1、 ,mnlm lnl如图、是平面 内的两条相交直线 如果求证：探究：探究：问题探究nml 第1页/共22页1.空间向量的加减法运算（1）向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则ba baba a 复习：复习：第2页/共22页（2）向量的减法:三角形法则三角形法则ba ba 复习：复习：2.相等向量：方向 且模 的向量称为相等向量相同相等3.共面向量的基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使 。p=xa+yb 第3页/共22页AOBababab4平面向量的夹角：平面向量的夹角：babaAOBbOBaOAOba,.,记
2、作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向复习：复习：第4页/共22页1 1）空间两个向量的夹角的定义空间两个向量的夹角的定义babaAOBbOBaOAOba,.,记作：的夹角，与叫做向量则角作，在空间任取一点量如图，已知两个非零向思考：1、a，b与b，a相等吗？2、a，b与a，b相等吗？注意：a，bb，a，a，ba，b3.1.33.1.3空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算第5页/共22页2 2）两个向量的数量积注：注：两个向量的两个向量的数量积是数量数量积是数量，而不是向量，而不是向量.,cos,cos,a ba ba ba ba ba ba ba b 已知空间
3、两个向量，则叫做向量的数量积，记作：即零向量与任意向量的数量积等于零。第6页/共22页3)3)空间向量的数量积性质空间向量的数量积性质:对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：,ab2(1)cos,(2)0(3)a ba ba baba baa a （求角的依据）（证明垂直的依据）（求向量的长度的依据)第7页/共22页4)4)空间向量的数量积满足的运算律空间向量的数量积满足的运算律 1)()()()2)(3()(aba ba bb aabca ba c 结合律交换律）分配律）下列命题成立吗下列命题成立吗?若 ,则若 ,则a ba c bc kab a bk ()()a bcab c 思考思考:第
4、8页/共22页1.向量a、b之间的夹角为30，且|a|3，|b|4，则ab _，a2_，(a2b)(ab)_.第9页/共22页135 第10页/共22页题型一题型一利用数量积求夹角利用数量积求夹角 如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值【例例1】第11页/共22页第12页/共22页 P O A la 分析分析：用向量来证明：用向量来证明两直线垂直，只需证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量明两直线的方向向量的数量积为零即可！的数量积为零即可！题型二利用数量积证明垂直关系【例例2】第13页/共22页证明：证明：例例2 已知
5、已知:,POAOllOA射射影影且且求证：求证：lPA 在直线在直线l上取向量上取向量 ,只要证只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl 即即PA.PA.为为 P O A la 0,0a POa OA 第14页/共22页例例3:(试用试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.lll lmngn g m l 第15页/共22页lmngn g m l,gxmyn ,l gxl myl n 0,0,l ml m 0,.l glg 即
6、即,lgll 即即 垂垂直直于于平平面面 内内任任一一直直线线.解解:在在 内作不与内作不与m,n重合的任一直线重合的任一直线g,在在 ,l m n g 上取非零向量上取非零向量 因因m与与n相交相交,故向量故向量m,n,l m n g 不平行不平行,由共面向量定理由共面向量定理,存在唯一实数存在唯一实数 ,使使 (,)x y例例3:已知直线已知直线m,n是平面是平面 内的两条相交直线内的两条相交直线,如果如果 m,n,求证求证:.lll 第16页/共22页 如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长题型题型三三利用
7、数量积求两点间的距离利用数量积求两点间的距离【例例4】第17页/共22页第18页/共22页 课堂小小 结：结：空间向量数量积：空间向量数量积：可利用数量积解决立体几何中的以下问题：可利用数量积解决立体几何中的以下问题：1 1、求两直线所成角、求两直线所成角.2 2、证明两直线垂直、证明两直线垂直;3 3、求两点之间的距离或线段长度、求两点之间的距离或线段长度;第19页/共22页作业P98 A组 3 4 5 B组 1 2第20页/共22页ABA1C1B1C2.如图如图,在正三棱柱在正三棱柱ABC-A1B1C1中中,若若AB=BB1,则则AB1与与C1B所成角所成角的大小为的大小为()A.B.C.D.2105 75 90 60 3.已知在平行六面体中，已知在平行六面体中，,求对角线的长。求对角线的长。ABCDABCD 4AB 3,5,90,60ADAABADBAADAA AC DCBDABCAB|85AC 课后练习：课后练习：第21页/共22页感谢您的欣赏！第22页/共22页
