1、第第29讲讲直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 第第29讲讲 考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 点和圆的位置关系点和圆的位置关系 如果圆的半径是如果圆的半径是r r，点到圆心的距离是点到圆心的距离是d d，那么，那么 点在圆外点在圆外 _点在圆上点在圆上 _点在圆内点在圆内 _dr 第第29讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 设设O O的半径为的半径为r r，圆心圆心O O到直线到直线l l的距的距离为离为d d，那么，那么(1)(1)直线直线l l和和O O相交相交_(2)(2)直线直线l l和和O O相切相切_(3)(3)直线直线l
2、l和和O O相离相离_dr 第第29讲讲 考点聚焦考点聚焦考点考点3 3 圆的切线圆的切线 切线的切线的性质性质圆的切线圆的切线_过切点的半径过切点的半径推论推论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过经过圆心且垂直于切线的直线必过_；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过经过切点且垂直于切线的直线必过_切线的切线的判定判定(1)和圆有和圆有_公共点的直线是圆的切线公共点的直线是圆的切线(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的如果圆心到一条直线的距离等于圆的_，那么这条直线是圆的切线那么这条直线是圆的切线(3)经过半径的外端并且经过半径的外端并且_这条半径的直线这条半径的直线是圆的切线是圆的切线常添辅
3、常添辅助线助线连接圆心和切点连接圆心和切点垂直于垂直于 切点切点 圆心圆心 唯一唯一 半径半径 垂直于垂直于 考点考点4 4 切线长及切线长定理切线长及切线长定理 第第29讲讲 考点聚焦考点聚焦切线长切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长切线长定理定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_，圆心和这一点的连线，圆心和这一点的连线_两条切线两条切线的夹角的夹角基本图基本图形形如图所示，点如图所示，点P P是是O O外一点，外一点，PAP
4、A、PBPB切切O O于点于点A A、B B，ABAB交交POPO于点于点C C，则有如下结论：，则有如下结论：(1)(1)PAPAPBPB；(2)(2)APOAPOBPOBPOOACOACOBCOBC，AOPAOPBOPBOPCAPCAPCBPCBP相等相等 平分平分 考点考点5 5 三角形的内切圆三角形的内切圆 第第29讲讲 考点聚焦考点聚焦三角形的三角形的内切圆内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形外切三角形三角形三角形的内心的内心三角形内切圆的圆心叫做三角形三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心它是三
5、角形的内心它是三角形_的交点，三角形的交点，三角形的内心到三边的的内心到三边的_相等相等三条角平分线三条角平分线 距离距离 第第29讲讲 考点聚焦考点聚焦第第29讲讲 归类示例归类示例归类示例归类示例 类型之一点和圆的位置关系类型之一点和圆的位置关系命题角度：命题角度：点和圆的位置关系点和圆的位置关系 2 例例1 2013广元广元在同一平面上，在同一平面上，O 外一点外一点P到到 O 上一点的距离最长为上一点的距离最长为6 cm，最短为，最短为2 cm，则，则 O 的半的半径为径为_ cm.解析解析 画图得：画图得：O O 外一点外一点P P到到O O 上一点的距离上一点的距离最长为最长为6
6、cm6 cm，最短为，最短为2 cm2 cm，则直径为，则直径为4 cm4 cm，半径半径为为2 cm.2 cm.第第29讲讲 归类示例归类示例准确理解题意解题，必要时画出图形进行观察准确理解题意解题，必要时画出图形进行观察第第29讲讲 归类示例归类示例 类型之二直线和圆的位置关系的判定类型之二直线和圆的位置关系的判定 命题角度：命题角度：1.定义法判定直线和圆的位置关系；定义法判定直线和圆的位置关系；2.d、r比较法判定直线和圆的位置关系比较法判定直线和圆的位置关系D 例例2 2013无锡无锡已知已知 O的半径为的半径为2，直线，直线l上有一点上有一点P满足满足PO2，则直线，则直线l与与
7、O的位置关系是的位置关系是()A相切相切 B相离相离C相离或相切相离或相切 D相切或相交相切或相交第第29讲讲 归类示例归类示例 解析解析 分分OPOP垂直于直线垂直于直线l l，OPOP不垂于直线不垂于直线l l两种情况讨论两种情况讨论当当OPOP垂直于直线垂直于直线l l时，即圆心时，即圆心O O到直线到直线l l的距离的距离d d2 2r r，O O与与l l相切；相切；当当OPOP不垂直于直线不垂直于直线l l时，即圆心时，即圆心O O到直线到直线l l的距离的距离d2d2r r，O O与直线与直线l l相交相交故直线故直线l l与与O O的位置关系是相切或相交的位置关系是相切或相交第
