1、2-2-2 动量定理动量定理2-2-1 动量动量2-2-3 动量守恒定律动量守恒定律2-2-4 火箭飞行原理火箭飞行原理2-1 牛顿定律牛顿定律2-2 动量守恒定律动量守恒定律2-3 角动量守恒定律角动量守恒定律2-5 守恒定律和对称性守恒定律和对称性2-2-5 质心与质心运动定理质心与质心运动定理2-2-1 动量车辆车辆超载超载容易容易引发交通事故引发交通事故车辆车辆超速超速容易容易引发交通事故引发交通事故动量动量（Momentum）：运动质点的质量与运动质点的质量与速度的乘积。速度的乘积。vmp 单位：单位：kgms-1由由n个质点所构成的质点系的动量：个质点所构成的质点系的动量：in1i
2、in1iivmpp2-2-2 动量定理1质点的动量定理质点的动量定理冲量：冲量：作用力与作用时间的乘积作用力与作用时间的乘积 恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFI单位：单位：Ns 变力的冲量：变力的冲量：21d)(ttttFI牛顿运动定律：牛顿运动定律：amFdtpdtmFd)(dv动量定理的微分式：动量定理的微分式：tFpdd如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 tt 0pp0ttppootFpdd00dvvmmpptFItto动量定理的积分式：动量定理的积分式：平均力的冲量：平均力的冲量：质点动量定理：质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的质点在运动过程
3、中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。冲量等于质点动量的增量。00dvvmmpptFItto说明：说明：（1 1）冲量的方向冲量的方向 与动量增量与动量增量 的方向一致。的方向一致。Ip动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算。分量形式进行计算。（2 2）ttzozzzttyoyyyxoxttxxooommtFImmtFImmtFIvvvvvvddd平均冲力：平均冲力：ttotFttFd10
4、 tFttFI结论：结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体受到的平均冲力越小；反之则越大。物体受到的平均冲力越小；反之则越大。海绵垫子可以延长运动员下落时与其接触的时间，这样就减小了地面对人的冲击力。例例1：如图所示，质量如图所示，质量 m、以速率、以速率 v 作匀速率圆周运动作匀速率圆周运动的的小球小球，求，求1/4周期内向心力对小球的冲量？周期内向心力对小球的冲量？/220(cos sin )mvIf dtij dtr 21IpPP 法法1：根据动量定理：根据动量定理法法2：根据冲量的定义：根据冲量的定义22mvf=rr向心力：mv jm
5、vi2(cos sin)i=jmvr/2/200(sin|cos|)Imvijd()Imv ij()Imv ij 例例 2 质量质量m=140g的垒球以速率的垒球以速率 v=40m/s沿水沿水平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿仰平方向飞向击球手，被击后以相同速率沿仰角角 60o飞出。求棒对垒球的平均打击力。设棒飞出。求棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为和球的接触时间为 t=1.2 ms。60ov2v1 因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动因打击力很大，所以由碰撞引起的质点的动量改变，基本上由打击力的冲量决定。量改变，基本上由打击力的冲量决定。mv160omv2mg t打击力冲量打击
6、力冲量12vmvmtF 重力、阻重力、阻力的冲量可以忽略。力的冲量可以忽略。F t F t合力冲量合力冲量)(101.8102.130cos4014.0230cos233N tmvF平均打击力约为垒球自重的平均打击力约为垒球自重的5900倍！倍！在碰撞过在碰撞过程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。程中，物体之间的碰撞冲力是很大的。12vmvmtF F tmv160omv230om=140gvvv 122质点系的动量定理质点系的动量定理设设有有 n 个质点构成一个系统个质点构成一个系统第第 i 个质点：个质点：外力外力iF内力内力if初速度初速度iov末速度末速度iv质量质量im由质点动量定理：由
