1、对固定点对固定点o，质点，质点m所受合外力矩所受合外力矩对对o点角动量守恒（大小、方向均不变）点角动量守恒（大小、方向均不变）LvmR RmvL mgToOmlR.L+L+对固定点对固定点o，质点，质点m所受合外力矩所受合外力矩 oM sinmgl对对o点角动量点角动量L+.L+方向随时间变化方向随时间变化*合外力矩、角动量均对同一点而言合外力矩、角动量均对同一点而言)(TgmRM 大小大小 Lo=mvlvmlLo sinmvl 0 例：例：不守恒不守恒小球所受合外力指向小球所受合外力指向o对对o点小球受合外力矩为零点小球受合外力矩为零解解：分析：分析 F为有心力，为有心力，角动量守恒。角动量
2、守恒。mv rmv r11221212rvvr例例：绳往下拉，小球半径由：绳往下拉，小球半径由 r1 减为减为 r2，小球速度，小球速度v1v2与与的关系？的关系？1v1rv22rF光滑桌面光滑桌面02vgh 2(2)*2 2mmghmm vvghmm 即mvRvRmmRghm)(2 讨论：质点系动量是否守恒？讨论：质点系动量是否守恒？方程方程*并不表示动量守恒，若动量守恒，应写成：并不表示动量守恒，若动量守恒，应写成：0 2(),2mghmm vmvm v vghvmmhmvvvo 正方向正方向o2-4-1 功和功率 功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力功是度量能量转换的基本物理量，它描
3、写了力对空间积累作用。对空间积累作用。功的定义：xyzO1rrFF cosrFW rF 国际单位：焦耳（J）Nm1 1、恒力的功、恒力的功rFrFW cosabFrd 质点由质点由a点沿曲线运动到点沿曲线运动到b点的过程中，点的过程中，变力变力 所所作的功作的功。F（2）元功：rFWddbabarFrFWdcosdr d F 2、变力的功、变力的功0 r的一小段位移的一小段位移rd合力的功：rFFFrFWbanbadd21banbabarFrFrFddd21n21WWWW结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和作功之代数和 。在直角坐标系在直角
4、坐标系Oxyz中中 kFjFiFFzyxk zj yi xr)dddddddzFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWzybaxbazyxba（此式的意义是此式的意义是合力的功合力的功等于等于各分力功之和各分力功之和。功的两种计算方法：功的两种计算方法：rdFW21dzFdyFdxFWzyx212121drF12（1）重力的功）重力的功xyzOazabzbrgm初始位置初始位置a末了位置末了位置bbaabrFWdkzj yi xkmgbadddbabazzmgzmgd重力的功只决定于作功的起重力的功只决定于作功的起点和终点，而与路径无关点和终点，而与路径无关。重力的功重力的功xyzOaza
5、bzb baabzzmgW 的定义：的定义：如果如果 有一力，它对质点所作的功只有一力，它对质点所作的功只决定于起点和终点决定于起点和终点,与路径无关，称此力为与路径无关，称此力为或或。若质点由若质点由b点沿红线运动到点沿红线运动到a点点:)(abbazzmgW0baababaWWrdGW)(baabzzmgW质点由质点由a点沿黄线运动到点沿黄线运动到b点：点：或：或：绕闭合路径一周，保守力的功为零绕闭合路径一周，保守力的功为零0drF（2）万有引力作功万有引力作功 设质量为设质量为M的质点固定，另一质量为的质点固定，另一质量为m的质点在的质点在M 的引力场中从的引力场中从a a点运动到点运动
6、到b b点。点。rerMmGF20barrrrerMmGWd20rrrerdcosdddrFab太阳太阳Marbrr dr地球地球mrre barrrrMmG20d万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与路径无关万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与路径无关 barrMmG110（3）弹性力的功）弹性力的功x2box1mxamFx由虎克定律：由虎克定律：ikxF xFWd22212121kxkxW 弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。而与弹性变形的过程无关。21dxxi xikx 21dxxxkx设作用在质量为设作用在质
