1、1 归纳推理：归纳推理：归纳推理是归纳推理是由部分到整体，由个别到一般由部分到整体，由个别到一般的推的推理，或者说是理，或者说是由个别事实概括出一般结论由个别事实概括出一般结论的推理过的推理过程。程。归纳推理的步骤：归纳推理的步骤：(1)通过观察个别情况发现某些共同性质；通过观察个别情况发现某些共同性质；(2)从已知的相同性质中退出一个明确表达的从已知的相同性质中退出一个明确表达的一般性命题一般性命题(猜想猜想)。归纳推理的结论不一定正确。归纳推理的结论不一定正确。复习回顾复习回顾新课引入新课引入 春秋时代鲁国的公输班春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师木
2、匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，但这桩倒霉事却使他发明了锯子。割破了手，但这桩倒霉事却使他发明了锯子。传说：传说：他的思路是这样的：他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草是齿形的；茅草能割破手。茅草能割破手。我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的。它也可以是齿形的。这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？试根据等式的性质猜想不等式的性质。试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1)a=ba+c=b+c；(2)a=b ac=bc；(3)a=ba2=b2；等等。；等等。猜想不等式的
3、性质：猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c；(2)ab acbc；(3)aba2b2；等等。；等等。思考：这样猜想出的结论是否一定正确？思考：这样猜想出的结论是否一定正确？由两类对象具有某些类似的特征，和其中一类对象由两类对象具有某些类似的特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些类似特的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些类似特征的推理称为征的推理称为类比推理类比推理(简称简称类比类比)。简言之，。简言之，类比推类比推理是由特殊到特殊的推理理是由特殊到特殊的推理。类比推理是类比推理是两类事物特征之间的推理两类事物特征之间的推理。类比推理的定义：类比推理的定义：在学习立
4、体几何时，我们可以通过与平面几何在学习立体几何时，我们可以通过与平面几何的相关内容的的相关内容的类比类比，得到一些立体几何的概念和性，得到一些立体几何的概念和性质。比如：质。比如：圆圆的定义：的定义：平面平面内内到到一个一个定点的距离定点的距离等于等于定长定长的的点的集合。点的集合。球球的定义：的定义：空间空间内内到到一个一个定点的距离定点的距离等于等于定长定长的的点的集合。点的集合。圆圆弦弦直径周直径周长长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积 四面体由四个面构成，四面体是所有立体图形中四面体由四个面构成，四面体是所有立体图形中面数最少的几何体，类比，在平面图形中，哪个图形面数
5、最少的几何体，类比，在平面图形中，哪个图形的构成元素最少呢？的构成元素最少呢？可从构成几何体的元素数目考虑：可从构成几何体的元素数目考虑：四面体四面体三角形三角形 例例1 已知已知“正三角形内一点到三边的距离之和是正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应正三角形？在对应图形中有与上述的图形可以对应正三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论么？定理相应的结论么？解析解析:将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的角形的边边对应四面体的对应四面体的面面。
6、得到猜测：。得到猜测：正四面体内一正四面体内一点到四面距离之和是一定值点到四面距离之和是一定值。思考：用面积法证明已知结论，并类比用体积法思考：用面积法证明已知结论，并类比用体积法证明猜测结论证明猜测结论(先画图先画图)。四面体四面体三角形三角形 例例2 根据平面几何的勾股定理，试类比猜测出空根据平面几何的勾股定理，试类比猜测出空间中相应的结论。间中相应的结论。分析：分析：平面中的平面中的直角三角形直角三角形对应空间中的对应空间中的直四面体直四面体。在。在四面体四面体PDEF中，面中，面PDE、面、面DEF和面和面PDF两两垂两两垂直。直。平面平面中的中的边长关系边长关系对应对应空间空间的什么
7、关系？的什么关系？三角形中的三角形中的边边对应四面体中的对应四面体中的面面，边长关系边长关系对应对应面积关系面积关系。所以得到结论：。所以得到结论：ABC面积的平方等于三个直角三角形面积的平面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和方和。即：。即：2222DEFDFDEPEFSSSSPP解：解：类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤：找出两类对象找出两类对象之间可以确切表述的之间可以确切表述的相似特征相似特征；用一类对象的已知特征去用一类对象的已知特征去推测推测另一类对象的特另一类对象的特征，从而得出一个征，从而得出一个猜想猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论总结总
8、结即：即：在平面几何中，同时垂直于一条直线的两条直线在平面几何中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行。类比到空间的结论：空间中，同时垂直于互相平行。类比到空间的结论：空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行。一条直线的两条直线互相平行。我们知道：我们知道：在空间中，垂直于一条直线的两条直线的位置关在空间中，垂直于一条直线的两条直线的位置关系不止一种，它们系不止一种，它们可能可能相互相互平行平行，也可能，也可能相交或垂直相交或垂直。由此可见，类比推理的结论也不一定可靠。由此可见，类比推理的结论也不一定可靠。类比推理的结论是否一定是正确的？类比推理的结论是否一定是正确的？在平面上，设在平面上
9、，设 是三角形是三角形ABC三条边上的三条边上的高。高。P为三角形内任一点，为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为到相应三边的距离分别为 ，我们可以得到结论：，我们可以得到结论：试通过类比，写出在空间中的类似结论。试通过类比，写出在空间中的类似结论。cbahhh,cbaPPP,1ccbbaahphphp动手做一做动手做一做合情推理合情推理通俗地说，合情推理就是通俗地说，合情推理就是“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。尽管合情推理的结果不一定正确，但是，它仍有尽管合情推理的结果不一定正确，但是，它仍有非常重要的价值。数学研究中，合情推理能帮我们猜非常重要的价值。数学研究中，合情推理能帮我们猜
10、测和发现结论；证明数学结论时，合情推理能为我们测和发现结论；证明数学结论时，合情推理能为我们提供证明的思路和方向。提供证明的思路和方向。归纳推理归纳推理类比推理类比推理 由两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象由两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些类似特的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些类似特征的推理称为征的推理称为类比推理类比推理(简称简称类比类比)。类比推理是。类比推理是由由特殊到特殊特殊到特殊的推理。的推理。小结小结 类比推理的定义：类比推理的定义：类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤：观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论 合情推理：合情推理：归纳推理归纳推理和和类比推理类比推理统称合情推理。统称合情推理。