7、质点动量定理：ioiiittiimmtfFovvdiFifF1f12m1m2f21F2 ioiiittiimmtfFovvd 0if其中：其中：系统总末动量：系统总末动量：iimPv系统总初动量：系统总初动量：ioimPv0合外力的冲量：合外力的冲量：ttitF0dPPPtFtti 00d微分式：微分式：tPFidd质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。注意：注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。系统的内力不能改变整个系统的总动量。例例1、质量质量m=1kg的质点从的质点从o点开始沿半径点开始沿半径R=2m的的圆周运动。以圆周运动。以o
8、点为自然坐标原点。已知质点的运动点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为方程为 m。试求从。试求从 s到到 s这段时这段时间内质点所受合外力的冲量。间内质点所受合外力的冲量。25.0ts21t22t解：解：o21221s211Rs222122sRs22ttsddv)(211smv)(212smv)smkg(211vm)smkg(212vm)(12vvvmmmI)smkg(6421222221vvvmmm)(69.761smkgI22tan12vvmm44541vm2vm)(vm例例5.一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F=400-4 105 t/3，子弹
9、从枪口射出时的速率为，子弹从枪口射出时的速率为300 m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走）子弹走完枪筒全长所用的时间完枪筒全长所用的时间t。（。（2）子弹在枪筒中所受力）子弹在枪筒中所受力的冲量的冲量I。（。（3）子弹的质量。）子弹的质量。（1）031044005tFs003.010440035t（2）sN6.032104400d3104400d003.0025003.005tttttFI（3）0vmIg2kg002.03006.0vIm设设 t 时刻有长为时刻有长为 l-y 的绳子落到地面上，则该段的绳子落到地面上，则该段绳子对地面的重
10、力为绳子对地面的重力为jylgG)(考虑考虑dm段绳子与地面作用的情况：段绳子与地面作用的情况：)(0vdmNdt)(22ylgvvdtdyvdtdmN 例例：一柔软绳长：一柔软绳长 l，线密度，线密度 ，一端着地开始自由下落，一端着地开始自由下落，下落的任意时刻，给地面的压力等于已落下绳子的重量的下落的任意时刻，给地面的压力等于已落下绳子的重量的3 3倍。倍。lyY解：解：选地面为参照系，坐标系如图选地面为参照系，坐标系如图2()NNg ly j 3()3NGg ly jG 绳子对地面的压力为:00dPPtFtti 0iF0PP系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时
11、，系统的总动量保持不变。常矢量iimPv条件：条件：0iF说明：（1 1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。（2 2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）动量守恒的分量式：动量守恒的分量式：常量常量常量iziziyiyixixmPmPmPvvv 动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。例例3、火箭以火箭以2.5
12、103m/s的速率水平飞行，由控制器的速率水平飞行，由控制器使火箭分离。头部仓使火箭分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭的平均相对于火箭的平均速率为速率为103 m/s。火箭容器仓质量火箭容器仓质量m2=200kg。求容器求容器仓和头部仓相对于地面的速率。仓和头部仓相对于地面的速率。解：解：v=2.5103 m/svr=103 m/s 头部仓速率为头部仓速率为v1 1，容器仓速率为，容器仓速率为v2 2 21vvvr2221221121)()(vvvvvvmmmmmmr132112sm1017.2mmmrvvv1321sm1017.3rvvv例例4.宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行宇宙飞船在宇宙尘
13、埃中飞行，尘埃密度为尘埃密度为。如。如果质量为果质量为mo的飞船以初速的飞船以初速vo穿过尘埃穿过尘埃，由于尘埃粘在由于尘埃粘在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为为S的圆柱体）的圆柱体）某时刻飞船速度：某时刻飞船速度：v，质量：，质量：m动量守恒：动量守恒：vvmm00质量增量：质量增量：tSmddvvv00mm tSmmddd200vvvvmvttmSo0003ddvvvvvtmS00202)11(21vvv00002vvvmtSmtmSdd
