1、2.1 2.1 古算古算明珠明珠“方程术方程术”与与“正负术正负术”人教人教B版数学选修版数学选修3-1数学史选讲数学史选讲古古算明珠算明珠“方程术方程术”与与“正负正负术术”虽天圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广虽天圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉哉刘徽刘徽 中国古代最重要的数学经典中国古代最重要的数学经典九章算术九章算术(约公约公元前元前2世纪世纪)卷卷8的的“方程术方程术”，是解线性方程组的，是解线性方程组的算法。算法。以该卷第以该卷第1题为例，题为例，今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十秉，实三
2、十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？中、下禾实一秉各几何？该问题相当于解一个三元一次方程组：设上、中、下禾一秉实依次是x、y、z，求解线性方程组 方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列如右方实三十九斗于右方。中、左禾列如右方 按照方程术术文，将此题演算过程表示如下：古按照方程术术文，将此题演算过程表示如下：古代竖为行，横为列，且从左到右，与今天习惯相反。代竖为行，横为列，且从左到右，与
3、今天习惯相反。323923342326xyzxyzxyz 以右行上禾遍乘中行，而以直除。以右行上禾遍乘中行，而以直除。以右行上禾系数以右行上禾系数3乘整个中行。乘整个中行。32396931022326xyzxyzxyz然后以右行对减中行，两度减，中行上禾系数变为然后以右行对减中行，两度减，中行上禾系数变为0。323905242326xyzxyzxyz又乘其次，亦以直除。复去左行首。又乘其次，亦以直除。复去左行首。以右行上禾系数以右行上禾系数3乘整个左行。以右行对减左行，左行上禾系数变为乘整个左行。以右行对减左行，左行上禾系数变为0。3239052404839xyzxyzxyz然以中行中禾不尽者
4、遍乘左行，而以直除。左方然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。以中行中禾系数以中行中禾系数5乘左行整行，以中行对减左行，乘左行整行，以中行对减左行，四度减，则左行中禾系数亦化为四度减，则左行中禾系数亦化为0，下禾系数为，下禾系数为36，实为实为99。下禾系数与实有公因子。下禾系数与实有公因子9，以其约简。下禾，以其约简。下禾系数变为系数变为4，作为法，实为，作为法，实为11，只是下禾的实。，只是下禾的实。3239052400411xyzxyzxyz求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余，求中禾，以法乘中行
5、下实，而除下禾之实。余，如中禾秉数而一，即中禾之实。如中禾秉数而一，即中禾之实。为了求中禾，以左行的法乘中行的下实，减去左行下禾为了求中禾，以左行的法乘中行的下实，减去左行下禾的实，在此问中即的实，在此问中即244111。该运算的余数，除以中行。该运算的余数，除以中行中禾的秉数，就是中行的实，仍以左行之法为法。此问中即中禾的秉数，就是中行的实，仍以左行之法为法。此问中即（244111）517，以，以4为法。为法。32390401700411xyzxyzxyz求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余，如上禾秉数而一，即为上禾之实。之实。余，如上禾秉
6、数而一，即为上禾之实。为了求上禾，以左行之法乘右行下实，减去左行下禾实为了求上禾，以左行之法乘右行下实，减去左行下禾实乘右行下禾秉数，再减去中行中禾实乘右行中禾秉数。此乘右行下禾秉数，再减去中行中禾实乘右行中禾秉数。此问中即问中即394111172。该运算的余数，除以右行。该运算的余数，除以右行上禾秉数，就是上禾之实，仍以左行之法为法。此问中就上禾秉数，就是上禾之实，仍以左行之法为法。此问中就是（是（394111172）327，仍以，仍以4为法。为法。400370401700411xyzxyzxyz实皆如法，各得一斗。实皆如法，各得一斗。实除以法，得到上禾实除以法，得到上禾1秉之实为秉之实为x
7、=9 斗，中禾斗，中禾1秉秉之实之实y=4 斗，下禾斗，下禾1秉之实秉之实z=2 斗。斗。414143筹算解线性方程组举例（二）筹算解线性方程组举例（二）“九章算术九章算术及刘徽注及刘徽注”：今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？几何？答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。术曰：如方程。术曰：如方程。解：设牛、羊、猪单价依次是解：设
8、牛、羊、猪单价依次是x、y、z，求解线性，求解线性方程组方程组 得到牛价为得到牛价为x=1200，羊价为，羊价为y=500，豕价为，豕价为z=300。著名的数学著作九章算术，大约编于公元四、五十年间的东汉初期。这部书是采用问题集的形式编的，共有二百四十六个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。方田章方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面积方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面积计算；计算；粟米章粟米章讲的是粮食交易的简单比例计算；讲的是粮食交易的简单比例计算；衰衰分章分章讲的是
