换到新坐标系分两步来完成,可以先移轴使原点O与坐标系的原点O重合,变成辅助坐标系O-xyz,然后再由辅助坐标系经转轴变到新坐标系.设P点为空间任意一点,它在旧坐标系、新坐标系与辅助坐标系下的坐标分别为(x,y,z),
12、(x,y,z)与(x,y,z),根据(5.1-1)与(5.1-3)有 000,.xxxyyyzzz123123123coscoscos,coscoscos,coscoscos.xxyzyxyzzxyz 将转轴公式代入移轴公式,得空间直角坐标变换的一般公式为一般坐标变换公式也可以通过先转轴后移轴得到,其结果仍然是(5.1-8).一般坐标变换公式(5.1-8)的系数行列式不为零,因此从(5.1-8)解出x,y,z,得到用旧坐标表示新坐标的变换公式,也就是(5.1-8)的逆变换公式：123012301230coscoscos,coscoscos,coscoscos,x xyzxy xyzyx xyz
13、z123123123coscoscoscoscoscos1.coscoscos 一般坐标变换(5.1-8)与其逆变换(5.1-9)的的右端分别是x,y,z 与x,y,z的一次(即线性的)多项式,它们的一次项系数分别满足正交条件,系数行列式值都等于1.010101020202030303()cos()cos()cos,()cos()cos()cos,()cos()cos()cos.xx xy yz zyx xy yz zzx xy yz z 有时,也将一般坐标变换公式(5.1.8)写成下面的形式其中一次项系数满足正交条件.111213021222303132330,.xa xa ya zxya
14、xa ya zyza xa ya zz1112132122233132331.aaaaaaaaa例4 将坐标系绕方向(1,1,1)右旋/3,原点不动,求坐标变换公式.解 原点不动,故 x0=y0=z0=0,坐标变换是转轴变换.设所求的坐标变换公式为设旋转后 i(cos 1,cos1,cos1),j(cos 2,cos2,cos2),k(cos 3,cos2,cos3).123123123coscoscos,coscoscos,coscoscos.x xyzy xyzx xyz123123123coscoscoscoscoscos1.coscoscos 先求 i 的三个坐标(cos 1,cos1
15、,cos1).它的坐标是它的方方向余弦向余弦,因此先求 i 与三个坐标轴的夹角的余弦.当原点不动,坐标系绕方向(1,1,1)右旋/3时(应符合右手螺旋准则),i 和三个坐标轴的关系如下：1)与i,j夹角相等,即cos 1=cos1,而且是锐角;2)i 与k在平面上的投影成角,夹角为钝角,而且单位向量i 与k 在方向(1,1,1)上的投影相等,等于1/3,由三角形余弦公式,有 12+12+2 cos1=(12-1/3)=2/3,于是,得 cos1=-1/3.再由 cos 12+cos12+cos12=1，得 cos 1=cos1=2/3.即 (cos 1,cos1,cos1)=(2/3,2/3,
16、-1/3).类似(cos 2,cos2,cos2)=(-1/3,2/3,2/3),(cos 3,cos3,cos3)=(2/3,-1/3,2/3).代入公式(注意行变列)，得所求的坐标变换为3212,333221,3331,3 2233xxyzyxyzxxyz 2123332211.3331223335.1.5 向量的坐标变换向量的坐标变换(Coordinate transformation of vector)把向量的坐标看作终点的坐标减去起点的坐标,立刻可以得到向量的坐标变换公式为其中(u,v,w)和(u,v,w)分别是同一个向量的新、旧两组坐标.公式中没有常数项,反映了向量经过平移不变,
17、其系数也满足正交条件.123123123coscoscos,coscoscos,coscoscos.u uvwv uvww uvw 123123123coscoscoscoscoscos1.coscoscos5.1.6 以三垂直平面为新坐标系坐标平面的坐以三垂直平面为新坐标系坐标平面的坐标变换标变换 Coordinate transformation of 空间一般坐标变换公式,还可以由新坐标系的三个坐标面来确定.设有两两相互垂直的三个平面 这里 .如果取 1为yz 平面,2为xz 平面,平面 3为xy 平面,并设空间任意一点P(x,y,z)到平面 i(i=1,2,3)的距离为di,11111
18、2222233333:0,:0,:0.AxB yC zDA xB yC zDA xB yC zD0(,1,2,3,)ijijijAABBCCi jijP点的新坐标为(x,y,z),那么有 去掉绝对值号得坐标变换公式为显然,上式符合正交条件,为了使坐标变换为右手系变到右手系,上式中的正负号的选择必须使它的系数行列式的值为1.111112221112222222222233333333333,.A xB yC zDxdABCA xB yC zDydABCA xB yC zDzdABC 111122211122222222223333333333,.A xByCzDxABCAxByCzDyABCAx
19、ByCzDzABC 例例5 以下列三个两两相互垂直的平面分别作为新坐标系的yz平面,xz面与xy面的坐标变换公式为：10,210,20,xyzxyzyz 1,321,62,2xyzxxyzyyzz 为了使右手系变成右手系,取符号如下：1,321,62.2xyzxxyzyyzz 例6 试将方程 用适当的坐标变换变为新方程x=0.解 取平面 作为新坐标系的yz 坐标面,再任取两个相互垂直且又都垂直于已知平面 的平面作为另两个新坐标面,例如可取 与23450 xyz20 xyz11270.xyz23450 xyz23450 xyz作坐标变换 那么 将变成2345,292,61127.74xyzxxyzyxyzz 2345 0 xyz 0 x End
