1、二、圆锥曲线的二、圆锥曲线的参数方程参数方程1.椭圆的参数方程椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程双曲线的参数方程3.抛物线的参数方程抛物线的参数方程例例1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点）为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆与小圆的交点，过点的交点，过点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时旋转时点点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程.OAMxyNB分析：分析：点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同,点点M的纵坐标与点的纵坐标与点
2、B的纵坐标相同的纵坐标相同.而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系.设设XOA=椭圆的参数方程椭圆的参数方程例例1、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径作两个圆，点）为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆与小圆的交点，过点的交点，过点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时旋转时点点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程.OAMxyNB解：解：设设XOA=,M(x,y),则则A:(acos,a sin),B:(bcos,bsin),由已知由已
3、知:即为即为点点M M的轨迹的轨迹参数方程参数方程.sinbycosax()为参数消去参数得消去参数得:,bya12222x即为即为点点M M的轨迹的轨迹普通普通方方程程.1.参数方程参数方程 是椭圆的参是椭圆的参 数方程数方程.cosxasinyb2.在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半分别是椭圆的长半轴长和短半轴长轴长.ab另外另外,称为称为离心角离心角,规定参数规定参数的取值范围是的取值范围是0,2)cos,sin.xaXyb焦点在 轴cos,sin.x bYya焦点在 轴OAMxyNB知识归纳知识归纳椭圆的标准方程椭圆的标准方程:12222b
4、yax椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义:)(sinbycosa为为参参数数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程:圆的参数方程圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程:是是AOX=,不是不是MOX=.【练习【练习1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程.22149xy22116yx(1)(2)3cos5sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100
5、(4)1yx22925(3)1yx 练习练习2：已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 (是参数是参数)，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（），），短轴长为（短轴长为（），焦点坐标是（），焦点坐标是（），），离心率是（离心率是（）。）。2cos sinxy4232(,0)3例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P，使，使P到到直线直线 l：x-y+4=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1：),y,y(288P设设2882|4yy|d则则分析分析2：),sin,cos(P 22设设222|4sincos|d则则分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭
6、圆相切，切点即为至首次与椭圆相切，切点即为所求所求.小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。识加以解决。例例3、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos,8sinA解 设20cos,16sin20 16sincos160sin2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX练习练习3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的
7、两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限在第一象限的椭圆弧上求一点的椭圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面的面积最大积最大.22941yx:,ABCABP解 椭圆参数方程 设点P(3cos,2sin)S面积一定 需求 S最大即可264132212360|cossin6|2 sin()23,yxPABxyddP33 22即求点 到线的距离最大值线AB的方程为66所以当=时有最大值 面积最大4这时点 的坐标为(,2)练习练习41、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化，求，求2x+3y的最大值和最小值的最大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切
8、实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos,6sin)两点的线段的中点轨迹两点的线段的中点轨迹是是 .A.圆圆 B.椭圆椭圆 C.直线直线 D.线段线段B设中点设中点M(x,y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin29422yxbaoxy)MBABAOBBy在中，(,)M x y设|tanBBOBtan.bOAAx在中，|cosOAOAcosbsec,bsec()tanxaMyb所所以以 的的轨轨迹迹方方程程是是为为参参数数2a2 22 22 2x xy y消消去去参参数数后后，得得-=1 1,b b这这是是中中心心在在原原点点，焦焦点点在在x x轴轴上上
9、的的双双曲曲线线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3,2)22o通 常 规 定且，。双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22221xyab22sec1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数相比较而得到，所以双曲线的参数方程方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明：这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.例例2、2222100(,)xyMabOabMA
10、BMAOB 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交于于，两两点点。探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？OBMAxy.byxa双曲线的渐近线方程为：解：解：tan(sec).Mby bx aaA不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线的方程为（asec,btan）：b将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax=（sectan）2.Bax=（se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设 AOx=,则tan.MAOB所以的面积为MAO
11、BS=|OA|OB|sin2=ABxxsin2coscos2222a(sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。练习练习:1.已知参数方程11xttytt(t 是参数是参数,t 0)化为普通方程化为普通方程,画出方程的曲线画出方程的曲线.2.参数方程sectanxayb(,)22是参数表示什么曲线表示什么曲线?画出图形画出图形.22223.1(0),.xyb aA Bab 22若双曲线上有两点与它的中心的连线互相垂直.11求证:为定值|OA|OB|引入引入:如图如图,一架救援飞机在离灾区地面一架救援
12、飞机在离灾区地面500m高处高处以以100m/s的速度作水平直线飞行的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力不记空气阻力),飞行员应飞行员应如何确定投放时机呢？如何确定投放时机呢？xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/x的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,)1500.2xtygt2（g=9.8m/
13、s思考：思考：对于一般的抛物线，怎对于一般的抛物线，怎样建立相应的参数方程呢？样建立相应的参数方程呢？抛物线的参数方程抛物线的参数方程 抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)M设（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作。tan.My因为点（x,y）在 的终边上，根据三角函数定义可得x.2又设抛物线普通方程为y=2px,().y22px=tan解出x,y得到抛物线（不包括顶点）的参数方程：为参数2ptan 1如果设t=,t(-,0)(0,+),则有tan,().ty2x=2pt为参数2pt0t 当时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。,().ttRy2x=2pt所以，为参数，表示整条抛物线。2pt思考：思考：参数参数t的几何意义是什么？的几何意义是什么？抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)2抛物线y=2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当=0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。思考：思考：怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2=2py(p0)的的参数方程？参数方程？.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y
