1、返回目录返回目录 1.1.函数的单调性函数的单调性 在在(a,b)内可导函数内可导函数f(x),f(x)在在(a,b)任意子区间内都任意子区间内都不恒等于不恒等于0.f(x)0 f(x)为为 ;f(x)0 f(x)为为 .减函数减函数 增函数增函数 返回目录返回目录 2.2.函数的极值函数的极值 (1)判断判断f(x0)是极值的方法是极值的方法 一般地一般地,当函数当函数f(x)在点在点x0处连续时处连续时,如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧,右侧右侧 ,那么那么f(x0)是极大值是极大值.如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 ,右侧右侧 ,那么那么f(x0)是极小值是极小值.(2)求可导函
2、数极值的步骤求可导函数极值的步骤 求求f(x);求方程求方程 的根的根;f(x)0f(x)0 f(x)0f(x)=0返回目录返回目录 考察在每个根考察在每个根x0附近附近,从左到右导函数从左到右导函数f(x)的符号的符号如何变化如何变化.如果左正右负如果左正右负,那么那么f(x)在在x0处取得处取得 ;如如果左负右正果左负右正,那么那么f(x)在在x0处取得处取得 .3.3.函数的最值函数的最值 (1)在闭区间在闭区间a,b上连续的函数上连续的函数f(x)在在a,b上上必有最大值与最小值必有最大值与最小值.(2)若函数若函数f(x)在在a,b上单调递增上单调递增,则则 为函为函数的最小值数的最
3、小值,为函数的最大值为函数的最大值;若函数若函数f(x)在在a,b上单调递减上单调递减,则则 为函数的最大值为函数的最大值,为函数的为函数的最小值最小值.极小值极小值 极大值极大值 f(a)f(b)f(a)f(b)(3)设函数设函数f(x)在在a,b上连续上连续,在在(a,b)内可导内可导,求求y=f(x)在在a,b上的最大值与最小值的步骤如下上的最大值与最小值的步骤如下:求函数求函数y=f(x)在在(a,b)内的内的 ;将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较比较,其中最大的一个是最大值其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值最小的一个
4、是最小值.返回目录返回目录 极值极值 返回目录返回目录 已知已知f(x)=ex-ax-1.(1)求求f(x)的单调增区间的单调增区间;(2)若若f(x)在定义域在定义域R内单调递增内单调递增,求求a的取值范围的取值范围;(3)是否存在是否存在a,使使f(x)在在(-,0上单调递减上单调递减,在在 0,+)上单调递增上单调递增?若存在若存在,求出求出a的值的值;若不存若不存 在在,说明理由说明理由.返回目录返回目录 f(x)=ex-a.(1)若若a0,f(x)=ex-a0恒成立恒成立,即即f(x)在在R上递增上递增.若若a0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为
5、(lna,+).(2)f(x)在在R内单调递增内单调递增,f(x)0在在R上恒成立上恒成立.ex-a0,即即aex在在R上恒成立上恒成立.a(ex)min,又又ex0,a0.(1)通过解通过解f(x)0求单调递增区间求单调递增区间;(2)转化为恒成立问题求转化为恒成立问题求a;(3)假设存在假设存在a,则则x=0为极小值点为极小值点,或利用恒成立问题或利用恒成立问题.返回目录返回目录(3):由题意知由题意知ex-a0在在(-,0上恒成立上恒成立.aex在在(-,0上恒成立上恒成立.ex在在(-,0上为增函数上为增函数.x=0时时,ex最大为最大为1.a1.同理可知同理可知ex-a0在在0,+)
6、上恒成立上恒成立.aex在在0,+)上恒成立上恒成立.a1,a=1.:由题意知由题意知,x=0为为f(x)的极小值点的极小值点.f(0)=0,即即e0-a=0,a=1.返回目录返回目录 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便的定义要方便,但应注意但应注意f(x)0(或或f(x)0)仅是仅是f(x)在某个区在某个区间上为增函数间上为增函数(或减函数或减函数)的充分条件的充分条件,在在(a,b)内可导的函数内可导的函数f(x)在在(a,b)上递增上递增(或递减或递减)的充要条件应是的充要条件应是f(x)0或或f(x)0,x(a,b)恒成立恒成立,且