14、003vvvvvdu设：设：t 时刻：火箭的质量为时刻：火箭的质量为M，速度为速度为v；t+dt 时刻：时刻：火箭的质量为火箭的质量为M+dM 速度为速度为v+dv 喷出气体的质量为喷出气体的质量为-dM 相对于火箭的速度为相对于火箭的速度为urruMMMMvv-v)(vvdddd略去二阶无穷小量略去二阶无穷小量 vddMMMurddv设：设：初始初始00v火箭总质量火箭总质量 M0 ，壳体本身的质量为壳体本身的质量为M1，燃料耗尽时火箭的速度为，燃料耗尽时火箭的速度为 v10ddMMrMMuvv010lnMMurv10MM为质量比为质量比多级火箭：多级火箭：一级火箭速率：一级火箭速率：1ln
15、Nur1v设各级火箭的质量比分别为设各级火箭的质量比分别为N1、N2、N3、二级火箭速率：二级火箭速率：212lnNur vv323ln Nur vv三级火箭速率：三级火箭速率：三级火箭所能达到的速率为：三级火箭所能达到的速率为：)ln()lnln(ln3213213NNNuNNNurrv设，设，N1=N2=N3=313sm105.2ru得得13133sm102.83ln3sm105.2v这个速率已超过了第一宇宙速度。这个速率已超过了第一宇宙速度。1质心质心imO1m2mxyzCCr1rir2rnnncmmmrmrmrmr212211Mrmiicr设由设由n个质点构成一质点系个质点构成一质点系
16、 质量：质量：m1、m2、mn，位矢：位矢：、1r2rnriiicmxmxiiicmymyiiicmzmzmmxxcddmmyycddmmzzcdd对于密度均匀，形状对称的物体，其质对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何中心。心都在它的几何中心。2质心运动定理质心运动定理iicrmrM质心位置公式：trmtrMiicddddiicmMvv质点系的总动量等于总质量与其质心运质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。动速度的乘积。由质点系动量定理的微分式可得：由质点系动量定理的微分式可得：tMtmmttPFciiiiiddddddddvvvciaMF 作用于质点系上的合外力等于质点
17、系的总质量作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积。与质心加速度的乘积。系统在外力作用下，质心的加速度等于外系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。力的矢量和除以系统的总质量。（2 2）系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量，内力既不能改变质点系的总动量矢量，内力既不能改变质点系的总动量,也也就不能改变质心的运动状态就不能改变质心的运动状态。（1 1）例例3.有质量为有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等。如果它在飞行到最高
18、点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。在爆炸的前后，质心在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地一抛物线，它的落地点为点为xc c。xc212211mmxmxmxc0,121xmmmmmxxc22cxx22x2ox1.力对参考点的力矩FrM0mN力矩 (Moment of Force/Torque)rFa aoM力矩的大小：力矩的大小：asin0rFM 由右手螺旋关系由
19、右手螺旋关系确定，垂直于确定，垂直于 r 和和 F 确定的平面确定的平面力矩的方向：力矩的方向：MrF2 2力对轴的矩力对轴的矩OAAM0M力力 对点的力矩对点的力矩 在过点的在过点的任一轴线上的投影。任一轴线上的投影。F0McosOAMM1)力在转动平面内力在转动平面内rFdMMrFF 对转轴对转轴 OA 的力矩同的力矩同 F 对对O点的力矩大小是相等的点的力矩大小是相等的A AO O 2)力不在转动平面内力不在转动平面内FM=rF=12rF)(+变形，而对转动无贡献。变形，而对转动无贡献。只能引起轴只能引起轴自身的自身的F11rF+=21rrFFFF21r转动转动平面平面FrMooTLFm
20、g力矩力矩拉力拉力T重力重力mg合力合力Fo点点o点点oo轴轴mgLsin mgLsin 00000TLcos sin FLcos 设：设：t t时刻质点的位矢时刻质点的位矢r,质点的动量质点的动量vm运动质点相对于参运动质点相对于参考原点考原点O O的的角动量角动量定义为定义为vmrprL2-3-1 质点的角动量LrPaasinsinvmrrpL 矢经矢经 和动量和动量 的矢积方向的矢积方向vmr如果质点绕参考点如果质点绕参考点O作圆周运动作圆周运动rpormprLv角动量与所取的惯性系有关；角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点角动量与参考点O的位置有关。的位置有关。质点对参考点的角动量
