1、点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系第二章第二章2.3直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质第二章第二章2.3.1直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定预预 习习 导导 学学课标展示课标展示1理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意任意”两字的重要性两字的重要性2掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题面垂直的问题3了解直线与平面所成的角的含义，并知道其求法了解直线与平面所成的角的含义，并知道其求法温故知新温故知新旧知再现旧知再现1在初中平面几何
2、中能够转化为垂直关系的有：等在初中平面几何中能够转化为垂直关系的有：等腰三角形底边上的中线腰三角形底边上的中线_底边；菱形对角线互相底边；菱形对角线互相_；正方形对角线互相；正方形对角线互相_；圆的直径所；圆的直径所对圆角等于对圆角等于_.2在上一节，我们已经学习了直线与平面平行的判定在上一节，我们已经学习了直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行、面面定理和平面与平面平行的判定定理及其应用，线面平行、面面平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行平行的判定最终归结为线线平行的判定，并且研究了线面平行和面面平行的三种判定方法：和面面平行的三种判定方法：(
3、1)定义法；定义法；(2)判定定理；判定定理；(3)反反证法证法垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分90新知导学新知导学1直线与平面垂直直线与平面垂直任意一条任意一条 垂线垂线垂面垂面垂足垂足破疑点破疑点(1)定义中的定义中的“任意一条直线任意一条直线”这一词语与这一词语与“所有直线所有直线”是同义语，与是同义语，与“无数条直线无数条直线”不是同义语不是同义语(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式式(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的
4、任意一条直线一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线2判定定理判定定理相交相交 abP垂直垂直破疑点破疑点直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直通常我们将其记为通过直线间的垂直来证明直线与平面垂直通常我们将其记为“线线垂直，则线面垂直线线垂直，则线面垂直”因此，处理线面垂直转化为处理因此，处理线面垂直转化为处理线线垂直来解决也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂线线垂直来解决也就是说，以后证明一条直线和一个平面垂直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂直即直，只要在这个平面内找到两条相交直线和已知直线垂
5、直即可可3直线和平面所成的角直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面定义：一条直线和一个平面_，但不和这个平，但不和这个平面面_，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的_叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引_，过，过_和和_的直线叫做斜线在这个平面上的直线叫做斜线在这个平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角相交相交垂直垂直交点交点垂线垂线垂足垂足斜足斜足锐角锐角900自我检测自我检测
6、1直线直线l平面平面，直线，直线m，则，则l与与m不可能不可能()A平行平行B相交相交C异面异面 D垂直垂直答案答案A解析解析直线直线l平面平面，l与与相交，相交，又又m，l与与m相交或异面，由直线与平面垂直的相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知定义，可知lm.故故l与与m不可能平行不可能平行2直线直线l与平面与平面内的无数条直线垂直，则直线内的无数条直线垂直，则直线l与平面与平面的关系是的关系是()Al和平面和平面相互平行相互平行 Bl和平面和平面相互垂直相互垂直Cl在平面在平面内内 D不能确定不能确定答案答案D解析解析如下图所示，直线如下图所示，直线l和平面和平面相互平行，或直线相互平
7、行，或直线l和平面和平面相互垂直或直线相互垂直或直线l在平面在平面内都有可能故选内都有可能故选D.3在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线中，直线AB1与平面与平面ABCD所成的角等于所成的角等于_答案答案45解析解析如图所示，因为正方体如图所示，因为正方体ABCDA1B1C1D1中，中，B1B平面平面ABCD，所以，所以AB即为即为AB1在平面在平面ABCD中的射影，中的射影，B1AB即为直线即为直线AB1与平面与平面ABCD所成的所成的角由题意知，角由题意知，B1AB45，故所求角，故所求角为为45.规律总结：规律总结：求直线与平面所成的角的关键是找出平求直线与平面所成的角的关键
