1、学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 - 1 - 专题专题 4三次函数的图像和性质三次函数的图像和性质 第一讲 三次函数的基本性质 设三次函数为 32 f xaxbxcxd（a、b、c、dR且0a ），其基本性质有： 性质一：定义域为 R 性质二：值域为 R，函数在整个定义域上没有最大值、最小值 性质三：单调性和图象 0a 0a 图像 0 0 0 0 当0a 时，先看二次函数 2 ( )32fxaxbxc， 22 4124(3)bacbac 当 22 4124(3)0bacbac ，即 2 30bac时，( )fx与x轴有两个交点 1 x， 2 x，)(xf形成三个单 点区间和两个极值点 1 x
2、， 2 x，图像如图 1，2 当 22 4124(3)0bacbac ，即 2 30bac时，)(x f 与x轴有两个等根 1 x， 2 x，)(xf没有极值点 图像如图 3，4 当 22 4124(3)0bacbac ，即 2 30bac时，( )fx与x轴没有交点，)(xf没有极值点，图像如 图 5，6 图 1图 2图 3图 4图 5图 6 当0a时，同理先看二次函数 2 ( )32fxaxbxc，. 22 4124(3)bacbac 当0)3(4124 22 acbacb，即03 2 acb时，)(x f 与x轴有两个交点 1 x， 2 x，)(xf形成三个单 点区间和两个极值点 1 x
3、， 2 x. 当 22 4124(3)0bacbac ，即 2 30bac时，)(x f 与 x 轴有两个等根 1 x， 2 x，)(xf没有极值点. 当 22 4124(3)0bacbac ，即 2 30bac时，)(x f 与 x 轴没有交点，)(xf没有极值点. 性质四：三次方程 0f x 的实根个数 对于三次函数 32 f xaxbxcxd（a、b、c、dR且0a ），其导数为cbxaxxf23)( 2 当03 2 acb，其导数0)( x f有两个解 1 x， 2 x，原方程有两个极值 2 12 3 = 3 bbac x x a 、 . 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 - 2 -
4、 当0)()( 21 xfxf，原方程有且只有一个实根，图像如图 13，14. 当 12 ()()0f xf x，则方程有 2 个实根，图像如图 15，16. 当 12 ()()0f xf x，则方程有三个实根，图像如图 17. 图 13图 14图 15图 16图 17 性质五：奇偶性 对于三次函数 32 f xaxbxcxd（a、b、c、dR且0a ）. )(xf不可能为偶函数；当且仅当0bd时是奇函数 性质六：对称性 （1）结论一：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是(,() 33 bb f aa ； （2）结论二：其导函数为 2 ( )320fxaxbxc对称轴为 3 b x a ，所以
5、对称中心的横坐标也就是导函数 的对称轴，可见，)(xfy 图象的对称中心在导函数 yfx的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点； （3）结论三：( )yf x是可导函数，若( )yf x的图象关于点( , )m n对称，则( )yfx图象关于直线mx 对称. （4）结论四：若( )yf x图象关于直线xm对称，则( )yfx图象关于点( ,0)m对称. （5）结论五：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. （6）结论六：已知三次函数 32 f xaxbxcxd的对称中心横坐标为 0 x，若 f x存在两个极值点 1 x， 2 x，则有 2
6、 12 120 12 2 23 f xf xa xxfx xx . 性质七：切割线性质 （1）设P是 f x上任意一点(非对称中心)，过点P作函数 f x图象的一条割线AB与一条切线PT(P点 不为切点),A B T均在 f x的图象上，则T点的横坐标平分AB、点的横坐标，如图 18 图 18图 19图 20 x1x2 x x1x2 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 - 3 - 推论 1：设P是 f x上任意一点（非对称中心)，过点P作函数 f x图象的两条切线PMPN、切点分别 为MP、，则 M 点的横坐标平分PN、的横坐标，如图 19 推论 2：设)(xf的极大值为M，当成Mxf)(的两
