1、一平面的基本性质：一平面的基本性质：1 1公理公理1 1：文字语言：如果一条直线上的两点在文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内都在这个平面内 ；图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：Al；Bl，A，B AB .练习：练习：（1）AB 。AB（2）,lAl 。A公理公理1 1的作用有两个：（的作用有两个：（1 1）作为）作为判断和证判断和证明直线是否在平面内明直线是否在平面内的依据，即只需要看的依据，即只需要看直线上是否有两个点在平面内就可以了；直线上是否有两个点在平面内就可以了；（2 2）公理）公理1 1可以用来可
2、以用来检验某一个面是否为检验某一个面是否为平面平面，检验的方法为：把一条直线在面内，检验的方法为：把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内，则该面为平面。也在面内，则该面为平面。2 2公理公理2 2：文字语言：经过文字语言：经过不在同一条直线不在同一条直线上的三上的三点，有且只有一个平面，也可以说成不共点，有且只有一个平面，也可以说成不共线的三点线的三点确定确定一个平面。一个平面。图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：A A、B B、C C三点不共线，有且三点不共线，有且只有一个平面只有一个平面，使得，使得A A，B B，C C.确定一
3、平面不共线CBACBA,如何如何理解理解公理公理2 2？(1)(1)公理公理2 2是是确定平面确定平面的条件的条件.(2)(2)深刻理解深刻理解“有且只有有且只有”的含义，这里的含义，这里的的“有有”是说平面存在，是说平面存在，“只有只有”是说是说平面惟一，平面惟一，“有且只有有且只有”强调平面强调平面存在存在并且惟一并且惟一这两方面这两方面.3.3.公理公理3 3：文字语言：如果不重合的两个平面有一文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线点的公共直线.图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：P Pl l.P P()
4、()=l l如何理解公理如何理解公理3 3？(1)(1)公理公理3 3反映了反映了平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系，只要只要“两面共一点两面共一点”，就有，就有“两面共一线两面共一线，且过这一点，线惟一且过这一点，线惟一”.(2)(2)从集合的角度看，对于不重合的两个从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要他们有公共点，它们就是相交平面，只要他们有公共点，它们就是相交的位置关系，的位置关系，交集是一条直线交集是一条直线.(3)(3)公理公理3 3的作用的作用:其一判定其一判定两个平面是否相交两个平面是否相交;其二可以其二可以判定点在直线上判定点在直线上.点是某点是某两个平面的公共点，
5、线是这两个平面的两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在线上公共交线，则这点在线上.因此它还是证明因此它还是证明点共线点共线或或线共点线共点，并且作为并且作为画截面画截面的依据的依据.二二.平面基本性质的推论平面基本性质的推论 文字语言文字语言 ：经过一条直线和直线外的一：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面点，有且只有一个平面.图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：a a与与A A共属于平面共属于平面且平面且平面惟一惟一 .（1 1）推论推论1 1：a a是任意一条直线是任意一条直线 点点A aA a （2 2）推论）推论2 2：文字语言文字语言 :经过两条相交直线，有
6、且只有经过两条相交直线，有且只有一个平面一个平面.图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：a a，b b共面于平面共面于平面，且，且是惟一的是惟一的 .b b是任意一条直线是任意一条直线 a a是任意一条直线是任意一条直线 a ab b=A A（2 2）推论）推论3 3：文字语言文字语言 :经过两条平行直线，有且只有经过两条平行直线，有且只有一个平面一个平面.图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：a a，b b共面于平面共面于平面，且，且是惟一的是惟一的 .a a，b b是两条直线是两条直线 a a/b bm m图图2 2l l三、空间中两直线的位置关系三、空间中两直线的位置关系l lm m