9、一些按比例分配的问题；讲的是一些按比例分配的问题；少广章少广章讲的是讲的是由已知面积和体积，反求边的长短和面的宽广的问由已知面积和体积，反求边的长短和面的宽广的问题，其中总结出了开平方和开立方的方法；题，其中总结出了开平方和开立方的方法；商功章商功章讲的是计算各种体积的方法，主要解决筑讲的是计算各种体积的方法，主要解决筑城、建堤、挖沟、修渠等实际工程问题；城、建堤、挖沟、修渠等实际工程问题；均输章均输章讲讲的是粮食运输均匀负担的计算方法；的是粮食运输均匀负担的计算方法；盈不足章盈不足章讲的讲的是盈亏计算法和它的应用；是盈亏计算法和它的应用；方程章方程章讲的是正负数算讲的是正负数算法，还有各种三
10、元一次和四元一次联立方程的解法。法，还有各种三元一次和四元一次联立方程的解法。勾股章勾股章叙述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理，叙述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角三角形解法的问题。以及相似直角三角形解法的问题。九章算术九章算术的内容丰富多彩，包括了许多算术、的内容丰富多彩，包括了许多算术、几何、代数和三角的知识，是一部非常杰出的数几何、代数和三角的知识，是一部非常杰出的数学专著，它对我国数学的发展影响深远。学专著，它对我国数学的发展影响深远。九章算术九章算术不只在中国数学史上占有十分重要不只在中国数学史上占有十分重要的地位，而且影响远及国外。朝鲜和日本都曾经的地位，而且影响
11、远及国外。朝鲜和日本都曾经用它作为教科书。用它作为教科书。欧洲在中世纪的一些算法，比如分数和比例就很欧洲在中世纪的一些算法，比如分数和比例就很可能是从中国传入印度、再经阿拉伯传入欧洲的。可能是从中国传入印度、再经阿拉伯传入欧洲的。在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中，把在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中，把“盈不足盈不足”称为称为“中国算法中国算法”就是一个证明。现在，就是一个证明。现在，九章算九章算术术已作为世界科学名著，被译成许多种文字出版。已作为世界科学名著，被译成许多种文字出版。正负术正负术 正负术是正负术是九章算术九章算术方程章提出的正负数加减方程章提出的正负数加减法则。一则方程术中用直除法消
12、元时会出现以小减法则。一则方程术中用直除法消元时会出现以小减大的情形，再则通过损益术列方程，这都会产生负大的情形，再则通过损益术列方程，这都会产生负数。数。正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。正之，负无入负之。前四句是减法法则：前四句是减法法则：若二数同号，则；若二数同号，则；若二数异号，则若二数异号，则若没有与之对减的数，则若没有与之对减的数，则()()(),0abba ba()()()abab 后四句是加法法则：后四句是加法法则：若二数异号，则；
13、若二数异号，则；若二数同号，则，若二数同号，则，若没有与之对加的数，则若没有与之对加的数，则()()(),(0)ababab()()(),(0)abbaba 在在九章算术九章算术中，正负术只用于方程术，并且，中，正负术只用于方程术，并且，在实际上不仅使用了正负数的加减法，而且使用了正在实际上不仅使用了正负数的加减法，而且使用了正负数的乘除法。不过，现有资料中，正负数的乘法法负数的乘除法。不过，现有资料中，正负数的乘法法则在则在算学启蒙算学启蒙中才给出。祖冲之很可能研究过负中才给出。祖冲之很可能研究过负系数开方问题，现存资料中讨论负系数开方问题最先系数开方问题，现存资料中讨论负系数开方问题最先出
14、现在北宋刘益的出现在北宋刘益的议古根源议古根源中。中。雀燕集衡雀燕集衡这是这是九章算术九章算术方程章的一个题目：方程章的一个题目：今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，横适平。并雀、燕重一斤。问雀、雀一燕交而处，横适平。并雀、燕重一斤。问雀、燕一枚各重几何？燕一枚各重几何？设设 x,y 分别为雀、燕一枚重，分别为雀、燕一枚重，九章算术九章算术的解法是通过损的解法是通过损益术列出方程益术列出方程：4858xyxy用直除法消元后求出雀一枚用直除法消元后求出雀一枚 两，燕一枚两，燕一枚 两。两。13119x 5119y 刘徽提出了新的解法：
15、两行直接相减得刘徽提出了新的解法：两行直接相减得因此，因此，。任取一行，比如右行，用今有术将雀化为。任取一行，比如右行，用今有术将雀化为燕，便有燕，便有 ，于是于是 。这正是方程新术的基本思想。方程新术是在方程章这正是方程新术的基本思想。方程新术是在方程章麻麦问中详细阐述的，是刘徽的一项创造。麻麦问中详细阐述的，是刘徽的一项创造。五家共井五家共井这也是这也是九章算术九章算术方程章的一个题目方程章的一个题目：今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，以丙一绠；丙四绠不足，以丁一绠；丁五绠不足，足，以丙一绠；丙四绠不足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一
16、绠；戊六绠不足，以甲一绠。如各得所不足一以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？绠，皆逮。问井深、绠长各几何？设设 x,y,z,u,v,w 分别为甲、乙、丙、丁、戊绠长及分别为甲、乙、丙、丁、戊绠长及井深，井深，6个未知数，依题意只可列出个未知数，依题意只可列出5行方程：行方程：九章算术九章算术遂以遂以265，191，148，129，76，721分别为分别为甲、乙、丙、丁、戊绠长及井深。甲、乙、丙、丁、戊绠长及井深。这是在中国数学史上第一次明确提出不定方程问题。这是在中国数学史上第一次明确提出不定方程问题。九章算术九章算术只是给出只是给出了最小的一组正整数解。了最小的一组正整数解。
