1、3念数系的扩充和复数的概1.1.3?,01x2使这个方程有解吗使这个方程有解吗你能设想一种方法你能设想一种方法程程系的扩充过系的扩充过数系到实数数系到实数联系从自然联系从自然在实数中无解在实数中无解方程方程思考思考.,:,.,02x,.,2乘乘法法对对加加法法满满足足分分配配律律律律律律和和结结合合加加法法和和乘乘法法都都满满足足交交换换算算协协调调一一致致运运算算、乘乘法法运运有有理理数数系系中中规规定定的的加加法法在在原原来来与与运运算算、乘乘法法运运算算在在实实数数系系中中规规定定的的加加法法后后数数系系扩扩充充了了实实数数系系人人们们把把有有理理数数系系扩扩充充到到题题量量等等问问以以
2、及及正正方方形形对对角角线线的的度度理理数数集集中中无无解解这这样样的的方方程程在在有有为为了了解解决决例例如如相相关关实实际际需需求求密密切切数数系系的的每每一一次次扩扩充充都都与与以以看看到到可可充充到到实实数数系系的的过过程程回回顾顾从从自自然然数数系系逐逐步步扩扩.,的问题一步扩充我们来研究把实数系进依照这种思想了中就有解在那么方程记作得到一个新数集中去添加到实数集把这个新数即使的根是方程使我们设想引入一个新数的问题无解这样的方程在实数系中为了解决ixA01x,A,i.1ii,01xi,i,01x22.2.,i,A对加法满足分配律以及乘法换律、结合律望加法和乘法都满足交并希行加法和乘法
3、运算仍然能象实数系那样进和实数之间希望新引进的数出发我们从数集.Rb,a|biaC,)Rb,a(bia,ia.A,)Rb,a(bia,.,bia,iba;bi,ib;ia,ia,是得到的新数集应该所以实数系经过扩充后形式这样的数的特殊也可以看作是数和再注意到实数中去把这些数都添加到数集应的形式运算的结果都可以写成从而这些立法的运算律仍然应该成于加法和乘由等等结果记作相乘的结果相加和实数与把实数结果记作相乘与把实数记作结果相加与新引入的数把实数依照以上设想.10,0,0,1iiiaabibiiaia可以看作看是可以可以看作是可以看作是).mbersnucomplexofset(C).unitim
4、aginary(i),numbercomplex(Rb,abia,Rb,a|biaC叫做叫做所成的集合所成的集合全体复数全体复数叫做叫做其中其中的数叫做的数叫做即形如即形如中的数中的数我们把集合我们把集合复数复数虚数单位虚数单位复数集复数集.dbcadicbia:,Rd,c,b,adic,biaRb,a|biaC且且相相等等的的充充要要条条件件是是与与我我们们规规定定中中任任取取两两个个数数在在复复数数集集?RC之之间间有有什什么么关关系系和和实实数数集集复复数数集集思思考考.),(一词的词头假想的想象的它取自最早引用的是瑞士数学家欧拉虚数单位imaginaryEuleri;,0b,bia它它
5、是是实实数数时时当当且且仅仅当当对对于于复复数数;0,0ba它它是是实实数数时时当当且且仅仅当当.,0b,0a叫叫做做纯纯虚虚数数时时且且当当;,0b叫叫做做虚虚数数时时当当,i 2.0,i213,i 321,i 23,都都是是虚虚数数例例如如,0,3,21,3它它们们的的实实部部分分别别是是虚虚部部分分别别是是,2.0,21,3,2.i 2.0是是纯纯虚虚数数并并且且其其中中只只有有 复数集复数集实数集实数集虚数集虚数集纯纯虚虚数数集集11.3图图.CR,CR,即即的的真真子子集集是是复复数数集集实实数数集集显显然然:biaz,分分类类如如下下可可以以复复数数这这样样,0b 实实数数z复复数
6、数.0a,0b时时为为纯纯虚虚数数当当虚虚数数.11.3,表表示示可可用用图图纯纯虚虚数数集集之之间间的的关关系系虚虚数数集集实实数数集集复复数数集集?3?2?1i1m1mz,m1纯纯虚虚数数虚虚数数实实数数是是复复数数取取什什么么值值时时实实数数例例.mbiaz.1m,1m,Rm的的取取值值虚虚数数的的条条件件可可以以确确定定是是实实数数、虚虚数数和和纯纯由由复复数数都都是是实实数数所所以以因因为为分分析析;z,1m,01m1是实数复数时即当解;z,1m,01m2是虚数复数时即当.z,1m,01m,01m3是纯虚数复数时即且当.i 32i1.,不能比较大小不能比较大小与与例如例如而不能比较大
7、小而不能比较大小相等或不相等相等或不相等两个复数只能说两个复数只能说一般地说一般地说最后还要指出的是最后还要指出的是3.1.2复数的几何意义思考思考 我们知道，实数与数轴上的点一一我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表对应，因此，实数可用数轴上的点来表示示.类比实数的几何意义，复数的几何意类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？义是什么呢？复数复数 zabi 可以由有序数对（可以由有序数对（a,b）唯一确定）唯一确定.而有序数对而有序数对（a,b）与平面直角坐标系中的点一）与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点一对应，所以复数集与平面直角
8、坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系集之间可以建立一一对应的关系yOxZ：abiab如图，点如图，点Z的横坐标是的横坐标是a,纵坐标是纵坐标是b，复数复数 zabi 可可用点用点Z(a,b)来表示来表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫平面叫复平面复平面，x轴叫做轴叫做实轴实轴，y轴叫做轴叫做虚轴虚轴实轴上的点都表示实数；实轴上的点都表示实数；除了原点外除了原点外，虚轴上的，虚轴上的点都表示纯虚数点都表示纯虚数yOxZ：abiab例如例如复平面内点的原点复平面内点的原点(0，0)表示实数表示实数0，实轴上的点实轴上的点(2，0)表示实数表示实数2，虚轴
9、上的点虚轴上的点(0，1)表示纯虚数表示纯虚数i，点点(2，3)表示复数表示复数 23iyOxZ：abiab 每一个复数，有复平面内唯一的一个每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应点，有唯一的复数和它对应 复数集复数集C和复平面内所有的点所组成和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的，即的集合是一一对应的，即 复数集复数集C和复平面内所有的点所组成和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的，即的集合是一一对应的，即 每一个复数，有复平面内唯一的一个每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平
10、面内的每一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的复数和它对应点，有唯一的复数和它对应复数复数zabi复平面内的复平面内的点点Z(a,b)一一对应一一对应 设复平面内的点设复平面内的点Z表示复数表示复数zabi，连结连结OZ，显然向量，显然向量 由点由点Z唯一确定；唯一确定；反过来，点反过来，点Z(相对于原点来说相对于原点来说)也可以由也可以由向量向量 唯一确定唯一确定.因此，复数集因此，复数集C与复平与复平面内的向量所成的集合面内的向量所成的集合也是一一对应的也是一一对应的(实数实数0与零向量对应与零向量对应)，即，即yOxZ：abiabOZOZ复数复数zabi平面向量平面向量一一对应一一对应yOxZ：abiabOZl复数的模复数的模 向量向量 的模的模r叫做复数叫做复数zabi的模，记作的模，记作|z|或或|abi|.如果如果b0，那么，那么zabi是一个实数是一个实数a，它的模等于，它的模等于|a|(就是就是a的绝对值的绝对值).由模的定义可知：由模的定义可知：|z|abir(r0，rR).OZ22ba
