1、1.(2019安徽,10,4分)如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则满 足PE+PF=9的点P的个数是( ) A.0 B.4 C.6 D.8,A组 安徽中考题组,答案 D 如图,作E,F关于AD的对称点E1,F1,连接E1F,EF1,交AD于H点,连接EE1,FF1,过点F作FOEE1,交E1 E的延长线于点O,当P点在H点时,PE+PF取得最小值,由已知得AE=EF=CF=4,四边形ABCD是正方形, 易求OE=EM=ME1=2 ,OF=OE=2 ,OE1=6 ,由勾股定理可得EF1=E1F= = 9,在 AH和HD上各存在一点P,使得P
2、E+PF=9,同理在AB、BC、CD上各存在2个这样的P点,一共有8个这样的 P点,故选D.,思路分析 因为正方形具有对称性,所以只需找出正方形一条边上满足条件的个数,然后乘4即可,由E,F为 定点且为AC的三等分点,分别作E,F关于AD的对称点,这样可求出PE+PF的最小值为 9,从而可得AD上 满足条件的点有两个,问题解决.,难点突破 确定PE+PF的最小值是解答本题的突破口.,2.(2015安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC上,若四边 形EGFH是菱形,则AE的长是 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6,答案 C
3、连接EF交GH于点O,由四边形EGFH为菱形,可得EFGH,OH=OG,因为四边形ABCD为矩形,所 以B=90.因为AB=8,BC=4,所以AC= =4 .易证AGECHF,所以AG=CH,所以AO= AC=2 ,因为EOGH,B=90,所以AOE=B,又因为OAE=BAC,所以AOEABC,所以 = = ,所以AE=5,故选C.,思路分析 连接EF,先证EFGH,可求AC的长,再证AGECHF,可得AG=CH,求得AO的长,然后证 AOEABC,由相似比求出AE的长.,方法指导 利用菱形的性质进行相关计算的三种题型:(1)求角度.应注意菱形的四条边相等、对角相等和 邻角互补等,可利用等腰三
4、角形的性质和平行线的相关性质转化要求的角,直到找到与已知角的关系; (2)求长度(线段或周长).应注意使用等腰三角形的性质,若菱形中有一个顶角为60,则连接另外两点的对角 线所分割的两个三角形为等边三角形,故在计算时可借助等边三角形的性质进行求解;若菱形中存在直角 三角形,则应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等进行求解; (3)求面积.可直接利用S=底高来求解,也可利用面积等于对角线之积的一半来进行求解.,3.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB= S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之和 PA+PB的最小值为 (
5、) A. B. C.5 D.,答案 D 如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称点A1,连接PA1,A1B,则PA1=PA,设点P到AB的距 离为h,由AB=5,AD=3,SPAB= S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+PBA1B,所以当P为A1B与MN的交 点时,PA+PB最小,其最小值为 = ,故选D.,疑难突破 本题的突破口是根据SPAB= S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴对称 的性质将问题转化.,4.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBE
6、DBC. 若APD是等腰三角形,则PE的长为 .,答案 3或,解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD= =10,ABAD,根据PBE DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,PB=2,由相似可得 = = PE= ;当AP=PD时,P点为BD 的中点,PE= CD=3,故答案为3或 .,思路分析 根据ABAD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两种情况:AD =PD=8;AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.,疑难突破 判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.,5.(2016安徽,14,5分)如图,在矩形纸片ABCD中
7、,AB=6,BC=10.点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰落在边 AD上的点F处.点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论: EBG=45;DEFABG;SABG= SFGH;AG+DF=FG. 其中正确的是 .(把所有正确结论的序号都选上),答案 ,解析 ABG=HBG,FBE=CBE,ABC=90, EBG=45,故正确; AB=6,BF=BC=10,AF=8, FD=AD-AF=10-8=2. 设DE=x,则EF=CE=6-x,在RtDEF中, DF2+DE2=EF2,22+x2=(6-x)2,x= , 即DE= ,EF= , BH=AB=6, H
8、F=BF-BH=10-6=4, 又易知RtDEFRtHFG, = ,即 = ,GF=5,AG=3, 若DEFABG,则 = ,但 ,故不正确; BH=6,HF=4,SBGH= SFGH, ABGHBG, SABG= SFGH,故正确; FHGEDF, = , = ,FG=5, AG+DF=5,AG+DF=FG,故正确.,思路分析 由折叠得角相等,易得EBG= ABC=45;设DE=x,由勾股定理求出x,进一步求出EF,再 根据RtDEFRtHFG可求GF,进而求AG,由 可知DEF与ABG不相似;由HBG与 FGH等高和HBGABG,得 = = ;根据FHGEDF可求FG,从而得AG+FD=F