7、量为2kg的物体上的力的物体上的力F=6t N。如。如果物体由静止出发沿直线运动，在头果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作）内这力作了多少功？了多少功？ttmFa326tddv tttad3ddv两边积分：两边积分：ttt00d3dvv223tvtxdd v又又tttxd23dd2 v xFWdJ36 xFWd 202d236ttt20449t 功率是反映作功快慢程度的物理量。功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：平均功率：tWP瞬时功率：tWtWPtddlim0瓦特（W）=（J/s）vFtrFtWPdddd平均功率平均功率:瞬时功率瞬时功率:=PP=dWdt=Fdr.dt=F.v
8、tWLAB例例2：求单摆在：求单摆在A,B两点的重力两点的重力瞬时功率瞬时功率A点重力的点重力的瞬时功率瞬时功率:B点重力的点重力的瞬时功率瞬时功率00mgVFP VmgVFP 02cos 2-4-2 动能和动能定理 质点因有速度而具有的作功本领。质点因有速度而具有的作功本领。221vmEk单位：（J）设质点设质点m在力的作用下沿在力的作用下沿曲线从曲线从a点移动到点移动到b点点sFrFWdcosddrdFab1质点动能定理质点动能定理)(21dd212221vvvvvvmmWW质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。1221222121
9、kkEEmmWvvvvvdddddcosdmstmsFWtmmaFddcosv2质点系的动能定理质点系的动能定理 iFif一个由一个由n个质点组成的质点系，考察第个质点组成的质点系，考察第i个质点。个质点。质点的动能定理：质点的动能定理：iiEE1k2k内外iiWW对系统内所有质点求和对系统内所有质点求和 niiniiEE11k12kniniiiWW11外内12kkEE外内WW 质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。内力作功之代数和。内力做功可以改变系统内力做功可以改变系统的总动能。的总动能。例例3 如图，铁锤质量如图，铁锤质量M
10、,将质量为将质量为m 的钉子敲入木板。的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。第一次敲打时，钉子敲入第一次敲打时，钉子敲入1cm深，若第二次敲钉子的深，若第二次敲钉子的情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？1S2SxO设铁锤敲打钉子前的设铁锤敲打钉子前的速度为速度为v0，vv)(0mMMmMM0vv敲打后两者的共同速度为敲打后两者的共同速度为v。0vv,mM铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：力大小为：kxf
11、由动能定理，由动能定理，有：有：2102021d2101kSxkxmS v SSSxkxm11d21020v设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为S，则有，则有 212121)(21kSSSk21212)(SSS 112SSS 化简后化简后第二次能敲入的深度为：第二次能敲入的深度为：cm41.0cm1)12(211 SSS例例4.传送带沿斜面向上运行速度为传送带沿斜面向上运行速度为v=1m/s，设物料无，设物料无初速地每秒钟落到传送带下端的质量为初速地每秒钟落到传送带下端的质量为M=50kg/s，并，并被输送到高度被输送到高度h=5m处，求配置的电动机所需功率。处，求
12、配置的电动机所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）hv解：解：由由动能定理动能定理电动机的功重力的功电动机的功重力的功物料动能的增量物料动能的增量考虑质量为考虑质量为Mt 的物料的物料动能的增量：动能的增量：0212 vtMEk电动机对系统做的功：电动机对系统做的功：tP由动能定理：由动能定理：221vtMghtMtPW247558.92150222ghMPv重力做功：重力做功：ghtMW物体在保守力场中物体在保守力场中a、b两点的势能两点的势能Epa与与 Epb之差，等之差，等于质点由于质点由a点移动到点移动到b点过程中保守力所做的功点过程
