1、7.1 动态电路概述动态电路概述 7.2 电路中起始条件的确定电路中起始条件的确定 7.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 本章重点本章重点 7.7 脉冲序列作用下的脉冲序列作用下的RC电路电路 7.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 7.5 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 7.6 求解一阶电路的三要素法求解一阶电路的三要素法 稳态分量稳态分量 暂态分量暂态分量 本章重点本章重点 零输入响应零输入响应 初始值的确定初始值的确定 零状态响应零状态响应 全响应全响应 返回目录返回目录S未动作前（稳态）未动作前（稳态）S接通电源后很长时间（新稳态）接通电源后很长时间（新稳态）i
2、=0 ,uC=0 i=0 ,uC=US 一、电路的过渡过程一、电路的过渡过程 7.1 7.1 动态电路概述动态电路概述 +uCUSRCi动态电路（动态电路（dynamic circuit）:用微分方程描述的电路用微分方程描述的电路 SuCUSRCi+初始状态初始状态 过渡状态过渡状态 新稳态新稳态 t1USuCt0?过渡过程（过渡过程（transient process）：电路由一个稳态过电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。渡到另一个稳态需要经历的过程。过渡状态过渡状态（瞬态、暂态）（瞬态、暂态）二、过渡过程产生的原因二、过渡过程产生的原因 能量不能跃变能量不能跃变 twpdd 1.
3、电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L ，M，C。SuCUSRCi+2.电路结构发生变化。电路结构发生变化。三、分析方法三、分析方法 时域分析法时域分析法 复频域分析法复频域分析法 时域分析法时域分析法 经典法经典法 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 状态变量法状态变量法 四、一阶电路四、一阶电路（First-order Circuit）由一个独立储能元件组成的电路由一个独立储能元件组成的电路,描述电路的方描述电路的方程是一阶微分方程。程是一阶微分方程。开关闭合开关闭合 开关断开开关断开 参数变化参数变化 换路换路 +-uSR1R2R3S思考：思考：有无过渡过程？有无过渡过程？返回目录返回目
4、录一、一、t=0+与与 t=0-的概念的概念 换路在换路在 t=0 时刻进行时刻进行 0-t=0 的前一瞬间的前一瞬间 0+t=0 的后一瞬间的后一瞬间 7.2 7.2 电路中起始条件的确定电路中起始条件的确定 )(lim)0(00tfftt )(lim)0(00tfftt 初始条件（初始条件（initial condition）为）为 t=0+时时u，i 及其各及其各阶导数的值。阶导数的值。0-0+0tf(t)二、换路定则（二、换路定则（switching law）d)(1 tCiCu d)(1d)(100 tiCiC d)(1)0(0 tCiCuq=C uC d)()0(0 tiqq当当t
5、=0+时时 d)(1)0()0(00 iCuuCCi()为有限值时为有限值时 0d)(00 iq(0+)=q(0-)+0d)(00 iiuCC+-1.电容电容q(0+)=q(0-)uC(0+)=uC(0-)结论结论：换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）换路前后保持不变。压（电荷）换路前后保持不变。电荷守恒电荷守恒 tiLuLdd d)(1 tLuLi d)(1d)(100 tLuLuLi duLitL)(1)0(0 当当u为有限值时为有限值时 d)()0(0 tuLLi L(0+)=L(0-)iL(0+)=iL(0-)磁链守恒磁链守恒
6、iuL+-L2.电感电感 (0+)=(0-)iL(0+)=iL(0-)q(0+)=q(0-)uC(0+)=uC(0-)结论：结论：换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）换路前后保持不变。感电流（磁链）换路前后保持不变。小结：小结：换路定则换路定则 换路定则换路定则成立的条件。成立的条件。注意注意 L(0+)=L(0-)iL(0+)=iL(0-)磁链守恒磁链守恒 三、电路起始条件（三、电路起始条件（initial condition）的确定）的确定 由换路定则由换路定则 uC(0+)=uC(0-)V840104010)0(Cu画画0+电路，求电
7、路，求iC(0+)mA2.010810)0(Ci 求求 uC(0+)和和 iC(0+)t=0时打开开关时打开开关S 0)0()0(CCii？解解 由换路前电路得由换路前电路得 例例1+-10ViiCS10k 40k uC-+-10ViiC+8V-10k t=0时闭合开关时闭合开关S，求，求uL(0+)。对对否否？0)0(0)0(LLuu iL(0+)=iL(0)=2AV842)0(Lu需由需由0+电路求电路求uL(0+)。0+电路为电路为 iL(0+)+uL(0+)-L10V1 4 解解例例2iL+uL-L10VS1 4 求起始值的一般步骤求起始值的一般步骤:（1）由换路前电路（一般为稳定状态