7、根为 1 x， 2 x 12 ()xx，则区间 12 ,xx被中心 (,() 33 bb f aa 和极小值点三等分，类似的，对极小值点N也有此结论，如图 20 第二讲 三次函数切线问题 一般地，如图，过三次函数 f x图象的对称中心作切线 L,则坐标平面被切线 L 和函数 f x的图象分割为 四个区域，有以下结论： （1）过区域、IV 内的点作 f x 的切线，有且仅有 3 条； （2）过区域 II、内的点以及对称中心作 f x的切线，有且仅有 1 条； （3）过切线 L 或函数 f x图象（除去对称中心）上的点作 f x的切线，有且仅有 2 条 【例 1】过点11，与曲线 3 2f xxx
8、相切的直线方程是_ 【解析】由题意可得： 2 32fxx，设曲线上点的坐标为 3 000 ,2xxx，切线的斜率为 2 0 32kx， 切线方程为： 32 0000 232yxxxxx， 由于切线过点1, 1， 则： 32 0000 1232 1xxxx ， 解得： 0 1x 或 0 1 2 x 将其代入切线方程式整理可得，切线方程为：20xy或5410xy . 【例 2】 若 2f xfx 3 3xx对Rx恒成立， 则曲线 yf x在点 2,2f处的切线方程为_ 【解析】 3 3 23,23f xfxxxfxf xxx 3 3 3233f xxxxx 32 1,31,213f xxxfxxf
9、 又 211f，则曲线 yf x在点 2,2f处的切线方程为11 132yx，即1315yx. 【例 3】过点21A，作曲线 3 3f xxx的切线最多有（） A3条B2条C1条D0条 【解析】法一：设切点为 3 00 ,3xxx，则切线方程为 32 0000 333yxxxxx，因为过21A，所 以 3232 000000 133322670xxxxxx令 32 267g xxx， 2 6120gxxx 0,2xx ，而 070,210gg ，所以 0g x 有三个零点，即切线 最多有 3 条，选A. 法二：根据题意， 3 3f xxx关于点0,0中心对称， 2 3303fxxf ，在原点的
10、切线方程 为3yx ， 221f故点2,1A位于区域，有三条切线（如图），选A. 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 - 4 - 秒杀秘籍：第三讲 四段论法则“房间里装大象” 32 0f xaxbxcxd a且导函数0 32 0f xaxbxcxd a且导函数0 极大值极大值 极小值等值点中心极小值极小值中心极小值等值点 1对称中心： 33 bb f aa ，； 2极大值到对称中心距离为x，极小值到对称中心距离为x，极小值等值点到极大值距离为x，极大值 等值点到极小值距离为x； 3对称中心为极值与极值等值点的三等分点（三次函数性质七）. 【例 4】 函数 3 31f xxx在闭区间, 03上的
11、最大值、 最小值分别是 （） A1，1B3，17 C1，17D9，19 【解析】依题意得对称中心为0, 1，由 2 33fxx，得1x ，如图，画出 四段论图像，得 max 13f xf， min 317f xf . 【例 5】已知函数 3 f xxaxb的定义域为 1, 2，记 f x的最大值为M，则M的最小值为（） A4B3 C2D3 【解析 】依题意得对称中心为0, b，定义域内画出四段论图像，得 112fff ， 解得3a ，0b ， 即 1122fff ， 故选C. 欢迎各位同仁指导！ 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 - 5 - 达标训练达标训练 1函数 32 395f xxx在