7、且f(x)在在(a,b)的任意子区间内都的任意子区间内都不恒等于不恒等于0,这就是说这就是说,函数函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间间,因此因此,在已知函数在已知函数f(x)是增函数是增函数(或减函数或减函数)求参数的取值求参数的取值范围时范围时,应令应令f(x)0或或f(x)0恒成立恒成立,解出参数的取值范解出参数的取值范围围(一般可用不等式恒成立理论求解一般可用不等式恒
8、成立理论求解),然后检验参数的取值然后检验参数的取值能否使能否使f(x)恒等于恒等于0,若能恒等于若能恒等于0,则参数的这个值应舍去则参数的这个值应舍去,若若f(x)不恒为不恒为0,则由则由f(x)0或或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定恒成立解出的参数的取值范围确定.设函数设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中其中a-1,求求f(x)的单调区间的单调区间.由已知得函数由已知得函数f(x)的定义域为（，的定义域为（，）,且且f(x)=(a1).(1)当当-1a0时时,由由f(x)0时，由时，由f（x）=0,解得解得x=.a1f（x）,f(x)随随x的变化情况如下表：的变化情
9、况如下表：x x(-1,)ff（x x）-0+f f（x x）极小值极小值a1a1),1(a返回目录返回目录 从上表可知从上表可知 当当x(-1,)时，时，f(x)0,函数函数f(x)在在(,+)上单上单调递增调递增.综上所述综上所述:当当-1a0时时,函数函数f(x)在在(-1,+)上单调递减上单调递减.当当a0时时,函数函数f(x)在在(-1,)上单调递减上单调递减,f(x)在在(,+)上单调递增上单调递增.a1a1a1a1a1a1返回目录返回目录 已知函数已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，当且仅当，当且仅当x=-1，x=1时时 取得极值，且极大值比极小值大取得极值，且极大值比极小
10、值大4.(1)求求a,b的值的值;(2)求求f(x)的极大值和极小值的极大值和极小值.求出求出f(x)，依题意，依题意x=-1，x=1是是 f(x)=0的两根，得到的两根，得到a,b的方程，并判断出的方程，并判断出x=-1及及x=1时所时所取的极值是极大值还是极小值，从而建立取的极值是极大值还是极小值，从而建立y极大极大 y 极小极小=4的方程的方程.联立解出联立解出a,b的值和极大、极小值的值和极大、极小值.(1)f(x)=x5+ax3+bx+1的定义域为的定义域为R.f(x)=5x4+3ax2+b.x=1时有极值时有极值,5+3a+b=0.b=-3a-5.将代入将代入f(x)得得f(x)=
11、5x4+3ax2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1)=(x2-1)5(x2+1)+3a=(x+1)(x-1)5x2+(3a+5).f(x)仅在仅在x=1时有极值时有极值,5x2+(3a+5)0对任意对任意x成立成立.3a+50,a .返回目录返回目录 35返回目录返回目录 考查考查f(x),f(x)随随x的变化情况的变化情况:由此可知，当由此可知，当x=-1时取得极大值时取得极大值;当当x=1时取得极小值时取得极小值.f(-1)-f(1)=4.即即(-1)5+a(-1)3+b(-1)+1-(15+a13+b1+1)=4.整理得整理得a+b=-3.a=-1,b=-2.x x(-,-1)-
12、1(-1,1)1(1,+)+0-0+极大值极大值极小值极小值 )(x(xf f)f(xf(x由解得由解得此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值此题属于逆向思维，仍可根据求函数极值步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点步骤来求，但要注意极值点与导数之间的关系：极值点为为f(x)=0的根，利用这一关系，建立字母系数的方程，的根，利用这一关系，建立字母系数的方程，使问题转化为含字母系数的方程或方程组问题，通过解使问题转化为含字母系数的方程或方程组问题，通过解方程或方程组确定字母系数方程或方程组确定字母系数.返回目录返回目录（2）a=-1，b=-2，f(x)=x5-x3-2x+1.f(x)的极