8、）求）由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-)和和 iL(0-)。（2）由换路定则得由换路定则得 uC(0+)和和 iL(0+)。（3）画画0+等值电路。等值电路。（4）由由0+电路求所需各变量的电路求所需各变量的0+值。值。b.t=0+时刻时刻电容电压电容电压（电感电流电感电流）用）用电压源电压源（电流源电流源）替代。方向同原假定的电容电压、替代。方向同原假定的电容电压、电感电流方向。电感电流方向。a.换路后的电路换路后的电路 c.独立源取独立源取t=0+时刻值。时刻值。)30sin(m tLEiL LEtLEitL 2)30sin()0(m0m 解解 由换路定则得由换路定则得 LEi
9、iLL 2)0()0(m LEIL j60mm 对开关对开关S打开前的电路，用相量法计算：打开前的电路，用相量法计算：计算计算t=0时时iL的值的值 V)60sin(mS tEu。和和求：求：)0()0(,)0(RLLuui已知：已知：例例3 iL+uL-LSR+-uS由由 0+电路求电路求uR(0+)和和uL(0+)。+uL(0+)-R+-23mELE 2m LRERiuLR 2)0()0(m LREEumL 223)0(m LREEm 223m 返回目录返回目录7.3 7.3 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 零输入响应零输入响应（Zero-input response）：激励（电
10、源）为零，）：激励（电源）为零，由初始储能引起的响应。由初始储能引起的响应。一、一、RC放电电路放电电路 解解 tuCiCdd 0)0(0ddUuutuRCCCC uC=uR=Ri 设设ptCAue 0ed)ed(ptptAtARC一阶齐次常微分方程一阶齐次常微分方程 已知已知 uC(0-)=U0 ，求，求 uC，i。iS(t=0)+uRC+uCRRCp1 特征根特征根（characteristic root）为）为 tRCA1 e 特征方程特征方程（characteristic equation）为）为 RCp+1=0ptCAue 则则起始值起始值 uC(0+)=uC(0-)=U0 A=U0
11、 01 0e ttRCAU0ee ptptARCAp由起始值定待定系数由起始值定待定系数 令令 =RC ,称称 为一阶电路的为一阶电路的时间常数（时间常数（time constant）。）。tU0uC000ee(0)ttCRCRCuUiItRR 0e(0)tRCCuUt 秒秒伏伏安秒安秒欧欧伏伏库库欧欧法法欧欧 RC I0ti0时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。的大小反映了电路过渡过程时间的长短。=RC 11 RCp 大大 过渡过程时间的过渡过程时间的长长 小小 过渡过程时间的过渡过程时间的短短 定性讨论（设电压初值一定）：定性讨论（设电压初值一定）：R 大大（C不变）不变
12、）i=u/R 放电电流小放电电流小 放电时间放电时间长长 U0tuC0 小小 大大C 大大（R不变）不变）w=0.5Cu2 储能大储能大 工程上认为，工程上认为，经过经过 3 5 的时间过渡过程结束。的时间过渡过程结束。U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 ：电容电压：电容电压衰减到衰减到原来电压原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。t0 2 3 5 tCUu 0e U0 U0 e-1 U0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 t1时刻曲线的斜率等于时刻曲线的斜率等于 )(1edd1011tuUtuCtttC U0tuC0 t1t2按此速率，经过按此速
13、率，经过 秒后秒后uC减为零。减为零。)(368.0)(12tutuCC 次切距的长度次切距的长度 t2-t1=分析：分析：能量关系能量关系:tRiWRd02 电容电容C不断释放能量被不断释放能量被R吸收，直到全部消耗完毕。吸收，直到全部消耗完毕。设设uC(0+)=U0 电容放出能量电容放出能量 2021CU电阻吸收能量电阻吸收能量 tRRURCtd)e(2 00 2021CU tRURCtde2 020 uCR+-C二二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应 特征方程特征方程 Lp+R=0 LR 特征根特征根 p=由初始值由初始值 i(0+)=I0 定待定系数定待定系数A A=i(0+)=I
14、0 i(0+)=i(0-)=01IRRUS d0(0)diLRitt ptAtie)(00()ee(0)RtptLi tIIt 得得iS(t=0)USL+uLRR1RiuL 令令 =L/R,称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 /0e(0)tL RRIt tLRIi 0e /0e(0)tL RIt 设设i(0)一定：一定：L大大 起始能量大起始能量大 R小小 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小 放电慢放电慢 大大I0ti0秒秒欧欧安安秒秒伏伏欧欧安安韦韦欧欧亨亨 RL 工程上认为，工程上认为，经过经过 3 5 的时间的时间过渡过程结束。过渡过程结束。-RI0uLt0定性讨论定性讨论R