9、G.,方法指导 对于以矩形为背景的相关计算,可采取以下思路:(1)矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩形 分成两个直角三角形,可用勾股定理或三角函数求线段的长;(2)矩形的对角线相等且互相平分,故可借助对 角线的关系得到全等三角形;(3)矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形;(4)当已知条件中有一个角 为30时,应联想到“在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质.,考点一 矩形,B组 20152019年全国中考题组,1.(2018新疆,7,5分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的点B 1处,折痕与边BC交于点
10、E,则CE的长为 ( ) A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm,答案 D 由题意可知,BE=AB=6 cm, CE=BC-BE=8-6=2 cm.故选D.,2.(2016四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使 点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后DAG的大小为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.75,答案 C 如图,根据第二次折叠可知,1=2,MGA=90,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG是RtAMG 的中线,故AN=GN,所以2=3.又EFAB,所以3=4,故1=2=4,又因为1+2
11、+4=90,所以1 =2=4=30,所以1+2=DAG=60,故选C.,3.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE= a.连接AE,将ABE沿AE折叠, 若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 .,答案 或,解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE= a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形,BE=AB,即 a=1,a= ; 当点B落在边CD上时,如图.,1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, = . 在RtADB中,由勾股
12、定理得BD= = , = = ,a= . 综上所述,满足条件的a的值为 或 .,解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是解决 本题的关键.根据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正方形可 求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值.,4.(2019云南,20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AOBODC=43,求ADO的度数.,解析 (1)证明:AO
13、=OC,BO=OD, 四边形ABCD是平行四边形. (1分) 又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角, AOB=OAD+ADO. OAD=ADO. (2分) AO=OD. (3分) 又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD, AC=BD.四边形ABCD是矩形. (4分) (2)设AOB=4x,ODC=3x,则OCD=ODC=3x. (5分) 在ODC中,DOC+OCD+CDO=180. 4x+3x+3x=180,解得x=18. (6分) ODC=318=54. (7分),ADO=90-ODC=90-54=36. (8分),名师点拨 (1)对角线相等的平行四边形为矩形.(2)三角形
14、的内角和为180.(3)三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角之和.,5.(2018新疆,19,8分)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E,F是AC上的两点,并且AE=CF,连接DE,BF. (1)求证:DOEBOF; (2)若BD=EF,连接EB,DF.判断四边形EBFD的形状,并说明理由.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形,OB=OD,OA=OC. 又AE=CF,OA-AE=OC-CF,即OE=OF, 在DOE和BOF中, DOEBOF. (5分) (2)四边形EBFD是矩形.理由如下: BD,EF相交于点O, OD=OB,OE=OF, 四边形EBFD是平行四边形
15、. 又BD=EF,四边形EBFD是矩形. (8分),6.(2017福建,24,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形. (1)若PCD是等腰三角形,求AP的长; (2)若AP= ,求CF的长.,解析 (1)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,ADC=90, DC=AB=6,AC= =10. 要使PCD是等腰三角形,有如下三种情况: 当CP=CD时,CP=6,AP=AC-CP=4. 当PD=PC时,PDC=PCD, PCD+PAD=PDC+PDA=90, PAD=PDA,PD=PA, PA=PC,AP= ,即AP=5. 当DP