13、中保守力所做的功Wab。abbapbpaWrFEEdppapbabEEEW)(势能（势能（E Ep p）:由物体的相对位置所确定的系统能量由物体的相对位置所确定的系统能量势能（1）势能是一个系统的属性。）势能是一个系统的属性。（2）（3）势能的零点可以任意选取。）势能的零点可以任意选取。设空间设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点点为势能的零点，则空间任意一点 r的势能为：的势能为：orropprFrErErEd保)()()(空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。点移动到势能零点时保守力做的功。mghEp（地面（地面（h=0=
14、0）为势能零点）为势能零点）221kxEp（弹簧自由端为势能零点）（弹簧自由端为势能零点）rMmGEp0（无限远处为势能零点）（无限远处为势能零点）保守力与势能的积分关系：pEW保守力与势能的微分关系：pEWddzFyFxFrFWzyxdddddzzEyyExxEEzyppddddkzEjyEixEFppp 保守力等于势能梯度的负值保守力等于势能梯度的负值12ppEEW保内12kkEE外内WW质点系的动能定理：质点系的动能定理：非保内保内内WWW其中其中12kkEEWWW非保内保内外 1p1k2p2kEEEEWW非保内外pkEEE机械能12EEWW非保内外 质点系机械能的增量等于所有外力和所有
15、非保质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。守内力所作功的代数和。质点系的功能原理0外W如果如果0非保内W，pkEEE恒量 当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。保持不变。机械能守恒定律 注意：（4 4）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能作功。惯性系。这是因为惯性力可能作功。（5 5）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选机械能不一定守恒。这是因为外力
16、的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。中外力功也许不为零。（1）机械能是指物体系的动能与势能的和；）机械能是指物体系的动能与势能的和；（2）决定）决定是外力的功和非保守内力的功，不能是外力的功和非保守内力的功，不能理解为合力的功；理解为合力的功；E(3)不出现在功能原理表达式中，即保守内力做不出现在功能原理表达式中，即保守内力做功不影响系统的总机械能。功不影响系统的总机械能。保内W 例例5：如图如图,设所有接触都是光滑的。设所有接触都是光滑的。m-劈尖系统由静止开始运动。当劈尖系统由静止开始运动。当m落落
17、到桌面上时，劈尖的速度有多大？到桌面上时，劈尖的速度有多大？hM(=)h2singmmv212cosvv+2Mv21,20M=mvcosvv()hmMvvv解：设铁块相对劈尖的解：设铁块相对劈尖的 滑行速度为滑行速度为 v由动量守恒得：由动量守恒得：mvcosM m+()v=(1)由机械能守恒得：由机械能守恒得：(=)h2singmmv212cosvv+2Mv212=22+h2gmm2cosvMM m+()sin2()=+hgmm2cosvMM m+()sin2()+=h2gmm v22cosv+Mv2vv2(2)mvcosM m+()v=(1)将将(1)代入代入(2)经整理后得：经整理后得：
18、例例6.一长度为一长度为2l的均质链条，平衡地悬挂在一光滑的均质链条，平衡地悬挂在一光滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）l 2lOO解解设单位长度的质量为设单位长度的质量为cc始末两态的中心分别为始末两态的中心分别为c和和c机械能守恒：机械能守恒：2221222vlglllg l解得解得lgv例例7.7.计算第一，第二宇宙速度计算第一，第二宇宙速度已知：地球半径为已知：地球半径为R，质量，质量为为M，卫星质量为，卫星质量为m。要使。要使卫星在距地面卫星在距地面h高度绕