7、P P图图1 1从图中可见，直线从图中可见，直线 l l 与与 m m 既不相交，既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关也不平行。空间中直线之间的这种关系称为系称为异面直线异面直线。不同在任何一个平面内的两条直线叫做不同在任何一个平面内的两条直线叫做异异面直线面直线。（既不相交也不平行的两条直线。（既不相交也不平行的两条直线）1 1、异面直线、异面直线判断：判断：(1)(1)图中直线图中直线m m和和l l是异面直线吗是异面直线吗?l lm mm ml l(2),(2),则则a a与与b b是异面直线吗？是异面直线吗？,ab(3)(3)a a,b b不同在平面不同在平面内内,则则a a与与
8、b b是异面吗？是异面吗？异面直线的画法异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托通常用一个或两个平面来衬托,异面直异面直线线不同在任何一个平面不同在任何一个平面的特点的特点.ababab(1)(1)相交相交(2)(2)平行平行只有一个公共点只有一个公共点 没有公共点没有公共点在同一平面在同一平面m ml l2 2、空间中两直线的三种位置关系、空间中两直线的三种位置关系(3)(3)异面直线异面直线m mP Pl l没有公共点没有公共点不同在任一平面不同在任一平面m ml lP P探究探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DA一个正方体的展开图如上，则一个正方体的展开图如上，则ABAB,CD
9、CD,EFEF,GH GH 这四条线段所在的直线是异面直这四条线段所在的直线是异面直线的有几对线的有几对?相交直线有几对相交直线有几对?平行直线平行直线有几对有几对?直线和平面位置关系的符号表示直线和平面位置关系的符号表示.（1 1）点）点A A在平面在平面内，记作内，记作A A，点，点B B不在平面不在平面内，记作内，记作B B ；（2 2）直线）直线l l在平面在平面内，记作内，记作l l ，直线直线m m不在平面不在平面内，记作内，记作m m ；（3 3）平面）平面与平面与平面相交于直线相交于直线l l，记作，记作=l l；（4 4）直线）直线l l和和m m相交于点相交于点A A，记作
10、，记作l lm m=A A,简记为简记为l lm m=A A.例例1 1如图，平面如图，平面ABEFABEF记作记作，平面，平面ABCDABCD记作记作，根据图形填写：，根据图形填写：（1）A，B ，E ，C ，D ；（2）A，B ，C ，D ，E ，F ；（3）=；AB例例2 2如图中如图中ABCABC，若，若ABAB、BCBC 在平面在平面内，判断内，判断ACAC 是否在平面是否在平面内？内？C B A解：解：ABAB在平面在平面内，内，A A点一定在平点一定在平面面内，又内，又BCBC在平面在平面内，内，C C点一定点一定在平面在平面内，内，(点点A A、点、点C C都在平面都在平面内，
11、内，)直线直线ACAC 在平面在平面内（公理内（公理1 1）.例例3 3（1 1）不共面的四点可以确定几个）不共面的四点可以确定几个平面？平面？（2 2）三条直线两两平行，但不共面，）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定几个平面？它们可以确定几个平面？（3 3）共点的三条直线可以确定几个平）共点的三条直线可以确定几个平面？面？4 4个个3 3个个1 1个或个或3 3个个例例4 4如图，在正方体如图，在正方体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、F F分别为分别为CCCC1 1和和AAAA1 1上的中点，画出平面上的中点，画出平面BEDBED1 1F
12、 F与平面与平面ABCDABCD的交线的交线.FEABCC1B1D1A1D解：在平面解：在平面AAAA1 1D D1 1D D 内，内，延长延长D D1 1F F，D D1 1F F与与DADA不平行，因此不平行，因此D D1 1F F与与DADA 必相交于一点，设为必相交于一点，设为P P，P PFEABCC1B1D1A1DP P又又D D1 1F F 平面平面BEDBED1 1F F，P P在平面在平面BEDBED1 1F F内内.则则P PD D1 1F F，P PDADA ，AD AD 平面平面ABCDABCD，P P平面平面ABCDABCD，又又B B为平面为平面ABCDABCD与平
13、与平面面BEDBED1 1F F的公共点，的公共点，连结连结PBPB，PBPB 即为即为平面平面BEDBED1 1F F 与平面与平面ABCDABCD的交线的交线.P F E A B C C 1 B 1 D 1 A 1 D例例5.5.如图所示，已知如图所示，已知ABCABC的三个顶点都的三个顶点都不在平面不在平面内，它的三边内，它的三边ABAB、BCBC、ACAC延长延长线后分别交平面线后分别交平面于点于点P P、Q Q、R R，求证：点求证：点P P、Q Q、R R在同一条直线上在同一条直线上.证明：由已知证明：由已知ABAB的延长线交的延长线交平面平面于点于点P P，根据公理，根据公理3 3，平面平面ABCABC与平面与平面必相交于必相交于一条直线，设为一条直线，设为l l，P P直线直线ABAB，P P面面ABCABC，又直线，又直线ABAB面面=P P，P P面面.P P是面是面ABCABC与面与面的公共点，的公共点，面面ABCABC面面=l l，P Pl l，同理，同理，Q Ql l，R Rl l，点点P P、Q Q、R R在同一条直线在同一条直线l l上上.立体几何立体几何