15、、L对过渡过程的影响。对过渡过程的影响。iL(0+)=iL(0)=1 AuV(0+)=-10000V 造成造成 V损坏。损坏。/e(0)tLit t=0时时 打开开关打开开关S，电压表坏了电压表坏了,试分析其原因。试分析其原因。电压表量程为电压表量程为50V /VV10000e(0)tLuR it 分析分析 改进措施改进措施 例例iLS(t=0)+uVL=0.4HR=10 VRV10k 10ViLS(t=0)L=0.4HR=10 10V续流续流二极管二极管 4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比。一阶电路的零输入响应和初始值成正比。1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的一阶电路的零
16、输入响应是由储能元件的初始值引起的 响应，都是一个指数衰减函数。响应，都是一个指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 =RC RL电路电路 =L/R3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。小结小结返回目录返回目录零状态响应（零状态响应（zero-state response）：储能元件初始能量为零，）：储能元件初始能量为零，在激励（电源）作用下产生的响应。在激励（电源）作用下产生的响应。一、直流激励下的零状态响应一、直流激励下的零状态响应 列方程列方程 7.4 7.4 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 一阶非
17、齐次线性常微分方程一阶非齐次线性常微分方程。解答形式为：解答形式为：CCCuuu 通解通解 特解特解 SddUutuRCCC iS(t=0)US+-uRC+-uCRuC(0-)=01.RC电路的零状态响应电路的零状态响应 与输入激励的变化规律有关，某些激励时与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量强制分量为为电路的稳态解，此时强制分量称为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量稳态分量 RCtCAu e全解全解 uC(0+)=A+US=0A=-US由起始条件由起始条件 uC(0+)=0 定定积分常数积分常数 A 齐次方程齐次方程 的解的解 0dd CCutuRC：特解（强制分量）特解（强制分
18、量）Cu=US Cu：通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu RCtCCCAUuuu eSitRUS0Sde (0)dtCRCuUiCttR USCu 稳态分量稳态分量 -USCu 暂态分量暂态分量 uCt0全解全解 )0()e1(e S SS tUUUuRCtRCtC强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)能量关系：能量关系：电源提供能量一部分消耗在电阻上，电源提供能量一部分消耗在电阻上，一部分储存在电容中，且一部分储存在电容中，且wC=wR 充电效率为充电效率为50%tRRUtRiwRCtRd)e(d200S2 022Se2RCtRURCCwCU 22SR
19、C开关开关S 在在t=0时闭合，时闭合，求求uC 的零状态响应。的零状态响应。解法解法1：tuCiuiCdd12 CCutuCuui dd12整理得整理得 64dd5 CCutuC64dd4 CCutu非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程 通解通解 特解特解 解答形式为解答形式为 CCCuuu +-4/5Fi1 1 1 2V例例+-2iS+-uCuV5.13 A5.024 iuiiCtCAu e5.1 则则由初始值定系数由初始值定系数 A=1.51.51.5eV(0)tCut tCAu e 通解通解特征根特征根 p=1 044 p特征方程特征方程特解特解(稳态分量稳态分量)2V+-i1 1
20、 1+-2i+-Cu稳态电路稳态电路 由稳态电路得由稳态电路得 1.51.5e V (0)tCut s1 RC 解法解法2：（先对开关左边电路进行戴维南等效）（先对开关左边电路进行戴维南等效）+-4/5Fi1 1 1 2V+-2iS+-uCu+-4/5F1/4 1 1.5V+-uC2.RL电路的零状态响应电路的零状态响应 SddUiRtiLLL S(1e)(0)RtLLUitR Sde(0)dRtLLLiuLUtt 解解iL(0)=0求求:电感电流电感电流iL(t)。已知已知LLLiii uLUSt0tiLRUS0RUAiLS0)0(tLRARU eSiLS(t=0)US+uRL+uLR二、正
21、弦电源激励下的二、正弦电源激励下的零状态响应零状态响应 Sm()sin()uu tUt)sin(ddmutUtiLRi 强制分量（稳态分量）强制分量（稳态分量）自由分量（暂态分量）自由分量（暂态分量）tAi e RL u tuS接入相位角接入相位角 iii 一阶齐次常微分方程一阶齐次常微分方程 解答形式为解答形式为iL(0)=0uS+-iLS(t=0)L+uLR用相量法计算稳态分量用相量法计算稳态分量 i 22mm)(LRUI RL arctg)sin(m utIi tuAtIiii me)sin(定系数定系数 AIiu )sin(0)0(m )sin(m uIA uILRUImSjjXLLI
22、+-RSU相量模型相量模型 0 0m0e)sin(tttutAtIi tuuItIi mme)sin()sin(解答为解答为 讨论几种情况：讨论几种情况：（1）u =0 即合闸时即合闸时 u=合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。（2）u-=/2 即即 u=/2 A=0 无暂态分量无暂态分量)sin(m utIimIA tIi me tuItIi mme)sin(tuItIi mme)sin(当当 u=+/2时时 mmax2Ii i-ImImi /2it0i波形为波形为 tItIi mme)2/sin(小结：小结：1.一阶电路的零状态响应是储能元件