19、地球高度绕地球作匀速圆周运动，求其发作匀速圆周运动，求其发射速度。射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：hRMmGmRMmGm2212121vvRMm由万有引力定律和牛顿定律：由万有引力定律和牛顿定律：hRmhRMmG22v解方程组，得：解方程组，得：hRGMRGM21v2RmMGmg gRRGM代入上式，得：代入上式，得：)2(1hRRgRvRh 131109.7smgRv2.第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于
20、或至少）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少 等于零。等于零。由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：02122pkEERMmGmv解得：解得：1312sm102.11222vvgRRGM（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。碰撞碰撞 1m1m2m2m1m10v20v1v2vxO动量守恒动量守恒2211202101vvvvmmmm完全弹性完全弹性碰撞：碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系统的机械能没有损失的机械能没有损失。非弹性碰撞非弹性碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系统的机械能有损失的机械能有损失。完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞：碰撞碰撞后物体后物体系统系
21、统的机械能有损失的机械能有损失，且且碰撞后碰撞后物体物体以同一速度运动以同一速度运动。1.完全弹性碰撞完全弹性碰撞 2222112202210121212121vvvvmmmm2211202101vvvvmmmm210110212221202102112)(2)(mmmmmmmmmmvvvvvv(1)如果如果m1=m2，则，则v1=v20，v2=v10，即两物体即两物体在碰撞时速度在碰撞时速度发生了发生了交换交换。(2)如果如果v20=0,且且 m2 m1,则则v1=-v10,v2=02完全完全非非弹性碰撞弹性碰撞 21202101mmmmvvv由动量守恒定律由动量守恒定律完全非弹性碰撞中完全
22、非弹性碰撞中动动能的损失能的损失 22122022101(21)2121()vvvmmmmE)(2)(212201021mmmmvv牛顿的牛顿的碰撞定律碰撞定律：在一维对心碰撞在一维对心碰撞中，中，碰撞碰撞后两物后两物体的分离速度体的分离速度 v2 2-v1 1 与与碰撞碰撞前两物体的接近速度前两物体的接近速度 v1010-v2020 成正比成正比，比值由两物体的材料比值由两物体的材料性质性质决定决定。3*非非弹性碰撞弹性碰撞201012vvvve e 为恢复系数为恢复系数 e=0，则则v2=v1，为，为完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞。e=1，则分离速度等于接近速度则分离速度等于接近速度，为，为
23、完全弹性碰撞完全弹性碰撞。一般一般非弹性碰撞非弹性碰撞碰撞碰撞：0 e 1 例：三个物体、，每个质量均为，、例：三个物体、，每个质量均为，、靠在一起，放在光滑的水平桌面上，两者间有一段长靠在一起，放在光滑的水平桌面上，两者间有一段长为此为此0.4m的细绳，原先放松着。的另一侧用一跨过的细绳，原先放松着。的另一侧用一跨过桌边的定滑轮的细绳与相连，滑轮和绳子的质量及桌边的定滑轮的细绳与相连，滑轮和绳子的质量及轮轴上的摩擦不计，绳子不可伸长，求：（）、轮轴上的摩擦不计，绳子不可伸长，求：（）、起动后，经多长时间也开始运动？（）开始起动后，经多长时间也开始运动？（）开始后运动的速度是多少？（后运动的速