21、在通过点的任意轴线上的质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影，称为质点投影，称为质点对轴线的角动量对轴线的角动量。LOALAcosLLA质点系的角动量质点系的角动量设各质点对设各质点对O点的位矢分别为点的位矢分别为nrrr,21动量分别为动量分别为nppp,21niniiiiprLL11)(oolvmLoLooLosin,mvla,mvlsin,mvla质点的角动量质点的角动量 随时间的变化率为随时间的变化率为 LtprptrtprtLdddddddd1力对参考点的力矩力对参考点的力矩0ddpptrv式中式中FtpddFrtLdd2 2力对轴的矩力对轴的矩OAAM0M力力 对轴对轴OA
22、的力矩：的力矩：F力力 对点的力矩对点的力矩 在过点的在过点的任一轴线上的投影。任一轴线上的投影。F0McosOAMMFrFrM/FrMAOrFF/F设作用于质点系的作用力分别为：设作用于质点系的作用力分别为：nFFF,21作用点相对于参考点作用点相对于参考点O的位矢分别为：的位矢分别为：nrrr,21相对于参考点相对于参考点O的合力的合力矩为：矩为：iiFrMOxyz1rir2r1F2FiF地球上的单摆大小会变太阳系中的行星大小未必会变，靠什么判断？变变变牛顿定律牛顿定律 角动量定理：角动量定理：rpLttdddd0,rpptddv式中式中FtpddLrFMtdd rpprtt dddd因是
23、牛顿定律的推论，则只适用于惯性系。因是牛顿定律的推论，则只适用于惯性系。tLMdd0120d21LLtMtt质点的角动量定理：质点的角动量定理：质点对某一参考点的角动量随时间的变化率质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一等于质点所受的合外力对同一参考点参考点的力矩。的力矩。角动量定理的积分式：角动量定理的积分式：21d0tttM称为称为“冲量矩冲量矩”质点系的角动量：质点系的角动量：niniiiiprLL11)(两边对时间求导：两边对时间求导：tprptrtLiiiidddddd0ddiiptr上式中上式中iiiiifFrtprdd0iifr上式中上式中iiiifrF
24、rtLdd合内力矩为零合内力矩为零tLFrMiidd 质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。质点系角动量定理：质点系角动量定理：质点系对质点系对z 轴的角动量定理：轴的角动量定理：tLMzzdd质点系角动量定理的积分式：质点系角动量定理的积分式：2112dttLLtM 作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内的角动量的增量间内的角动量的增量 。如果如果0M则则恒矢量L质点或质点系的角动量守恒定律：质点或质点系的角动量守恒定
25、律：当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。一一人人握握绳绳不不动动一一人人用用力力上上爬爬终点线终点线滑轮质量既忽略轮绳摩擦又忽略同高从静态开始往上爬两人质量相等两人质量相等忽略轮、绳质量及轴摩擦质点系合外力矩为零，合外力矩为零，角动量守恒角动量守恒系统的初态角动量系统的末态角动量得不论体力强弱，两人等速上升系统受合外力矩不为系统受合外力矩不为零，角动量不守恒零，角动量不守恒可应用可应用质点系角动量定理质点系角动量定理进行具体分析进行具体分析讨论。讨论。两人质量相等两人质量
26、相等12mm若12mm221 1m v Rmv R质点系对质点系对z 轴的角动量守恒定律：轴的角动量守恒定律：系统所受外力对系统所受外力对z z轴力矩的代数和等于零，轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒。则质点系对该轴的角动量守恒。恒量zL0zM 角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。02vgh 2(2)*2 2mmghmm vvghmm 即mvRvRmmRghm)(2 讨论：质点系动量是否守恒？讨论：质点系动量是否守恒？方程方程*并不表示动量守恒，若动量守恒，应写成：并不表示动量守恒，若动量守恒，应写成：0 2(),2mghmm vmvm v vghvmmhmv