12、区间2,2上的最大值是（） A5B2C7D14 2已知 32 ( )26f xxxa（a是常数）在 2 2 ，上有最大值3，那么在 2 2 ，上的最小值是（） A5B11C29D37 3函数 3 ( )34(0 1)f xxxx，的最大值是（） A1B 1 2 C0D1 4若函数 32 3 2 f xxxa在 1,1上有最大值3，则该函数在 1,1上的最小值是（） A 1 2 B0C 1 2 D1 5若函数 3 3f xxx在区间 2 12,aa上有最小值，则实数a的取值范围是（） A)11,1(B)4,1(C2,1(D)2,1( 6若函数 3 3f xxx在)8,( 2 aa上有最小值，则实
13、数a的取值范围是（） A) 1,7(B) 1,7C) 1,2D) 1,2( 7函数 3 3f xxaxa在) 1,0(内有最小值，则a的取值范围是（） A01aB01aC11a D 1 0 2 a 8当 1,2x时，不等式 32 43mxxx恒成立，则实数m的取值范围是（） A 8 6, 9 B6,2C5,3D4,3 9若关于x的不等式 32 392xxxm对任意2, 2x 恒成立，则m的取值范围是（） A, 7B,20C, 0D12, 7 10函数 32 1 3 f xxxa，函数 2 3g xxx，它们的定义域均为1, ，并且函数 f x的图象始 终在函数 g x的上方，那么a的取值范围是
14、（） A),0(B)0,(C), 3 4 (D 3 4 ,( 11 设函数 32 1 25 2 f xxxx， 若对于任意1, 2x， f xm恒成立， 则实数m的取值范围为 （） A),7(B),8(C),7D),8 12已知函数 32 31f xaxx，若 f x存在唯一的零点 0 x，且 0 0x ，则a的取值范围是（） A),2(B)2,(C),1 (D) 1,( 13已知 3 0 4 ab ，函数 3 11f xxaxbx ，设 f x的最大值为M，对任意的abR、恒 有Mk，则实数k的最大值为（） A4B2C 2 1 D 4 1 学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数 - 6 - 14
15、曲线 3 yxx的所有切线中，经过点(1, 0)的切线的条数是（） A0B1C2D3 15已知函数 32 1 ( )3() 3 f xxxaxaR有两个极值点 1 x， 212 ()xxx，则（） A 1 () 3f x ， 2 10 () 3 f xB 1 () 3f x ， 2 10 () 3 f x C 1 () 3f x ， 2 10 () 3 f xD 1 () 3f x ， 2 10 () 3 f x 16已知函数 32 ( )698f xxxx ，则过点(0, 0)可以作几条直线与曲线( )yf x相切（） A3条B1条C0条D2条 17已知函数 32 ( )f xxaxbxc，
16、 3x ，3的图象过原点，且在点(1，f（1）)和点( 1，( 1)f 处 的切线斜率为2，则( )f x （） A是奇函数B是偶函数 C既是奇函数又是偶函数D是非奇非偶函数 18 已知函数 32 ( )f xxaxbxc有两个极值点 1 x，2x， 若 122 ()xxf x， 则 1 ( )f xx的解的个数为 （） A0B1C2D3 19已知函数 32 ( )21f xxmxnx，( )fx是函数( )f x的导数，且 2 (2)() 3 fxfx ，若在1，上 ( ) 1f x 恒成立，则实数n的取值范围为（） A 2 1 ,(B 2 1 ,(C), 2 1 D), 20（2019汕头
17、月考）函数 32 1 ( ) 3 f xxxax在 1，2上单调递增，则a的取值范围是（） A0a B0a C1a D1a 21（2019浙江期中）已知函数 32 1 ( )2 3 f xxaxx在区间(1,)上有极小值无极大值，则实数a的取值 范围（） A 1 2 a B 1 2 a C 1 2 aD 1 2 a 22 （2019长沙期中）已知函数 2 ( )431f xxx， 3 ( )31g xxx，则( )f x与( )g x的大小关系是（） A( )( )f xg xB( )( )f xg xC( )( )f xg xD随x的变化而变化 23（2019临川月考）正项等差数列 n a中的 11 a， 4027 a是函数 32 1 ( )443 3 f xxxx的极值点，则 2019 2 loga（） A2B3C4D5 欢迎各位同仁指导！