16、=DC时,过D作DQAC于Q,则PQ=CQ.,SADC= ADDC= ACDQ, DQ= = , CQ= = , PC=2CQ= ,AP=AC-PC= . 综上所述,若PCD是等腰三角形,则AP=4,或AP=5,或AP= .,(2)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC. 四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形, ADC=PDF=90, 即ADP+PDC=PDC+CDF, ADP=CDF. BCD=90,OE=OD,OC= ED.,在矩形PEFD中,PF=DE,OC= PF. OP=OF= PF,OC=OP=OF, OCF=OFC,OCP=OPC, 又OPC+OFC+PCF=180,
17、 2OCP+2OCF=180,PCF=90, 即PCD+FCD=90. 在RtADC中,PCD+PAD=90,PAD=FCD. ADPCDF, = = .AP= ,CF= .,易错警示 在第(1)问中,分三种情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论,不能丢解.,一题多解 在第(2)问中,连接PF,DE,PF与DE相交于点O,连接OC. 四边形DPEF是矩形,OP=OE=OD=OF. ECD是直角三角形,OC=OE=OD. D、P、E、C、F都在以O为圆心,OC为半径的圆上, PCF=BCD=90,DCF=ACB. ADBC,ACB=DAC, DCF=DAP. 又ADC=PDF=90, CDF
18、=ADP,CDFADP, = , = , CF= .,考点二 菱形,1.(2019河北,5,3分)如图,菱形ABCD中,D=150,则1= ( ) A.30 B.25 C.20 D.15,答案 D 四边形ABCD是菱形,D+BAD=180,AC平分BAD, D=150,BAD=30,1=15,故选D.,2.(2019内蒙古呼和浩特,4,3分)已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角 线的长为 ( ) A.2 B.2 C.4 D.2,答案 C 因为菱形的对角线互相垂直且平分,所以两条对角线的一半与菱形的边形成直角三角形,根据勾 股定理可得,较长对角线长的一半= =2
19、,故较长对角线的长为4 ,故选C.,3.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、 FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是 ( ) A.AB= EF B.AB= EF C.AB=2EF D.AB= EF,答案 D 如图,连接AC、BD交于O, 四边形ABCD是菱形, ACBD,OA=OC,OB=OD, 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, EF= AC,EH= BD, EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA, AB= = OA, 易知OA=EF,AB= EF,故选D.,4.(2018新疆,
20、9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中 点,则MP+PN的最小值是 ( ) A. B.1 C. D.2,答案 B 如图,取AD的中点M,连接MN,MP,则有MP=MP.MP+PN的最小值为线段MN的长,即菱形边长1. 故选B.,5.(2017江西,6,3分)如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形 状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中 的是 ( ) A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形 B.当E,F,G,H是各边
21、中点,且ACBD时,四边形EFGH为矩形 C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形 D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形,答案 D 连接AC,BD.当E,F,G,H是各边中点时,由三角形中位线定理可得EFAC且EF= AC,GHAC且 GH= AC,所以EFGH且EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形.当AC=BD时,因为EF= AC,EH= BD, 所以EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项A中结论正确;当ACBD时,因为EFAC,EHBD,所以EF EH,所以四边形EFGH为矩形,选项B中结论正确;当E,F,G,H不是各边中点时,
22、若 = , = ,则GH AC,EFAC,所以GHEF.因为 = = = ,所以EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形,选项C中 结论正确;例如,当E,F,G,H不是各边中点,且 = = = = ,BD=2AC时,由上述可知四边形EFGH为 平行四边形,所以 = = , = = ,即 = ,所以 = ,即EF=EH,所以四边形EFGH为菱 形,选项D中结论错误.综上,选D.,6.(2019福建,16,4分)如图,菱形ABCD的顶点A在函数y= (x0)的图象上,函数y= (k3,x0)的图象关于直线 AC对称,且过B,D两点.若AB=2,BAD=30,则k= .,答案 6+2,解析 连接A
23、C,过B作BFx轴于F,过A作AMBF于M.如图. 由双曲线的对称性可知,点A,C是第一象限角平分线上的点,即xA=yA, =3,即xA= ,A( , ). 根据题意可得CAM=45, BAC= BAD= 30=15, BAM=30,BM= AB= 2=1. AM= = = .B(2 ,1+ ).,k=2 (1+ )=6+2 .,疑难突破 本题的突破口是得到CAM=45,能将点的坐标转化为线段长,构建含30角的RtABM.,7.(2017云南,20,8分)如图,ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,点E、F分别是AB、AC的中 点. (1)求证:四边形AEDF是菱形; (2)如果