8、是找出平面的垂线，从而找出直线在平面内的射影面的垂线，从而找出直线在平面内的射影4如下图所示，在正方体如下图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求中，求证：证：AC平面平面BDD1B1.分析分析转化为证明转化为证明ACBD，ACBB1.证明证明BB1AB，BB1BC，BB1平面平面AC，又又AC平面平面AC，BB1AC.又四边形又四边形ABCD是正方形，是正方形，BDAC.又又BD平面平面BDD1B1，BB1平面平面BDD1B1，BB1BDB，AC平面平面BDD1B1.互互 动动 课课 堂堂线面垂直的判定线面垂直的判定 典例探究典例探究 分析分析本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一本
9、题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些些“垂直垂直”关系，看是否可利用如看到关系，看是否可利用如看到PA平面平面ABC，可，可想到想到PAAB、PABC、PAAC，这些垂直关系我们需要哪，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是个呢？我们需要的是PABC，联系已知，问题得证，联系已知，问题得证证明证明(1)PA平面平面ABC，BC平面平面ABC，PABC.ABC90，ABBC.又又ABPAA，BC平面平面PAB.(2)BC平面平面PAB，AE平面平面PAB，BCAE.PBAE，BCPBB，AE平面平面PBC.(3)AE平面平面PBC，PC平面平面PBC，AEPC.AFPC，AEAFA，PC平
10、面平面AEF.规律总结：规律总结：线面垂直的判定定理的应用线面垂直的判定定理的应用(1)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：直的步骤：在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论根据判定定理得出结论(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找
11、隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角等、等腰三角形、梯形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法 如图，在如图，在ABC中，中，ABC90，D是是AC的中点，的中点，S是是ABC所在平面外一点，且所在平面外一点，且SASBSC.(1)求证：求证：SD平面平面ABC；(2)若若ABBC，求证：，求证：BD平面平面SAC.解析解析(1)因为因为SASC，D是是AC的中点，所以的中点，所以SD
12、AC.在在RtABC中，中，ADBD，又又SASB，SDSD，所以所以ADSBDS，所以，所以SDBD.又又ACBDD，所以，所以SD平面平面ABC.(2)因为因为ABBC，D为为AC的中点，所以的中点，所以BDAC.由由(1)知知SDBD，又，又SDACD，所以所以BD平面平面SAC.规律总结：规律总结：线面垂直的判定定理实质是由线线垂直线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推论线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线推论线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直推论线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件垂直推论线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件(1)求直线求直线A
13、1C与平面与平面ABCD所成的角的正切值所成的角的正切值(2)求直线求直线A1B与平面与平面BDD1B1所成的角所成的角 线面角线面角分析分析求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线为此须找出过直线上一点的平面的垂线(2)中过中过A1作平面作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性垂直，由正方体的特性知，直线知，直线A1C1满足要求满足要求规律总结：规律总结：求线面角的方法：求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点寻找过斜线
14、上一点与平面垂直的直线；与平面垂直的直线；连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比