23、无初始储能时一阶电路的零状态响应是储能元件无初始储能时 由输入激励引起的响应。由输入激励引起的响应。2.时间常数与激励源无关。时间常数与激励源无关。3.线性一阶电路的零状态响应与激励成正比。线性一阶电路的零状态响应与激励成正比。返回目录返回目录7.5 7.5 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 全响应全响应（complete response）：非零起始状态的电路受到）：非零起始状态的电路受到外加外加 激励所引起的响应。激励所引起的响应。SddUutuRCCC 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程 =RC tCAUu Se 暂态解暂态解 tCAu e解答形式为解答形式为 CCCuuu 稳态解
24、稳态解SUuC iS(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=U0强制分量强制分量(稳态分量稳态分量)自由分量自由分量(暂态分量暂态分量)S0S()e(0)tCuUUUt （1）全响应全响应=强制分量（稳态分量）强制分量（稳态分量）+自由分量（暂态分量）自由分量（暂态分量）uC(0+)=A+US=U0A=U0 US由起始值定由起始值定A：U0uC全响应全响应tuC0稳态分量稳态分量 USCu USU0暂态分量暂态分量 Cu 一、一阶电路的全响应及其两种分解方式一、一阶电路的全响应及其两种分解方式 （2）全响应全响应=零状态响应零状态响应+零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 零输入响应
25、零输入响应 S0(1e)e(0)ttCuUUtS0S()e(0)tCuUUUt 可表示为可表示为 =+iS(t=0)USC+uCRuC(0-)=U0iS(t=0)USC+uCRuC(0-)=0uC(0-)=U0iS(t=0)C+uCRtuC0US零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应 U0零状态响应零状态响应 零输入响应零输入响应 S0(1e)e(0)ttCuUUt 全响应全响应 S10,2H,12V,RLU已已知知例例 如图所示电路中如图所示电路中，求求iL,uL的全响应、零输入响应、零状态响应。的全响应、零输入响应、零状态响应。S2A,(0)1ALIi。SRLUSiL+12IS解解 换
26、路后可利用叠加定理将换路后可利用叠加定理将iL,uL的求解分解为下面三个电路。的求解分解为下面三个电路。2HRLiLff(0)1ALi(a)10 +uLfRLUS+(b)2H10 12Ve(0)0Li eLi+eLuRLISe(0)0Li(c)2AeLi2H10+eLu2HRLiLff(0)1ALi(a)10 +uLfRLUS+(b)2H10 12Ve(0)0Li eLi+eLuRLISe(0)0Li(c)2AeLi2H10+eLu各响应分量为各响应分量为/5f5fee A10e VttLtLiu 5e5e1.2(1e)A12eVtLtLiu 5e5e2(1e)A20e VtLtLiu 零输入
27、响应为零输入响应为/5f5fee A10e VttLtLiu 零状态响应为零状态响应为5eee5eee3.2(1e)A32e VtLLLtLLLiiiuuu 零输入响应零输入响应/5f5fee A10e VttLtLiu 零状态响应零状态响应5eee5eee3.2(1e)A32e VtLLLtLLLiiiuuu 全响应为全响应为5fe5fe3.22.2eA22e VtLLLtLLLiiiuuu 返回目录返回目录7.6 7.6 求解一阶电路的三要素法求解一阶电路的三要素法 0()()(0)()etr trrr ()(0)rr 稳稳态态解解三三要要素素起起始始值值时时间间常常数数线性非时变一阶电路
28、的时域数学描述是一阶微分方程线性非时变一阶电路的时域数学描述是一阶微分方程。()()etr trA 令令 t=0+0(0)()rrA 0(0)()Arr 对于换路后有稳态的情况，一阶电路响应的一般形式为对于换路后有稳态的情况，一阶电路响应的一般形式为 ISRaRbC2121)(RRLRR CRR)(ba 例例1 求求 的简便方法：的简便方法：uSLR2R1例例2 R等等LCR等等（1）独立电源置零。独立电源置零。等等等等电路：电路：电路：电路：RLRLCRRC （2）从从L或或 C两端求入端等效电阻，则两端求入端等效电阻，则 思考：思考：+-R1R2C1C2E(t)？)(212121CCRRR
29、R R1R2C1C2独立电源置零后电路独立电源置零后电路 则则 例例1 已知：已知：t=0时合开关时合开关S，求，求 换路后的换路后的uC(t)。V2)0()0(CCuuV321122)(Cus2332 CR等等 0.50.6671.333eV(0)tCut 解解 1A2 1 3F+-uCSt/suC2/V667.00已知：电感无初始储能已知：电感无初始储能 t=0 时合时合 S1,t=0.2s时合时合S2 求两次换路后的电感电流求两次换路后的电感电流i(t)。解解 0 t 0.2s A2)(s2.00)0(1 ii A5)(s5.0A26.1)2.0(2 ii A26.1e22)2.0(2.