24、四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S.,解析 (1)证明:ABC是等腰三角形,AD是边BC上的高, 点D为BC的中点,点E是AB的中点, DEAC, 同理,DFAB, 四边形AEDF是平行四边形, 点E、F分别是AB、AC的中点,AB=AC, AE=AF, 四边形AEDF是菱形. (2)连接EF交AD于点O, 菱形AEDF的周长为12,AE=3, 设AO=x,EO=y, 菱形AEDF的两条对角线的和等于7,x+y= . 在RtAEO中,由勾股定理得AO2+EO2=AE2,即x2+y2=32, 变形得(x+y)2-2xy=9, 即 -2xy=9, 解得xy=
25、 , 四边形AEDF的面积S= xy4=2xy= .,考点三 正方形,1.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边BC和CD上,AE=AF,EAF=60, 则CF的长是 ( ) A. B. C. -1 D.,答案 C 如图,连接EF,在正方形ABCD中,AB=AD,B=D=90,又AE=AF,RtABERtADF,BE =DF,又BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三角形.设CE=x(0x1),C=90,EF= x, 则AE= x.在RtABE中,12+(1-x)2=( x)2,化简得x2+2x-2=0,解得x= -1或x=-1- (
26、舍),CF=CE= -1.故 选C.,2.(2019内蒙古呼和浩特,9,3分)已知正方形的对称中心在坐标原点,顶点A、B、C、D按逆时针依次排列,若 A点的坐标为(2, ),则B点与D点的坐标分别为 ( ) A.(-2, ),(2,- ) B.(- ,2),( ,-2) C.(- ,2),(2,- ) D. ,答案 B 如图所示,连接AO,DO,作AEx轴,DFy轴,垂足分别为E、F.四边形ABCD为正方形,AO= DO,AOD=EOF=90,1=2,AEO=DFO=90,AOEDOF.OF=OE=2,DF=AE= , D( ,-2),点B与点D关于原点对称,B(- ,2),故选B.,思路分析
27、 根据题意画出图形,分别过点A,D作AEx轴,DFy轴,证AOEDOF,根据点A的坐标求出 点D的坐标,再由中心对称求出点B的坐标.,3.(2018重庆,6,4分)下列命题正确的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.菱形的对角线互相平分且相等 D.正方形的对角线互相垂直平分,答案 D 平行四边形的对角线互相平分,不一定垂直,选项A错误;矩形的对角线互相平分且相等,不一定 垂直,选项B错误;菱形的对角线互相垂直平分,不一定相等,选项C错误;正方形的对角线互相垂直平分,选项 D正确.故选D.,4.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,
28、F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线 段的长等于AP+EP最小值的是 ( ) A.AB B.DE C.BD D.AF,答案 D 在正方形ABCD中,连接CE、PC. 点A与点C关于直线BD对称, AP=CP,AP+EP的最小值为EC的长. E,F分别为AD,BC的中点, DE=BF= AD. AB=CD,ABF=ADC=90,ABFCDE.,AF=CE. 故选D.,5.(2016内蒙古呼和浩特,9,3分)如图,面积为24的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别 在AB、BC、FD上.若BF= ,则小正方形的周长为 ( ) A. B. C. D.,
29、答案 C 正方形ABCD的面积为24,其边长为 =2 ,又BF= ,CF= ,四边形ABCD与四 边形EFGH均为正方形,B=C=90,EFG=90,DFC+CDF=90,BFE+DFC=90,BFE= CDF, EFBFDC, = ,EB= . 在RtEBF中,EF= = ,小正方形EFGH的周长为4EF= ,故选C.,6.(2019天津,17,3分)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在 AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=5,则GE的长为 .,答案,解析 根据题意可知DAE+BAE=90,BFAE,BAE+
30、ABF=90,DAE=ABF,四边形ABCD 是正方形,AD=AB,BAF=D=90,AFBDEA,AF=DE=5,AD=12,根据勾股定理得AE=13. 设AE与BF交于点H,易知AFHAED, = ,即 = ,AH= ,AG=2AH= ,GE=AE-AG = .,思路分析 首先根据题意确定BFAE,进而根据正方形的性质得出AFBDEA,故AF=DE=5,然后根据 两角对应相等,两三角形相似得出AFHAED,求得AH= ,最后得出GE的长.,解题关键 本题考查正方形的性质,相似三角形的判定与性质,解题的关键是确定BFAE.,7.(2016黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:如图,在正方形ABCD
31、中,点E在边CD上,AQBE于点Q,DPAQ于点P. (1)求证:AP=BQ; (2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 PQ长.,解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形, AB=AD,DAB=90, BAQ+DAP=90. DPAQ, APD=90, ADP+DAP=90, ADP=BAQ. (1分) AQBE,AQB=90, APD=AQB, (2分) DAPABQ, (3分) AP=BQ. (4分) (2)AQ与AP,DP与AP,AQ与BQ,DP与BQ. (8分),8.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边A