8、第29讲讲 归类示例归类示例 在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法题目的已知条件选择正确的方法 类型之三类型之三圆的切线的性质圆的切线的性质 命题角度：命题角度：1.1.已知圆的切线得出结论；已知圆的切线得出结论；2.2.利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明 第第29讲讲 归类示例归类示例例例3 3 20132013扬州扬
9、州 如图如图291，AB是是 O的直径，的直径，C是是 O上一点，上一点，AD垂直于过点垂直于过点C的切线，垂足为的切线，垂足为D.(1)求证：求证：AC平分平分BAD；(2)若若AC25，CD2，求，求 O的直径的直径图图29291 1第第29讲讲 归类示例归类示例第第29讲讲 归类示例归类示例 “圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法算的常用方法第第29讲讲 归类示例归类示例 类型之四类型之四 圆的切线的判定方法圆的切线的判定方法 例例4 4 20
10、132013淮安淮安 如图如图292，AD是是 O的弦，的弦，AB经经过圆心过圆心O，交，交 O于点于点C，DABB30.(1)直线直线BD是否与是否与 O相切？为什么？相切？为什么？(2)连接连接CD，若，若CD5，求，求AB的长的长 第第29讲讲 归类示例归类示例命题角度：命题角度：1.利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；直线是圆的切线；2.利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线判定这条直线是圆的切线图图29292 2第第29讲讲 归类示例归类
11、示例 解析解析 (1)连接连接OD，因为，因为OAOD，所以，所以ODAA30.又因为又因为ADB180AB120，所以所以ODB90，即，即BD是是O的切线；的切线；(2)思路一：因为思路一：因为AC是直径，所以是直径，所以ADC90，由于，由于A30，利用直角三角形中，利用直角三角形中30角所对的直角边等于角所对的直角边等于斜边的一半，所以斜边的一半，所以AC2CD10，CDBADBADC30B，所以，所以BCCD5，所以，所以ABACBC15；思路二：思路二：AC是直径，所以是直径，所以ADC90，A30，求出求出DOB60，进一步得到，进一步得到ODC是等边三角形，是等边三角形，然后把
12、然后把AB分成三条线段的和来求，具体类似思路一分成三条线段的和来求，具体类似思路一第第29讲讲 归类示例归类示例解：解：(1)直线直线BD与与 O相切理由如下：相切理由如下：如图，连接如图，连接OD，OAOD，ODADABB30，ODB180ODADABB18030303090，即，即ODBD，直线直线BD与与 O相切相切第第29讲讲 归类示例归类示例(2)由由(1)知，知，ODADAB30，DOBODADAB60.又又OCOD，DOC是等边三角形，是等边三角形，OAODCD5.又又B30，ODB90，OB2OD10.ABOAOB51015.在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想在涉及切线
13、问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线如果证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径等于半径第第29讲讲 归类示例归类示例 类型之五类型之五 切线长定理的运用切线长定理的运用 命题角度：命题角度：1.利用切线长定理计算；利用切线长定理计算；2.利用切线长定理证明利用切线长定理证明
14、第第29讲讲 归类示例归类示例 例例5 5 20132013绵阳绵阳 如图如图29293 3，PAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B B两点，连接两点，连接POPO、ABAB相交于相交于D D，C C是是O O上一点，上一点，C C6060.(1)(1)求求APBAPB的大小；的大小；(2)(2)若若POPO20 cm20 cm，求，求AOBAOB的面积的面积图图29293 3 解析解析(1)(1)由切线的性质，即可得由切线的性质，即可得OAPAOAPA，OBPBOBPB，又由圆周角定理，求得，又由圆周角定理，求得AOBAOB的度数，继而求的度数，继而求得得APBAPB的大小；的大