30、05 iAe74.35)()2.0(2 tti例例2 i10V1HS1(t=0)S2(t=0.2s)3 2 Ae74.35)2.0(2 tiAe225ti (0 t 0.2s)(t 0.2s)it/s0.2 5/A1.26 20例例3 求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t)。10k 10k uS+-iC100 FuC(0-)=00.510t/suS/V00 t 0.5s s5.01051010036 RC mA11000010)0(Ci0)(CimA e2tCi t=0.5s 时第时第2次换路次换路 5.02e)5.0()5.0(CCii?)5.0()5.0(CCuu解解10k 10k
31、uS+-iC100 FuC(0-)=0用三要素法求用三要素法求iC 要先求出要先求出uC(0.5+)，画出，画出0.5+电路，再求电路，再求iC(0.5+)s5.0V5)(0)0(CCuuV e552tCu 0 t 0.5s s5.00)(CimAe632.0)5.0(2 tCi10k 10k iC3.16Vt=0.5+s时刻电路时刻电路 +-mA e2tCi mAe632.0)5.0(2 tCi(t 0.5s)(0 t 0.5s)V16.3)5.0()5.0(CCuut/siC/mA1-0.6320.500.368返回目录返回目录7.7 7.7 脉冲序列作用下的脉冲序列作用下的RC电路电路
32、相当于多次换路：相当于多次换路：+uR-R+US-放电电路放电电路 RCuSuRuCiuC(0-)=0T2Tt0UuS充电电路充电电路 0T:电容充电；电容充电；T2T:电容放电；电容放电；tT2T3TuC一、一、T RCuSuRuCiuC(0-)=0 +uR-R+US-放电电路放电电路 过渡过程在半个周期过渡过程在半个周期(T)内结束内结束 由三要素法得由三要素法得 )0(Tt )e1(SRCtCUu )2(TtT RCTtCUu Se变化曲线为变化曲线为 （1）uC的变化规律的变化规律 0 t T T t 放电幅值；放电幅值；当充电幅值当充电幅值 =放电幅值时，进入准稳态。放电幅值时，进入
33、准稳态。二、二、一般情况的讨论一般情况的讨论设设T=，US=100V。T2T3T4T5T6T7T8TtUS00 t T RCtCUUUu e)(S1ST t 2T RCTtCUu e2t=T t=2T RCTTUU 2 21e可解出可解出U1，U2 TTUU2-S2e-1e1 当当US=100V，T=时解得时解得U2=73.2V，U1=27V TTTUU2-S1e-1e)e1(RCTUUUU S1S2e)(稳态解稳态解 tT2T3TUSU2U10暂态解暂态解 tCAu e 由初值由初值 uC(0)=0 定系数定系数 A 1UA 0S1S ee)(0 tttAUUU 稳态解一般形式稳态解一般形式 2nT t (2n+1)T (2n+1)T t (2n+2)T RCnTtCUUUu2S1Se)(n=0，1，2，3.RCTntCUu)12(2e CCCuuu 全解全解 -U1U1U2全响应为全响应为 RCnTtCUUUu2S1Se)(1etU 2nT t (2n+1)TRCTntCUu)12(2e tU 1e (2n+1)T t (2n+2)T 稳态稳态 暂态暂态 全响应全响应 tT2T3T4T5T6T7T8TUS0返回目录返回目录