24、度是多少？（g取取10m/s)BCAM解：（）：解：（）：aMTgMAA aMTB gsmgMMgMaBAA/52 smMMgMaBAA/5 BCAM)(4.04,212sgltatl l(2)B、C之间绳子刚拉紧时，和的之间绳子刚拉紧时，和的速度为速度为1=at=2/s.设开始拉紧时，、三者速度大小为设开始拉紧时，、三者速度大小为2，则绳，则绳子拉紧过程中，、系统对定滑轮轴的角动量近子拉紧过程中，、系统对定滑轮轴的角动量近似守恒（不计的重力的情况下）则：似守恒（不计的重力的情况下）则：RVMMMRVMMCBABA21)()(smvvMMMMMvCBABA/33.132112 链条总长为链条总
25、长为 L，质量为，质量为 m，初始时刻如图悬挂，链条与桌，初始时刻如图悬挂，链条与桌 面间的摩擦系数为面间的摩擦系数为 ，链条由静止开始运动，求：，链条由静止开始运动，求：（1）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？（2）、这时候链条的速度？）、这时候链条的速度？则当则当链条链条在桌面上移动的长度为在桌面上移动的长度为X时，时，摩擦力作的功为摩擦力作的功为dxLxmgfdxdWf 202)()(hLLmgdxLxmgAhLf -(L-h）hXY解：解：选地面为参照系，坐标系如图选地面为参照系，坐标系如图Nf )1(gxmN)(Lxmxm)(x（2）、）、由功能原理由
26、功能原理)()(221212hhLmgmgLmvAf )()(222hLhLLgv Lhh零势面零势面 )yL(dmgdmv21 2 由由机机械械能能守守恒恒 )vdm(0Ndt 例例：一柔软绳长：一柔软绳长 l，线密度，线密度 r r，一端着地开始自由下落，一端着地开始自由下落，下落的任意时刻，给地面的压力为多少？下落的任意时刻，给地面的压力为多少？lyYdydmr r 解：选地面为参照系，坐标系如图，解：选地面为参照系，坐标系如图，t时刻有长为时刻有长为 l-y 的的绳子落到地面上，绳子落到地面上，该段绳子对地面的作用力为该段绳子对地面的作用力为 )yL(g r r考虑考虑dm段绳子与地面
27、作用的情况：段绳子与地面作用的情况：dm从从 l-y 的高度落到地面上的高度落到地面上vdtdyvdtdmNr r(1)(2)yL(g2v 2 )(22y(Lgvr rr rvdtdyN r r)()(ylgylgNr rr r链条对地面的作用力为)yl(g2NN r r lyY设碰撞后两球速度设碰撞后两球速度)vv(mvm21 由动量守恒由动量守恒21 ,vv两边自点乘两边自点乘22212122vvvvv 由机械能守恒（势能无变化）由机械能守恒（势能无变化）)vv(2mv2m22212 021 vv两球速度总互相垂直两球速度总互相垂直例例：在水平面上，两相同的球做：在水平面上，两相同的球做完
28、全弹性碰撞完全弹性碰撞，其中，其中一球开始时处于一球开始时处于静止静止状态，另一球速度状态，另一球速度 v。证：证：选地面为参照系选地面为参照系求证：碰撞后两球速度总求证：碰撞后两球速度总互相垂直互相垂直。对对碰撞过程碰撞过程应用动量原理应用动量原理 例例：质量为一吨的蒸汽锤自质量为一吨的蒸汽锤自1.5m高的地方落下，它与工高的地方落下，它与工件的碰撞时间为件的碰撞时间为 =0.01s,求：打击的平均冲力。求：打击的平均冲力。=661.66101+0 030.()N=02ghvh0mmv工件工件Nmg=2ghNmgm+)(0m0v=Nmg)(解一：解一：选地面为参照系，坐标系如图选地面为参照系
29、，坐标系如图Y解二：解二：对对整个过程整个过程应用动量原理应用动量原理N)(+mg=1.69 =t1610()N=Nmgmg()00+tNmgh0mmv工件工件Y选地面为参照系，坐标系如图选地面为参照系，坐标系如图Nx=0NNNxymg=2.0+0.2(N)=2.2(N)Nmgcosty=+2mvmv()cosy=Nmgt()mv cosvvYXmvmv sinsin=Ntx 例例 一小球与地面碰撞一小球与地面碰撞-1v=v=5 m s.求求:平均冲力。平均冲力。0.05st=碰撞时碰撞时间间0360 ,102 kgm解：解：选地面为参照系，坐标系如图选地面为参照系，坐标系如图解：解：mhMm
30、gT=02ghvM=0vTMt()g=Tmt()gmvmv()0MMMmmmtmv+=g0vMgTvv0v求：绳子拉紧后，求：绳子拉紧后，M 与与 m的共同速度。的共同速度。t。子与子与m、M 之间的相互作用时间为之间的相互作用时间为 例例 已知已知 M，m，h。绳子拉紧瞬间绳绳子拉紧瞬间绳x选地面为参照系，如图建坐标选地面为参照系，如图建坐标对对M与与m分别应用动量原理分别应用动量原理 例例 矿砂从传送带矿砂从传送带A落入传送带落入传送带B，其，其速度速度v1=4m/s,方向与竖直方向成方向与竖直方向成 300 角，角，而传送带而传送带 B 与水平方向成与水平方向成150 角，其速度角，其速