15、小；(2)(2)由切线长定理，可求得由切线长定理，可求得APOAPO的度数，继而求得的度数，继而求得AOPAOP的度数，易得的度数，易得POPO是是ABAB的垂直平分线，然后利用三的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得角函数的性质，求得ADAD与与ODOD的长的长 第第29讲讲 归类示例归类示例第第29讲讲 归类示例归类示例 (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法两条切线的长相等，是解题的基本方法(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连长定理，圆的半径相等
16、紧密相连第第29讲讲 归类示例归类示例 类型之六类型之六 三角形的内切圆三角形的内切圆命题角度：命题角度：1.三角形的内切圆的定义；三角形的内切圆的定义；2.求三角形的内切圆的半径求三角形的内切圆的半径第第29讲讲 归类示例归类示例 例例6 6 20132013玉林玉林 如图如图29295 5，RtRtABCABC的内切圆的内切圆O O与两直角边与两直角边ABAB，BCBC分别相切于点分别相切于点D D，E E，过劣弧，过劣弧DEDE(不包括不包括端点端点D D，E E)上任一点上任一点P P作作O O的切线的切线MNMN，与，与ABAB，BCBC分别交于分别交于点点M M，N N，若，若O
17、O的半径为的半径为r r，则，则RtRtMBNMBN的周长为的周长为()图图29295 5C 第第29讲讲 归类示例归类示例 解析解析 连接连接ODOD、OEOE，则，则ODBODBDBEDBEOEBOEB9090，推出四边形，推出四边形ODBEODBE是正方形，得出是正方形，得出BDBDBEBEODODOEOEr.r.根据切线长定理得出根据切线长定理得出MPMPDMDM，NPNPNE,NE,RtRtMBNMBN的周长为：的周长为：MBMBNBNBMNMNMBMBBNBNNENEDMDMBDBDBEBEr rr r2r2r，故选，故选C C.解三角形内切圆问题，主要是切线长定解三角形内切圆问题
18、，主要是切线长定理的运用解决此类问题，常转化到直角三理的运用解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决及三角函数等解决第第29讲讲 归类示例归类示例已知矩形已知矩形ABCDABCD的边的边AB=15,BC=20,AB=15,BC=20,以点以点B B为圆心作圆为圆心作圆,使使A,C,DA,C,D三点至少有一三点至少有一点在点在BB内内,且至少有一点在且至少有一点在BB外外,则则BB的半径的半径r r的取值范围的取值范围_。BACD已知点已知点P P是是00所在平面内的一点，所在平面内的一点，P P与圆上所有点的距离中
19、最长距离是与圆上所有点的距离中最长距离是9cm,9cm,最短距离是最短距离是4cm,4cm,则则00的半径是的半径是_。已知点已知点0 0是是ABCABC的外心的外心,AOB=110,AOB=110，则则CC的度数为的度数为_。在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90，BC=3cmBC=3cm，AC=4cmAC=4cm，以点，以点C C为圆心，以为圆心，以2.5cm2.5cm为半为半径画圆，则径画圆，则CC与直线与直线ABAB的位置关系是的位置关系是（）A A相交相交 B B相切相切 C C相离相离 D D不确定不确定在在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AB=5AB=5，
20、AC=3AC=3，以，以ABAB的中点为圆心的同心圆中，的中点为圆心的同心圆中，与与BC,ACBC,AC都相离的圆的半径应符合条都相离的圆的半径应符合条件件()()A.rA.r2 B.02 B.0r r2 2 C.0C.0r r1.5 D.01.5 D.0r r1 1如图如图,在在ABCABC中，中，AB=3,AC=4,BC=5,D,EAB=3,AC=4,BC=5,D,E分别是分别是AC,ABAC,AB的中点，则以的中点，则以DEDE为直径的为直径的圆与圆与BCBC的位置关系是的位置关系是()()A A相切相切 B B相交相交 C C相离相离 D D无法确定无法确定ABCDE如图如图,在在Rt
21、RtABCABC中，中，C=90C=90，AC=3AC=3，BC=4.BC=4.若以点若以点C C为圆心，为圆心，r r为半径所作的为半径所作的圆与斜边圆与斜边ABAB只有一个公共点，则只有一个公共点，则r r的取的取值范围是值范围是_。ABC在在ABCABC中，中，C=90C=90，AC=6AC=6，BC=8.BC=8.以以点点C C为圆心，为圆心，r r为半径画为半径画C,C,使使CC与线与线段段ABAB有且只有两个公共点，则有且只有两个公共点，则r r的取值的取值范围是范围是()()A.6r8 B.6rA.6r8 B.6r8 8 C.C.r6 D.r6 D.r8r8ABC524524如图如图,等圆等圆OO1 1和和002 2相交于相交于A,BA,B两点两点,0,01 1经经过过002 2的圆心的圆心0 02 2.求求001 1ABAB的读数。的读数。0 01 1B BA A0 02 2