32、B上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE 的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH. (1)求证:GF=GC; (2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.,解析 (1)证明:如图,连接DF. 四边形ABCD为正方形, DA=DC=AB,A=C=ADC=90. 又点A关于直线DE的对称点为F, ADEFDE, DA=DF=DC,DFE=A=90, DFG=90.,在RtDFG和RtDCG中, RtDFGRtDCG(HL), GF=GC. (2)线段BH与AE的数量关系:BH= AE. 证明:在线段AD上截取AM
33、,使AM=AE,连接ME.,AD=AB, DM=BE. 由(1)得1=2,3=4, ADC=90, 1+2+3+4=90, 22+23=90,2+3=45, EDH=45. EHDE,DE=EH, DEH=90,A=90, 1+AED=90,5+AED=90, 1=5. 在DME和EBH中,DMEEBH(SAS),ME=BH. A=90,AM=AE, ME= AE, BH= AE.,考点一 矩形,C组 教师专用题组,1.(2019河北,16,2分)对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的内 部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,
34、求正方形边长的最小整数n.”甲、 乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n.,甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13. 图2 乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14. 图3,丙:如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的 倍时就可移转过去;结果取n=13. 图4 下列正确的是 ( ) A.甲的思路错,他的n值对 B.乙的思路和他的n值都对 C.甲和丙的n值都对 D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对,答案 B 当x为矩形对角线长时,根据勾股定理得x= = 13,最小整数n应为14,所以甲的思路 正确,他的n值错误;当x
35、为矩形外接圆直径长(即矩形对角线长)时,x= 13,最小整数n应为14,所以乙的思 路正确,他的n值正确;根据丙的思路,x= (6+12)=9 13,所以丙的思路错误,他的n值 错误.故选B.,思路分析 分别按甲、乙、丙三人的思路求出各自x的值,根据题意确定各自所取n的值并与矩形对角线长 进行比较即可得解.,易错警示 三者思路的正误及n值的判断取决于x值不能小于矩形对角线长.,2.(2018浙江杭州,8,3分)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设PAD=1,PBA=2,PCB=3, PDC=4.若APB=80,CPD=50,则 ( ) A.(1+4)-(2+3)=30 B.(2+
36、4)-(1+3)=40 C.(1+2)-(3+4)=70 D.(1+2)+(3+4)=180,答案 A 过P作PQAD,与AB交于点Q, ADBC,PQADBC, APQ=PAD,QPB=CBP, 又APB=80,CBP=APB-DAP=80-1, ABC=2+80-1, 又在CDP中,DCP=180-CPD-PDC=130-4, BCD=3+130-4, 又在矩形ABCD中,ABC+BCD=180, 2+80-1+3+130-4=180, 即(1+4)-(2+3)=30,故选A.,3.(2017新疆乌鲁木齐,9,4分)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后
37、,使点D 恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4 且AFG=60,GE=2BG,则折痕EF的长为 ( ) A.1 B. C.2 D.2,答案 C 四边形ABCD是矩形, ADBC,H=D=FGH=C=90. 由折叠知GFE=DFE,FD=FG. GFD=180-AFG=120, GFE=DFE=60. ADBC, FGE=AFG=60,FEG=DFE=60, GEF是等边三角形, FG=GE=FE.,设BG=x,则GF=GE=EF=FD=2x. 作GMAD,交AD于点M, 则四边形ABGM是矩形,GM=GFsin 60= x,MF=GFcos 60=x, AD=AM+MF+FD=BG+MF+
38、FD=4x, ADGM=4 , 4x x=4 , 解得x=1或x=-1(不符合题意,舍去), EF=2x=2,故选C.,4.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F 两点.若AC=2 ,AEO=120,则FC的长度为 ( ) A.1 B.2 C. D.,答案 A 四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC= AC= . ADBC, OFC=AEO=120, BFO=60. EFBD, BOF=90, OBF=OCB=30, COF=BFO-OCB=30, OF=FC. OF=OBtan 30=1,FC=1,故选A.,5
39、.(2015山东临沂,12,3分)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.添加一个 条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 ( ) A.AB=BE B.BEDC C.ADB=90 D.CEDE,答案 B 四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,AB=CD,DEBC,又DE=AD,DE=BC,四 边形DBCE是平行四边形.若AB=BE,则CD=BE,则平行四边形DBCE是矩形.若CEDE,即DEC=90,则平 行四边形DBCE是矩形.若ADB=90,则BDE=90,则平行四边形DBCE是矩形.当BEDC时,平行四边形 DBCE是菱形.故选B.