13、大值的极大值f(x)极大极大=f(-1)=3;f(x)的极小值的极小值f(x)极小极小=f(1)=-1.返回目录返回目录 已知函数已知函数f(x)=+aln(x-1),其中其中nN*,a为常数为常数.(1)当当n=2时时,求函数求函数f(x)的极值的极值;(2)当当a=1时时,证明证明:对任意的正整数对任意的正整数n,当当x2时时,有有f(x)x-1.n nx x)-(1 1 1(1)由已知得函数由已知得函数f(x)的定义域为的定义域为x|x1,当当n=2时时,f(x)=+aln(x-1),所以所以f(x)=.当当a0时时,由由f(x)=0得得x1=1+1,x2=1-1,此时此时f(x)=.当
14、当x(1,x1)时时,f(x)0,f(x)单调递增单调递增.返回目录返回目录 2 2x)x)-(1(1 13 32 2x x)-(1 1x x)-a a(1 1-2 2a2a23 32 21 1x x)-(1 1)x x-)(x xx x-a a(x x-返回目录返回目录（2）证明）证明:证法一证法一:因为因为a=1,所以所以f(x)=+ln(x-1).当当n为偶数时为偶数时,令令g(x)=x-1-ln(x-1),则则g(x)=1+=0(x2).所以当所以当x2,+)时，时，g(x)单调递增，单调递增，当当a0时时,f(x)0时时,f(x)在在x=1+处取得极小值处取得极小值,极小值为极小值为
15、f(1+)=(1+ln ).当当a0时，时，f(x)无极值无极值.a2a22aa2 x x)-(1 1 1 1n n x)x)-(1(1 1 1n n1 1-x x1 1-1 1)-(x xn n1 1n n1 1-x x2 2-x x1 1n n1 1)-(x xn n又又g(2)=0,因此因此g(x)=x-1-ln(x-1)g(2)=0恒成立，所以恒成立，所以f(x)x-1成立成立.当当n为奇数时，要证为奇数时，要证f(x)x-1,由于由于 0，所以当，所以当x2时，恒有时，恒有h(x)0,即即ln(x-1)0).试问当试问当x取何值时，容积取何值时，容积V有最大值有最大值?返回目录返回目
16、录 V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x.t,0 x .函数函数V=V(x)=4x(a-x)2的定义域为的定义域为 .显然显然 0,得得0 xa，此时，此时V(x)为增函数；由为增函数；由V0，得，得 xa，此时，此时V（x）为减函数）为减函数.返回目录返回目录 2x2x-2a2ax x2 2t t1 12 2a at t 2 2t t1 12 2a at t,02 2t t1 12 2a at t3 3a a3 3a a返回目录返回目录 当当 ，即，即t 时，时，在在x=时，时，V有最大值有最大值 a3;当当 ,即即0t 时，时，在在x=时，时，V有最大值有最大值 .3 3a a2 2t
17、 t1 12 2a at t4 41 12 27 71 16 64 41 13 33 32 2t t)(1 1t t8 8a a2 2t t1 12 2a at t3 3a a3 3a a2 2t t1 12 2a at t返回目录返回目录 1.注意单调函数的充要条件注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性尤其对于已知单调性求参数值求参数值(范围范围)时时,隐含恒成立思想隐含恒成立思想.2.求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小含参数时，要讨论参数的大小.3.在实际问题中在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值如果函数在区
18、间内只有一个极值点点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较不必再与端点的函数值比较.4.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯惯,可使问题直观且有条理可使问题直观且有条理,减少失分的可能减少失分的可能.5.求函数最值时求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最不可想当然地认为极值点就是最值点值点,要通过认真比较才能下结论要通过认真比较才能下结论.6.要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识方程的根、不等式的证明等数学问题的意识.返回目录返回目录