27、vvo 正方向正方向o对固定点对固定点o，质点，质点m所受合外力矩所受合外力矩对对o点角动量守恒（大小、方向均不变）点角动量守恒（大小、方向均不变）LvmR RmvL mgToOmlR.L+L+对固定点对固定点o，质点，质点m所受合外力矩所受合外力矩 oM sinmgl对对o点角动量点角动量L+.L+方向随时间变化方向随时间变化*合外力矩、角动量均对同一点而言合外力矩、角动量均对同一点而言)(TgmRM 大小大小 Lo=mvlvmlLo sinmvl 0 例：例：不守恒不守恒小球所受合外力指向小球所受合外力指向o对对o点小球受合外力矩为零点小球受合外力矩为零解解：分析：分析 F为有心力，为有心
28、力，角动量守恒。角动量守恒。mv rmv r11221212rvvr例例：绳往下拉，小球半径由：绳往下拉，小球半径由 r1 减为减为 r2，小球速度，小球速度v1v2与与的关系？的关系？1v1rv22rF光滑桌面光滑桌面开普勒三定律和万有引力定律开普勒三定律和万有引力定律 人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期的观察，特别是丹麦天文学家第谷（察，特别是丹麦天文学家第谷（Tyeho Brahe,1546-1601Tyeho Brahe,1546-1601）进）进行了连续行了连续2020年的仔细观测和记录，他的学生开普勒（年的仔细观测和记录
29、，他的学生开普勒（Kepler Kepler Johamnes,1571-1630Johamnes,1571-1630）则花了大约）则花了大约2020年的时间分析这些数据，年的时间分析这些数据，总结出三条行星运动规律。总结出三条行星运动规律。(2)(2)面积定律：面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过 的面积相等的面积相等.1,1,开普勒行星运动定律开普勒行星运动定律(1)1)轨道定律：轨道定律：每个行星都各以太阳为在焦点的一个椭圆轨道每个行星都各以太阳为在焦点的一个椭圆轨道 运行。运行。(3)(3)周期定律：周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴行
30、星绕太阳运动轨道半长轴a a的立方正比的立方正比 于公转周期于公转周期T T的平方的平方.即即23aT 证明开普勒第二定律：证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等等时间内扫过的椭圆面积相等。rrSd21drrdvrtrrtS21dd21ddLmmrmtS2121ddv恒矢量tSdd有心力作用下角动量守恒有心力作用下角动量守恒 证证 开普勒面积定律的证明开普勒面积定律的证明用用 表示从表示从0 0到速度矢量到速度矢量v v的垂直的垂直距离，则有距离，则有 rSsrsr 2sin 掠面速度掠面速度如图，行星对太阳如图，行星对太阳M M的角动量
31、大小为的角动量大小为 sinrmvprL sinlim0tsrmLt其中其中 是是 时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故dtdSmtSmLt22lim0 S t L LM Mr rmvmv 由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零，由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零，故角动量守恒，亦即故角动量守恒，亦即constmLdtdS 2 这就证明了这就证明了掠面速度掠面速度不变，也就是开普勒笫二定律不变，也就是开普勒笫二定律.实实际上，此定律与角动量守恒定律等价际上，此定律与角动量守恒定律等价.1r2rp1v2v如图，由解析几何知，椭圆方程
32、为如图，由解析几何知，椭圆方程为 太阳在焦点位置的证明太阳在焦点位置的证明122byax两焦点在长轴上位置坐标为两焦点在长轴上位置坐标为22bacc 设行星远日点和近日点的距离分别为设行星远日点和近日点的距离分别为 ，对应的速，对应的速度为度为 .由机械能守恒，有由机械能守恒，有21rr、21vv、2221212121rMmGmvrMmGmv 122122112rrGMvv2211mvrmvr 1r2rp1v2v2112rrvv 由角动量守恒，有由角动量守恒，有2211prpr 考虑到考虑到 ，最后求得，最后求得 arr221 cabaar 222 这表明太阳位置坐标为（这表明太阳位置坐标为（-c-c），这正是几何上的椭圆焦点），这正是几何上的椭圆焦点位置位置.这一结果与天文观测资料的一致，证认了牛顿力学理论这一结果与天文观测资料的一致，证认了牛顿力学理论的正确性的正确性,最为重要的是一举最为重要的是一举同时证认同时证认了引力二次方反比律和了引力二次方反比律和运动定律两者的正确性运动定律两者的正确性.解得解得2021barr 22022rMmGvm 根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有ab20