15、如中心、垂心、重心等垂心、重心等(20132014湖南陶铸中学月考湖南陶铸中学月考)如图所如图所示，示，RtBMC中，斜边中，斜边BM5且它在平面且它在平面ABC上上的射影的射影AB长为长为4，MBC60，求，求MC与平面与平面ABC所成角的正弦值所成角的正弦值线面垂直的综合应用线面垂直的综合应用 分析分析(1)要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线要证线面垂直，需证平面内有两条相交直线与已知直线垂直，而根据条件易得与已知直线垂直，而根据条件易得EFPB，EFAF，所以本，所以本题得证；题得证；(2)要求线面角，得先找出或作出这个角根据条件易要求线面角，得先找出或作出这个角根据条件易得得BP平
16、面平面EFA.故在故在BEF中，只需过中，只需过AC与与BE的交点的交点G作作BF的平行线的平行线GH，则，则GH平面平面EFA，GAH为所求角为所求角解析解析(1)证明：连结证明：连结BE，EP.EDCE，PDADBC，RtPDERtBCE，PEBE.F为为PB中点，中点，EFPB.PD底面底面ABCD，DAAB，PAAB.在在RtPAB中，中，PFBF，PFAF.又又PEBEEA，EFPEFA，EFFA.PBAFF，EF平面平面PAB.规律总结：规律总结：(1)中还可取中还可取AB中点中点Q，连结，连结EQ，FQ，证明证明AB平面平面EFQ，则，则ABEF，加上，加上EFPB，则，则EF平
17、面平面PAB.(2)中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三中在求线面角时，首先得找出或作出这个角，再解三角形求角角形求角 错解错解四边形四边形ABCD中，四个角中，四个角ABC，BCD，CDA，DAB都是直角，都是直角，四边形四边形ABCD是矩形是矩形错因分析错因分析把把ABCD当作平面四边形当作平面四边形(未加共面证明未加共面证明)就就得出结论得出结论思路分析思路分析四边形四边形ABCD有两种存在形式：平面四边有两种存在形式：平面四边形形ABCD和空间四边形和空间四边形ABCD，需分类证明，需分类证明正解正解当四边形当四边形ABCD是平面图形时，它显然是矩是平面图形时，它显然是矩形形
18、若四边形若四边形ABCD是空间四边形时，是空间四边形时，可设点可设点C在平面在平面ABD之外如图，过点之外如图，过点C作作CC1平面平面ABD，则，则AB面面BCC1，ABC190.同理，同理，ADC190.如图所示，如图所示，ab，点，点P在在a，b所确定的平面外，所确定的平面外，PAa于点于点A，ABb于点于点B.求证求证PBb.错解错解PAa，ab，PAb，PA平面平面，PBb.错因分析错因分析上述证法的错误在于没有正确使用线面垂上述证法的错误在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由直的判定定理，由PAa，PAb，得，得PA，忽略了，忽略了a与与b不不相交相交正解正解PAa，ab，PAb.
19、又又ABb，且，且PAABA，b平面平面PAB.又又PB平面平面PAB，PBb.随随 堂堂 测测 评评1若直线若直线a与平面与平面内的两条直线垂直，则直线内的两条直线垂直，则直线a与平面与平面的位置关系是的位置关系是()A垂直垂直 B平行平行C斜交或在平面内斜交或在平面内 D以上均有可能以上均有可能答案答案D解析解析a与与内的两条直线垂直，而这两条直线的位内的两条直线垂直，而这两条直线的位置关系不确定，置关系不确定，a与与可能平行、垂直、斜交或可能平行、垂直、斜交或a在在内内2如果一条直线垂直于一个平面内的：如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；三角形的两边；
20、梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边正六边形的两条边则能保证该直线与平面垂直则能保证该直线与平面垂直()A BC D答案答案A解析解析三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是直线与平面垂直的是.3下列命题中正确的个数是下列命题中正确的个数是()如果直线如果直线l与平面与平面内的无数条直线垂直，则内的无数条直线垂直，则l；如果直线如果直线l与平面与平面内的一条直线垂直，则内的一条直线垂直，则l；如果直线如果直线l不垂直于不垂直于，
21、则，则内没有与内没有与l垂直的直线；垂直的直线；如果直线如果直线l不垂直于不垂直于，则，则内也可以有无数条直线与内也可以有无数条直线与l垂直垂直A0 B1C2 D3答案答案B解析解析只有只有正确正确4一条直线和平面所成角为一条直线和平面所成角为，那么，那么的取值范围是的取值范围是()A(0，90)B0，90C(0，90 D0，180答案答案B解析解析由线面角的定义知由线面角的定义知B正确正确解析解析如下图所示，连接如下图所示，连接B1D1.6(2013重庆重庆)如图，四棱锥如图，四棱锥PABCD中，中，PA底面底面ABCD，BCCD，ACBACD.求证：求证：BD平面平面PAC.分析分析解答本题的关键是将证明线面垂直问题转化为解答本题的关键是将证明线面垂直问题转化为证明线线垂直问题证明线线垂直问题证明证明因为因为BCCD，所以，所以BCD为等腰三角形，为等腰三角形，又又ACBACD，故，故BDAC.因为因为PA底面底面ABCD，所以，所以PABD.从而从而BD与平面与平面PAC内两条相交直线内两条相交直线PA，AC都垂直，所都垂直，所以以BD平面平面PAC.
