1、2引言引言 为了描写运动变化着的现象，我们引入了函数，为了描写运动变化着的现象，我们引入了函数，刻画静态的数与动态的函数都是数学中很重要的概刻画静态的数与动态的函数都是数学中很重要的概念，随着对函数的研究的不断深化，产生了微积分，念，随着对函数的研究的不断深化，产生了微积分，它是数学发展史上继欧式几何后的又一个具有划时它是数学发展史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑。代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑。而导数，是微积分的核心概念之一，它是研究而导数，是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大函数增减、变化快慢、最大(小小)值等问题的最一值
2、等问题的最一般、最有效的工具。般、最有效的工具。本章我们将讨论导数的产生及其运算。本章我们将讨论导数的产生及其运算。问题：问题：物体从某一时刻开始运动，设物体从某一时刻开始运动，设 表示此物体经过表示此物体经过时间时间 走过的路程，显然走过的路程，显然 是时间是时间 的函数，表示为的函数，表示为 。在运动过程中，测得如下数据：。在运动过程中，测得如下数据：sstt)(tss 物体在物体在02s和和1013s这两段时间内，哪一段时这两段时间内，哪一段时间运动得快？间运动得快？分析：分析：比较运动的快慢，一般用平均速度来刻画。比较运动的快慢，一般用平均速度来刻画。在在02s内，平均速度为：内，平均
3、速度为：)/(30206sm在在1013s内，平均速度为：内，平均速度为：)/(10132032sm4 显然，在这两段时间内，后一段时间比前一段显然，在这两段时间内，后一段时间比前一段时间运动得快些。时间运动得快些。从时间从时间 到到 时，物体的路程从时，物体的路程从 变为变为 ，这段时间内的平均速度为：这段时间内的平均速度为：0t1t)(1ts)(0ts0121)()(tttstsv用一段时间内物体的平均速度用一段时间内物体的平均速度 来刻画物体运动的快慢来刻画物体运动的快慢tsv记为记为函数值变化量，记作函数值变化量，记作s自变量变化量，记作自变量变化量，记作t某病人吃完药，他的体温变化如
4、图示：某病人吃完药，他的体温变化如图示：Cy/min/x 比较时间比较时间 从从0到到20min和从和从20到到30min体温的体温的变化情况，那段时间体温变化较快？如何刻画体温变化情况，那段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？变化的快慢？x分析：分析：时间从时间从0变到变到20min时，单位时间的体温平均变化时，单位时间的体温平均变化率为：率为：从从20变到变到30min时，平均变化率为：时，平均变化率为：min)/(025.0020395.38Cmin)/(05.000.338C2358 显然，绝对值大，下降的越快，即后一段时间降显然，绝对值大，下降的越快，即后一段时间降得快。得快。
5、用一段时间内体温的平均变化率用一段时间内体温的平均变化率刻画体温变化的快慢刻画体温变化的快慢 时间从时间从 变为变为 时，体温从时，体温从 变为变为 ，0 x1x)(1xy)(0 xy体温的平均变化率体温的平均变化率0101)()(xxxyxyxy函数值变化函数值变化量量y自变量变化自变量变化量量x概括概括1212)()(xxxfxfxy自变量的改变量函数值的变化量 函数函数 ，自变量从，自变量从 变为变为 时，函数的时，函数的平均变化率为：平均变化率为：1x2x)(xf 我们用它来刻画函数在区间我们用它来刻画函数在区间 上，函数上，函数值变化的快慢。值变化的快慢。,21xx实际中，我们还要考
6、虑物体的瞬间速度，如汽车实际中，我们还要考虑物体的瞬间速度，如汽车在某时刻的速度，它与平均速度有关系么？在某时刻的速度，它与平均速度有关系么？例例1 一小球从高空自由落下，其路程一小球从高空自由落下，其路程s与时间与时间t的的函数关系为函数关系为 试估计小球在试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。这个时刻的瞬时速度。)/8.9(,2122smggts分析：分析：由公式可知：从由公式可知：从5s到到6s球的平均速度为：球的平均速度为：)/(6.5315.1224.176smtsv954.49.50.4949.0490.04949.00490.004949.00049 为提高精确度，可以将时间间
7、隔缩小至为提高精确度，可以将时间间隔缩小至0.1，0.01，0.001当时间当时间 时，平均速度时，平均速度stt50 趋近于1smv/49 趋近于所以小球在所以小球在 的瞬时速度为的瞬时速度为 。st50sm/49即：若球保持这一刻的速度运动，每秒将运动即：若球保持这一刻的速度运动，每秒将运动 。m49 例例2 一根质量分布不均匀的合金棒，长为一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m，x表示表示OX这段棒的长，这段棒的长，y表示表示OX这段棒的质量，它这段棒的质量，它们满足关系：们满足关系：xxfy2)(估计合金棒在估计合金棒在x=2m处的线密度。处的线密度。分析：分析：长度质量平均线密度 我
8、们用我们用 到到 的平均线密度来估计的平均线密度来估计 处合金棒的线密度。处合金棒的线密度。20 x31x2x)/(636.01828.2464.323)2()3(mkgffxy 同样地，为了提高精确度，可取原长度的同样地，为了提高精确度，可取原长度的 ，101100110001 所取长度越小，则平均线密度就越接近合金棒所取长度越小，则平均线密度就越接近合金棒在在 m处的线密度。处的线密度。2x解：解：时趋近于mxx201 mkg/.710 趋近于平均线密度()则合金棒在则合金棒在 m处的线密度为处的线密度为 。mkg/.7102x()概括概括思考：思考：瞬时变化率与平均变化率有什么关系？瞬时
9、变化率与平均变化率有什么关系？瞬时变化率平均变化率逼近 对于函数对于函数 ，在自变量，在自变量 从从 变到变到 时，时，函数的平均变化率为：函数的平均变化率为：x0 x1x)xfy(xxfxxfxxxfxfxy)()()()(0001010 趋近于x时，平均变化率就趋于函数在时，平均变化率就趋于函数在 处处0 x的瞬时变化率，它刻画的是函数在一点处变化的快的瞬时变化率，它刻画的是函数在一点处变化的快慢。慢。动手做一做动手做一做1.求求 在在 到到 之间的平均变化率。之间的平均变化率。322xxy4922.求求 在在 到到 之间的平均变化之间的平均变化率。率。)0(1xxy0 xxx0st3.一
10、物体作直线运动，其位移一物体作直线运动，其位移 与时间与时间 的函数关的函数关系是系是 ，求此物体求此物体 到到 时的平均速度和时的平均速度和 时刻的瞬时速度。时刻的瞬时速度。23tts0t2t2t1212)()(xxxfxfxy自变量的改变量函数值的变化量 函数函数 的平均变化率：的平均变化率：)(xf刻画在区间刻画在区间 上，函数值变化的快慢。上，函数值变化的快慢。,21xx0 趋近于x时，平均变化率就趋于函数在时，平均变化率就趋于函数在 处处0 x的瞬时变化率，它刻画的是函数在一点处变化的快的瞬时变化率，它刻画的是函数在一点处变化的快慢。慢。函数函数 在在 处的瞬时变化率：处的瞬时变化率：)(xf0 x
