1、1.5.2 1.5.2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程【教学目标教学目标】知识与技能：知识与技能：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、近似代替、求和、取极限（逼近）。过程与方法：过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。情感态度与价值观：情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。【重点与难点重点与难点】重点：重点：掌握过程步骤；难点：难点：过程的理解。利用导数我们解决了“已知物体运利用导数我们解决了“已知物体运 动动
2、路程与时间的关系，求物体运动速度”路程与时间的关系，求物体运动速度”的的问题问题 引引 入入 反之，如果已知物体的速度与时间的反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？呢？问题问题1：汽车以速度汽车以速度v v作匀速直线运动时，作匀速直线运动时，经过时间经过时间t t所行驶的路程为所行驶的路程为S SvtvtSvtO2()2v tt=-+O Ov t t12gggggg1n2n3njn1nn-问题问题2：如果汽车作变速直线运动，在如果汽车作变速直线运动，在t t时刻的速度为：时刻的速度为：(单位：单位：km/hkm/h），那么它
3、在），那么它在0t1(0t1(单单位：位：h)h)这段时间内行驶的路程（单位：这段时间内行驶的路程（单位：kmkm）是多少？）是多少？22v tt 思想方法：思想方法：分割分割 近似代替近似代替 求和求和 逼近逼近解：（1 1）分割）分割 在时间区间在时间区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，将区间等分成个分点，将区间等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n,ni,n1i,n2,n1,n1,0 n1n1init 每个区间的长度为：上行驶的路程分别记作把汽车在时间段,nn,n1n,ni,n1i,n2,n1,n1,0 .S,S,S,Sni21 显然，显然，1niiSS（2 2）近似
4、代替）近似代替 当当n很大，即很大，即t很小时，在区间很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数上，可以认为函数 22v tt 的值变化很的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点点1in处的函数值处的函数值2112iivnn，从从物理意义物理意义上看，上看，即使汽车在时间段即使汽车在时间段1,iinn(1,2,)in上的上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1in处的速度处的速度2112iivnn 作匀速直线运动作匀速直线运动 （4 4）取极限）取极限 当当n趋向于无穷大时，即趋向于无穷大
5、时，即t趋向于趋向于 0 0 时，时，11111232nSnn 趋向于趋向于S，从而有从而有111limlimnnnniiSSvnn 1115lim112323nnn 思考思考 如果物体做变速直线运动，速度函数如果物体做变速直线运动，速度函数v(t)v(t)，那，那么我们可以采用么我们可以采用分割、近似代替、求和、取极限分割、近似代替、求和、取极限的方法求出它在任意时段所作的位移的方法求出它在任意时段所作的位移S S。练习：练习：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力成正比，即力 F xkx（k为常数，为常数，x是伸长量），是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长求弹
6、簧从平衡位置拉长b所作的功所作的功 练习练习解：解：将物体用常力将物体用常力F沿力的方向移动距离沿力的方向移动距离x，则所，则所作的功为作的功为WF x （1 1）分割 分割 在区间在区间0,b上等间隔地插入上等间隔地插入1n个点，个点，将区间将区间0,1等分成等分成n个小区间：个小区间：0,bn，2,bbnn，1,nbbn 记第记第i个区间为个区间为1,(1,2,)ib i binnn，其长度为其长度为1ibi bbxnnn 把在分段把在分段0,bn，（2 2）近似代替）近似代替 有条件知：有条件知：11iibib bWFxknnn (1,2,)in 2,bbnn，1,nbbn上所作的功上所作的功分别记作：分别记作：1W，2W，nW =220 121kbnn 22211122n nkbkbnn 从而得到从而得到W的近似值的近似值 2112nkbWWn 所以得到弹簧从平衡位置拉长所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：所作的功为：22kb 2lim2nnkbWW111222221 11 ()(1)1 (1)(1)22nniinniiniWWWibibFbkbnnnnkbkbnnkbinnn解书写格式：书写格式：课本 P45 练习 练习练习小结小结分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限求解步骤：求解步骤：作业作业导学测评导学测评（六）（六）