31、度v2=2m/s。传送带的运送量为。传送带的运送量为k=20kg/s.求：落到传送带求：落到传送带B上的矿砂所受到的力。上的矿砂所受到的力。150300ABv1v2mv1()=mv2mv47520cos+=mv()222 4m=3.98m ()=3.98k t m/s1503002mv1mvmv()150300ABv1v2解：在解：在t内落在传送带上的矿砂质量为：内落在传送带上的矿砂质量为：这些矿砂的动量增量为：这些矿砂的动量增量为：m=kt，7520sin=mv()mvsinF t=mv()Ft=mv()=3.98k tt=3.98k=79.6N由动量原理：由动量原理：29=01503002
32、mv1mvmv()600150300ABv1v21503002mv1mvxyo解二：对矿砂解二：对矿砂m(m=kt)应用动量原理应用动量原理sincos=2v1501v300()tk1.36(N)=20 24=cos150sin300)(Fxsincost=2mv1501mv300()sincos=2v1501v300()kFxt()cossin=2v1501v300+k+20 24=sin150cos300)(=79.63(N)+=ij1.3679.63 79.631.36=arc tg=8901503002mv1mvxyoFFycossint=2mv1501mv300()()cossin=
33、2v1501v300+kFy+=FyFxijF=F+FyFx22=79.64(N)例例：逆风行舟逆风行舟 mvvu 船俯视图船俯视图船前进方向船前进方向Vv风风pp0 p m 动量动量的变化的变化f|f f m对帆对帆的作用力的作用力 p 例例：如图，已知如图，已知m=50kg,l=3.6m,M=100kg,当人当人从船着头走到船尾时，船移动的距离是多少？忽从船着头走到船尾时，船移动的距离是多少？忽略水的阻力。略水的阻力。设船的速度为设船的速度为，而人相对船的速度为，而人相对船的速度为-u,对对人、人、船组成的系统，船组成的系统，水平方向受的合力为水平方向受的合力为 零，动量守零，动量守恒恒
34、：m(V-u)+MV=0)()(tumMmtVmlMmmudtmMmVdts2.1解解：选地面为参照系，坐标系如图选地面为参照系，坐标系如图vuX 例例 一静止的物体爆炸成三块，其中两一静止的物体爆炸成三块，其中两块具有相同的质量，且以相同的速率块具有相同的质量，且以相同的速率 v1=v2=30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量等于这两块质量之和。试求：第三块的质量等于这两块质量之和。试求：第三块的速度。速度。900v1v2=m1m2m2=m3m=v1v2=v0cos+=mv3vsin2mmv0cos()+=m1m3v3v1cosm2v2900解：根据已知条
35、件，设解：根据已知条件，设由动量守恒定律得：由动量守恒定律得：=cossin=v3sinv=30sin450=21.2m/ssin0sin=m1v1m2v2()900cos0sin=mvmv=450解得：解得：x900v1v2v3ym2m1m3o 例例 A、B 两船均以速度两船均以速度v鱼贯而行，鱼贯而行，每只船的人与船质量之和均为每只船的人与船质量之和均为M，A 船上的船上的人以相对速度人以相对速度 u,将一质量为将一质量为m的的铅球扔给铅球扔给B 船上的人。船上的人。试求：球抛出后试求：球抛出后 A船的速度以及船的速度以及B 船接船接到球后的速度。到球后的速度。MvBmuMvAAMm v(
36、)()+=vumMAvmu抛 球 前抛 球 后mu接 球 前接 球 后mMvAMAvAMBvmBMvBA)vu(A)vu(AMm v()+=vumMv(B+AMm v()()+=vumMAvAMm v()+=vumMv(B+uAMmv+=vm解得：解得：)(+uBMmv+=vMm22Mm2)(例例：光滑轨道上有一长为：光滑轨道上有一长为 L，质量为，质量为 M的板车，车上的板车，车上有一质量为有一质量为 m的人，若人从车的一端走到另一端，则的人，若人从车的一端走到另一端，则人和车对地各走多远人和车对地各走多远？水平方向水平方向m和和M系统系统不不受力，该方向动量守恒。受力，该方向动量守恒。02