40、,6.(2019吉林,25,10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4 cm,AB=3 cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P,Q从 点A同时出发,点P以 cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2 cm/s的速度沿折线AD-DC向终点C运动.设 点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2). (1)AE= cm,EAD= ; (2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (3)当PQ= cm时,直接写出x的值.,解析 (1)3 ;45. (2分) (2)当0x2时,如图. 图 过点P作PFAD于点F. AP= x
41、cm,AQ=2x cm,PF=APsin 45=x cm. y= AQPF= 2xx=x2, 即y=x2. (4分) 当2x3时,如图.连接PD,过点P作PFAD于点F.,图 DQ=(2x-4)cm,DF=(4-x)cm, y=SDAP+SDPQ = ADPF+ DQDF = 4x+ (2x-4)(4-x) =-x2+8x-8,即y=-x2+8x-8. (6分) 当3x 时,如图.,图 CQ=(7-2x)cm,EC=1 cm, y=S四边形AECD-SPCQ = (1+4)3- 1(7-2x) =x+4, 即y=x+4. (8分) (3) 或 . (10分) 提示:根据图,可列方程 x= ,x
42、= .根据图,可列方程 (4-x)= ,x=4- ,不符合题意,舍去.根,据图,可列方程(7-2x)2+12= ,x= . 评分说明:自变量取值含0或不含 均不扣分.,一题多解 (2)过点P作PFAD于点F. 当0x2时,y=SAPQ= AQPF. AP= x,AQ=2x,PF=APsin 45=x, y= 2xx=x2. 当2x3时,y=S四边形APQD=SAPF+S梯形PFDQ = AFPF+ (PF+DQ)DF. AF=x,PF=x,DQ=2x-4,DF=4-x, y= xx+ (x+2x-4)(4-x),=-x2+8x-8. 当3x 时, y=S四边形AEQD=SAEF+S梯形EFDQ
43、 = AFEF+ (EF+DQ)DF. AF=EF=3,DQ=2x-4,DF=1, y= 33+ (3+2x-4)1=x+4.,7.(2019山西,22,11分)综合与实践 动手操作: 第一步:如图1,正方形纸片ABCD沿对角线AC所在的直线折叠,展开铺平.再沿过点C的直线折叠,使点B,点D 都落在对角线AC上.此时,点B与点D重合,记为点N,且点E,点N,点F三点在同一条直线上,折痕分别为CE,CF, 如图2. 第二步:再沿AC所在的直线折叠,ACE与ACF重合,得到图3. 第三步:在图3的基础上继续折叠,使点C与点F重合,如图4,展开铺平,连接EF,FG,GM,ME,如图5.图中的虚线 为
44、折痕. 问题解决: (1)在图5中,BEC的度数是 , 的值是 ; (2)在图5中,请判断四边形EMGF的形状,并说明理由; (3)在不增加字母的条件下,请你以图5中的字母表示的点为顶点,动手画出一个菱形(正方形除外),并写出这,个菱形: .,解析 (1)67.5; . (4分) (2)四边形EMGF是矩形. (5分) 理由如下:四边形ABCD是正方形,B=BCD=D=90. 由折叠可知,1=2=3=4,CM=CG, BEC=NEC=NFC=DFC,1=2=3=4= =22.5. BEC=NEC=NFC=DFC=67.5. 由折叠可知,MH,GH分别垂直平分EC,FC,MC=ME,GC=GF.
45、 5=1=22.5,6=4=22.5,MEF=GFE=90. (7分) MCG=90,CM=CG,CMG=45. 又BME=1+5=45, EMG=180-CMG-BME=90. (8分) 四边形EMGF是矩形. (9分),(3)答案不唯一,画出正确图形(一个即可). (10分) 菱形FGCH(或菱形EMCH). (11分),思路分析 (1)根据题意易得三角形AEF为等腰直角三角形,求出AEF=45,进而得出BEC的度数,根据 45度角的三角函数值易得 = ;(2)根据折叠的性质得出MEF=GFE=90,进而判断EMG=180- CMG-BME=90,得出四边形EMGF是矩形;(3)根据菱形的定义易得菱形FGCH或菱形EMCH.,解后反思 折叠的性质:位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形;折叠前后的两部分图形全等,对 应边、角、线段、周长、面积等均相等;折叠之后,对应点的连线被折痕垂直平分.,8.(2015吉林长春,22,9分)在矩形ABCD中,已知ADAB.在边AD上取点E,使AE=AB,连接CE.过点E作EFCE, 与边AB或其延长线交于点F. 猜想:如图,当点F在边AB上时,线段AF与DE的大小关系为 . 探究:如图,当点F在边AB的延长线上
