1、24.4 弧长和扇形面积第二课时（1）弧长计算公式和扇形面积计算公式回顾弧长 ，（其中n表示弧所对的圆心角的度数，R表示弧所在圆的半径）扇形面积 ，（其中n表示扇形圆心角的度数，R表示扇形所在圆的半径）上节课我们学习了弧长计算公式和扇形面积计算公式，你们还记得它们是怎样的吗？2360180nnRlR2360nSR上面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？（2）圆锥的再认识它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？圆锥是由一个底面和一个侧面组成的，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面.我们将圆锥顶点和底面圆周上任意一点连接的线段称作圆锥的母线，那么一个圆锥有多少条母线呢？它们在数量上有什么关系？
2、为什么是相等的呢？有无数条，它们是相等的.由勾股定理，每条母线l=，h表示圆锥的高，r表示底面半径，对于同一个圆锥体，h和r的长是固定的，因此母线的长也是固定的.22rh 我们不仅知道母线长度是相同的，而且还了解了有关母线的一条非常重要的性质：母线l、圆锥高h、底面半径r之间满足：.222rhl如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式活动1创设情景，感受新知重点知识要想算出所需材料的数量，我们先要想想：组成帽子的是圆锥体的那个
3、部分？圆锥体的侧面由于圆锥的侧面是一个曲面，我们不太方便计算其面积，有没有办法将其转化为平面图形呢？沿着圆锥的一条母线，将圆锥侧面剪开并展平，就会得到一个扇形.要想求出所需材料的数量，我们只需要求出这个扇形的面积就可以了，这个问题和我们上节课学习的扇形面积的计算一样了.但是求这个扇形的面积需要哪些条件呢？它们是已知的吗？探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识需要知道扇形半径、圆心角度数，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，但圆心角度数是未知的；也可以通过扇形弧长和扇形半径来求，其中扇形半径就是圆锥的母线，是已知的，扇形弧长其实就是圆锥底面圆的周长，是可以求出来的，因此也相当于是已知的.
4、探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识大家分析得非常好，接下来请大家以小组为单位，完成下列问题串：如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，（1）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为_；（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为_；（3）因此圆锥的侧面积为_，圆锥的全面积为_.活动2小组合作，探究新知l2rrlr(l+r)探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识归纳：如上图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r，根据上节课学习的扇形面积公式 （其中l表示扇形
5、的弧长，R表示扇形半径）可知：该圆锥的侧面展开图的面积是 ；圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，表示为：通过上面两个公式，我们可以看到，只要知道母线、底面半径就可以求圆锥的侧面积的全面积.lRS21扇形lrlrS221侧2()SSSrlrr lr全侧底探究一：圆锥的侧面积和全面积计算公式重点知识例1 已知圆锥的底面半径为3，母线为4，则它的侧面积是_，全面积是_.解：母线l4，底面半径r3 由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积和全面积计算公式求得.活动1基础性例题探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识3
6、412Srl 侧()3(34)21Sr lr 全练习 已知圆锥的底面半径为4，母线为8，则它的侧面积是_，全面积是_.解：母线l8，底面半径r4 由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：8 432Srl 侧()4(84)48Sr lr 全探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识例2 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则它的侧面积是_，全面积是_.解：底面半径为3，高为4，由勾股定理得，母线5【思路点拨】本题求圆锥的侧面积和全面积时，并没有直接告诉圆锥的母线，需要先用勾股定理求出圆锥的母线.由圆锥侧面积计算公式得：由圆锥全面积计算公式得：5 315Srl 侧()3(35)24
7、Sr lr 全探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识练习 如图，在RtABC中，ACB=90o，AC=8，BC=6，将ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的侧面积为（）A.30 B.40 C.50 D.60 解：将ABC绕AC所在的直线k旋转一周得到的是一个圆锥体 ACB=90o，AC=8，BC=6由勾股定理，AB10由圆锥侧面积计算公式得：10 660Srl侧探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识例1 已知圆锥的母线长是5cm，侧面积是20cm，则这个圆锥的底面半径是_.【思路点拨】已知圆锥的母线、圆锥侧面积，可以逆用圆锥侧面积的计算公式
8、求得圆锥底面半径，实际上圆锥母线、圆锥底面半径、圆锥侧面积三者中可以“知二求一”.解：母线长l5cm，圆锥侧面积 圆锥侧面积计算公式：解得：r=4 底面半径为4cm.活动2提升型例题520Srlr 侧220Scm侧探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识练习 用直径为80cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计接缝部分），则该圆锥的底面半径是_.解：围成圆锥侧面的半圆形的直径为80cm 圆锥的侧面积为 而圆锥侧面积 解得：r=20 该圆锥的底面半径是20cm.【思路点拨】圆锥侧面积是一个扇形，因此它的面积还可以用扇形的另一个计算公式计算 ，用两种计算方式可以得到一个等量关系.80
9、8002Srlr侧218080()8003602S侧2360nSR探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识例2 圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_.解法一：圆锥的底面半径是4，母线长是12圆锥侧面积设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n所以展开图的面积还可以表示为：，解得：n120这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120.4 1248Srl 侧212360n212=48360n探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识解法二：圆锥的底面半径是4底面周长24=8设圆锥侧面展开图的圆心角度数为n圆锥的母线长是12侧面展开图的弧长 ，解得：n12