37、1vMvmdtvx 11 xv dt2221vvvdtvLvmMMv1vmMmv2LmMMx1xmMmL2解：选地面为参照系，坐标系如图解：选地面为参照系，坐标系如图s XYs 例例：图中所示是大型蒸气打桩机示意图，图中所示是大型蒸气打桩机示意图，铁塔高铁塔高40m，锤的质量，锤的质量10 t，现将长达，现将长达38.5m的钢筋混凝土桩打入地层。已知桩的质量的钢筋混凝土桩打入地层。已知桩的质量为为24 t其横截面为其横截面为0.25m2的正方形，桩的侧的正方形，桩的侧面单位面积所受的泥土阻力为面单位面积所受的泥土阻力为k=2.65104Nm2。（1）桩依靠自重能下沉多深？）桩依靠自重能下沉多深
38、？（2）桩稳定后把锤提高）桩稳定后把锤提高1m，然后让锤自由，然后让锤自由下落而击桩。假定锤与桩发生完全非弹性碰下落而击桩。假定锤与桩发生完全非弹性碰撞，一锤能打下多深？撞，一锤能打下多深？s=40.5=2msfyk=Ad=f dyl0A=f dy0sykl0=dy0=AEk l212=0s=gm l0k l2120s=gml0k2s2241039.82.6510428.88m=解：解：(1)设桩周长为设桩周长为s当桩下沉当桩下沉 y 时，阻力为：时，阻力为：由功能原理：由功能原理：yfl0mgyo2ghv0=Afy=ksdl0l0+yd()2=21ks dl0+dmv0=M m+()v1m=
39、M m+v12gh(2)设锤击桩后再下沉深度为设锤击桩后再下沉深度为 d,由机械能守恒：由机械能守恒：l0dl0+桩从桩从下沉到下沉到深度，阻力的功为：深度，阻力的功为：打击瞬间动量守恒打击瞬间动量守恒得到：得到：+=E121M m+()v12M m+()gd+=2M m+()gdmM m+gh2.65d2+13.74d-2.88=0 对于下沉过程应用功能原理对于下沉过程应用功能原理(当桩下沉当桩下沉 d时作为零势能点时作为零势能点,即即 E2=0)。=E1E2EAf()2=21ks dl0+d由上两式并代入数字化简后得：由上两式并代入数字化简后得：d=20cmMmmvxvxvyamaMvy例
40、例：光滑光滑桌面上，三个质点通过绳子相连，如图所示，给桌面上，三个质点通过绳子相连，如图所示，给M以一以一冲击使其获得初速冲击使其获得初速V，求两端小球碰前瞬时绳子的张力。，求两端小球碰前瞬时绳子的张力。MmmVbbMMaT 2Tmamm相对相对M作圆周运动，在碰前瞬间作圆周运动，在碰前瞬间m相对相对M的加速度为的加速度为向心加速度大小向心加速度大小为为vbx2/方向向上方向向上bvaaxMm/2)(21221212222yxymvmvMvMVyvmMMV)2(22)2()(mMbMVmTXY解：解：选地面为参照系，坐标系如图选地面为参照系，坐标系如图 例例：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌
41、面上，如图，：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如图，求：质点静止下滑至最低点时给木块的压力求：质点静止下滑至最低点时给木块的压力mMR00 MVmv水平方向动量守恒水平方向动量守恒系统机械能守恒系统机械能守恒222121MVmvmgRm相对相对M作圆周运动，作圆周运动，m在最低点时，木槽加速度为在最低点时，木槽加速度为 0此时，木槽此时，木槽M为惯性系，以为惯性系，以M为参照系，利用牛顿定律为参照系，利用牛顿定律RvmmgN2而而vVvmgMmN)32(联立求解各式可得联立求解各式可得Nmg解：解：以地面为参照系，坐标系如图以地面为参照系，坐标系如图例例：如图当突然撤掉，其如图当突然撤
42、掉，其 值为多大时，值为多大时，m2 才才能跳起？能跳起？m2m1选如图水平线选如图水平线o1o2 为重力势能的零势面。为重力势能的零势面。解：选地面为参照系解：选地面为参照系,m1、m2地球、弹地球、弹 簧簧为系统为系统01o2m（）（）（）（）弹簧弹簧原长原长m2x0m2x1m2x2则系统的机械能在则系统的机械能在态到态到态过程中守恒，态过程中守恒，2p2111AEkx21gxmE 2222121pBEkxgxmE 22kxgm )B(图图可可知知由由g)mm(F21 01o2mm2m2m2x1x2（）（）（）（）弹簧弹簧原长原长重力势能的零势面重力势能的零势面)xx(k)xx(gm:EE