10、0这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是120.12180n812180n例2 圆锥的底面半径是4，母线长是12，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数是_.探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识【思路点拨】圆锥侧面展开图的面积一方面可以通过母线和底面半径来求，即 ；另一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即 ，这样就得到 ，解这个方程即可得到圆锥侧面展开图的圆心角 ，其中r表示圆锥底面半径，l表示圆锥母线.还可以根据圆锥侧面展开图的弧长来建立等量关系，一方面圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长 2r；另一方面圆锥侧面展开图的弧长等于 ，这样就得到 ，同样可以得到圆锥侧面展开图的圆心角
11、.360rnlSrl2360nSl2360nrll180nl2180nlr360rnl探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识练习 用半径为30cm，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径是_.解法一：扇形的半径为30cm，圆心角为120扇形面积设底面半径为r由题意，圆锥的母线为30cm圆锥的侧面积 ，解得：r10 该圆锥的底面半径是10cm.30rlr21203030036030300r探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识解法二：扇形的半径为30cm，圆心角为120扇形弧长设底面半径为r底面圆的周长为2r ，解得：r10 该圆锥的底面半径是
12、10cm.1203020180202 r练习 用半径为30cm，圆心角为120的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径是_.探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识【思路点拨】本题可以根据圆锥侧面积的两种不同方法来建立方程：一方面可以通过母线和底面半径来求，即 ；一方面也可以通过扇形本身的面积计算公式来求，即 .还可以根据圆锥底面圆周长的两种不同方法来建立方程：一方面可以通过底面半径来求，即 2r；一方面也可以通过扇形的弧长计算公式来求，即 .180nlSrl2360nSl探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识例1 回到一开始提出的圣诞帽问题：如图，玩具厂生产
13、一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算帽身至少需多少平方米的材料吗？（取3.142）活动3探究型例题探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识解：母线SB=15 cm，底面半径OB=5 cm一顶圣诞帽需要的材料是 cm生产这种帽身10000个，需要 cm 75 m 235.65 m.玩具厂至少需235.65平方米的材料【思路点拨】已知底面半径和母线长，可以直接套用圆锥侧面积公式即可，但实际问题需要注意单位问题.5 1575 7510000750000探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问
14、题难点知识练习 圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58 cm，高为20 cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸？（结果精确到0.1 cm2）解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为lcm，纸帽的底面周长为58 cm，解得：又纸帽的高为20 cm由勾股定理得：一顶纸帽的面积为要制作20顶这样的纸帽至少要用 .【思路点拨】要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸,只要计算纸帽的侧面积即可.258r58292r222229()2022.03lrhcm2115858 22.03638.8722lcm 2638.87 2012777.4cm探究二：应用圆锥侧面积公式
15、和全面积公式解决问题难点知识例2 如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到B点，请问它爬行的最短距离是多少？解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB，连接BB，则BB为蚂蚁走过的最短路径，设BABn，ABAB6则弧BB 又弧BB底面圆的周长2r2 ，解得：n60BAB60618030nn230n探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识例2 如图，圆锥的底面半径是1，母线长为6，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行一圈，再回到B点，请问它爬行的最短距离是多少？ABAB 6ABB为等边三角形BBABAB6即蚂蚁爬行的最短距离是6.【思
16、路点拨】本题需找到蚂蚁爬行的最短路径是什么，再通过弧BB的两种计算方法建立方程，求出BAB60.探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识解：设圆锥侧面展开图为扇形ABB，则点C位于展开图中弧BB的中点C处，连接AC，过点B作BDAC于点D，则BD为蚂蚁所走的最短路线，设BABn，ABAB3则弧BB 又弧BB底面圆的周长2r2 ，解得：n120BAB120318060nn 260n练习 如图，圆锥的底面半径是1，母线长是3，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行到与AB相对的另一母线AC上（即BC恰好是底面的直径），问蚂蚁爬行的最短路线是什么？探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积
17、公式解决问题难点知识又C是弧BB的中点DAB又BDACAD由勾股定理：BD蚂蚁爬行的最短距离是 .练习 如图，圆锥的底面半径是1，母线长是3，一只蚂蚁从底面圆周上一点B，沿圆锥侧面爬行到与AB相对的另一母线AC上（即BC恰好是底面的直径），问蚂蚁爬行的最短路线是什么？22333322111206022BAB1133222AB 332探究二：应用圆锥侧面积公式和全面积公式解决问题难点知识（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线，圆锥有无数条母线，它们的长度都相等，每条母线l （h表示圆锥的高，r表示底面半径）.（2）设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则该圆锥的侧面展开图的面
18、积是 .（3）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则 .22rh lrlrS221侧2()SSSrlrr lr全侧底（1）注意圆锥侧面积、全面积的区别.（2）侧面积、底面半径、母线长三者可以“知二求一”，注意公式的逆用.（3）全面积、底面半径、母线长三者可以“知二求一”，注意公式的逆用.（4）在圆锥侧面展开图里，侧面积的计算有两种方式，一种是根据侧面积计算公式来算，另一种则是利用展开图的圆心角度数和半径来算，往往会利用这两种方式建立方程.（5）在圆锥侧面展开图里，弧长的计算有两种方式，一种是利用展开图的圆心角度数和半径来算，另一种则是根据底面的周长来算，往往会利用这两种方式建立方程.点击“随堂训练名师训练”选择“弧长和扇形面积（2）随堂检测”