43、AB22212112 可可得得11kxgm F)A(图图可可知知由由)mm(kgx2112 ：光滑桌面，光滑桌面，m,M,k,l 0,l ，：Bv0v：分几个阶段分几个阶段处理？处理？各阶段分别各阶段分别遵循什么规遵循什么规律？律？0lk0vmMABvBM+mloM+mmg与与N平衡平衡弹簧为原长弹簧为原长F外外=0动量守恒动量守恒AvMmmv0M+m+弹簧弹簧只有弹力作功只有弹力作功0非非保保内内外外AA机械能守恒机械能守恒2021221221llkvMmvMmBAAm与与M相撞相撞A BA BM+m各力力矩各力力矩都为零都为零0外M角动量守恒角动量守恒sin0lvMmlvMmBA由此可解出
44、：由此可解出：BAvv 如果系统的状态在某种操作下保持不变，则称如果系统的状态在某种操作下保持不变，则称该系统对于这一操作具有该系统对于这一操作具有对称性对称性。如果某一物理现象或规律在某一变换下保持不变，则称该现象或规律具有该变换所对应的对称性。物理学中最常见的对称操作：物理学中最常见的对称操作：时间操作：时间操作：时间平移、时间反演等；时间平移、时间反演等；空间操作：空间操作：空间平移、旋转、镜像反射、空间反演等。空间平移、旋转、镜像反射、空间反演等。时空操作：时空操作：伽利略变换、洛仑兹变换等。伽利略变换、洛仑兹变换等。zxyO1空间的对称性及其操作（1）空间平移操作）空间平移操作zzy
45、yxx,系统具有空间平移对称性。系统具有空间平移对称性。x（2）空间反演操作）空间反演操作zzzyyyxxx,空间反演操作下空间反演操作下不变的系统具有不变的系统具有对对O O点的对称性。点的对称性。xyz（3）镜像反射操作）镜像反射操作 xx不变zy,zxyyzx（4）空间旋转）空间旋转（球对称球对称）操作操作 zyxO在此操作下系统称具有球在此操作下系统称具有球对称性。对称性。rr保持不变保持不变（5）空间旋转）空间旋转（轴对称轴对称）操作操作r保持不变,对绕对绕 z 轴作任意旋转都不变的系统具有轴对称性。轴作任意旋转都不变的系统具有轴对称性。2时间的对称性及其操作（1）时间平移操作）时间
46、平移操作ttt，系统不变，系统不变例如例如,系统作周期性变化系统作周期性变化（2）时间反演操作）时间反演操作tt系统具有时间反演对称性。系统具有时间反演对称性。3时空的对称性操作 物理规律对对于某一变换（也是一个时空物理规律对对于某一变换（也是一个时空联合操作）具有不变性。联合操作）具有不变性。如果对于某个物理学系统的运动施加限制（比如果对于某个物理学系统的运动施加限制（比如，施加外力或外力矩作用等），从而导致该系统如，施加外力或外力矩作用等），从而导致该系统原有的某些对称性遭到破坏，物理上称这种情况为原有的某些对称性遭到破坏，物理上称这种情况为对称性破缺对称性破缺。4对称性破缺 每一种对称性
47、均对应于一个物理量的守恒律；每一种对称性均对应于一个物理量的守恒律；反之，每一种守恒律均对应于一种对称性。反之，每一种守恒律均对应于一种对称性。诺特定理：1动量守恒与空间平移对称性空间平移对称性反映了空间的均匀性质。空间平移对称性反映了空间的均匀性质。空间的均匀性是指一个给定的物理实验或空间的均匀性是指一个给定的物理实验或现象的进展过程和实验室的位置无关。现象的进展过程和实验室的位置无关。ABABsdsdABFBAF系统势能的增加量为系统势能的增加量为 sFFsFsFEBAABBAABpdddd根据空间平移的对称性，应有：根据空间平移的对称性，应有：0dpE因此因此0BAABFF即即0dddd
48、ddtpptptpBABA恒量BApp2角动量守恒与空间旋转对称性空间的旋转对称性反映了空间的各向同性。空间的旋转对称性反映了空间的各向同性。ABArddBAF旋转前后系统势能的旋转前后系统势能的增量为增量为 rFEBApdd由空间的旋转对称性，有由空间的旋转对称性，有0dpE为任意rdFBA,0rFBAd为有心力BAF角动量守恒角动量守恒3能量守恒与时间平移对称性时间平移对称性反映了时间的均匀性。时间平移对称性反映了时间的均匀性。在保守系统中在保守系统中：xEFddp2121dddd)(pxxxxxxExxFW2p1pEE根据动能定理根据动能定理 1k2kEEW2kp21k1pEEEE因此因此机械能守恒定律机械能守恒定律
