1、返回目录返回目录 1.椭圆的定义 平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大的距离的和等于常数（大于于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆）的点的轨迹叫做椭圆.这这 叫做椭叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的 .两个定点两个定点 焦距焦距 返回目录返回目录 2.2.椭圆的标准方程和几何性质椭圆的标准方程和几何性质 标准方程标准方程图形图形性性质质范围范围 x x yy x x yy对称性对称性对称轴：对称轴：对称中心：对称中心：0)0)b b1(a1(ab by ya ax x2 22 22 22 2=+0)0)b b1(a1(ab bx x
2、a ay y2 22 22 22 2=+-a a -b b-b b-a a x轴轴,y轴轴 原点原点 性性质质顶点顶点A A1 1 ,A,A2 2 B B1 1 ,B,B2 2A A1 1 ,A,A2 2B B1 1 ,B,B2 2轴轴长轴长轴A A1 1A A2 2的长为的长为 短轴短轴B B1 1B B2 2的长为的长为焦距焦距|F F1 1F F2 2|=2c(c=)|=2c(c=)离心率离心率e=,e=,其中其中c=c=c c返回目录返回目录(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0)2a 2b 2 22 2b b-a a(0,1)2 22
3、2b b-a a返回目录返回目录 例例1 一动圆与已知圆一动圆与已知圆O1：（：（x+3）2+y2=1外切，与圆外切，与圆O2：（x-3）2+y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程内切，试求动圆圆心的轨迹方程.两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件.返回目录返回目录 两定圆的圆心和半径分别为两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），），r1=1；O2（3，0），），r2=9.设动圆圆心为设动圆圆心为M（x，y），半径为），半径为R，则由题设条件可得则由题设条件可得|MO1|=1+R，|
4、MO2|=9-R.|MO1|+|MO2|=10.由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，M在以在以O1，O2为焦点的椭圆上，为焦点的椭圆上，且且a=5，c=3.b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆心的轨迹方程为故动圆圆心的轨迹方程为 .1 11616y y2525x x2 22 2=+返回目录返回目录 平面内一动点与两个定点平面内一动点与两个定点F1，F2的距离之的距离之和等于常数和等于常数2a，当，当2a|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；时，动点的轨迹是椭圆；当当2a=|F1F2|时，动点的轨迹是线段时，动点的轨迹是线段F1F2；当；当2a|F1F2|时，轨迹不存在时，轨迹不存在.已知已知AB
5、C中，中，A（-1，0），），C（1，0），且边），且边a，b，c成等差数列，求顶点成等差数列，求顶点B的轨迹方程的轨迹方程.返回目录返回目录 设设B（x，y），），a+c=2b，|BC|+|BA|=4.又又A，C为定点，为定点，由椭圆定义知，动点由椭圆定义知，动点B的轨迹是的轨迹是以以A，C为焦点的椭圆，设其方程为为焦点的椭圆，设其方程为 ，c=1，a=2，b2=3，椭圆方程为椭圆方程为 .又又A，B，C不共线，不共线，y0,即即x2.所求所求B点的轨迹方程为点的轨迹方程为 (x2).返回目录返回目录 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2=+1 13 3y y4 4x x2
6、 22 2=+1 13 3y y4 4x x2 22 2=+返回目录返回目录 利用待定系数法求椭圆方程利用待定系数法求椭圆方程.例例2 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的轴的3倍，并且过点倍，并且过点p(3,0),求椭圆的方程求椭圆的方程.（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点经过两点P1（，1）P2（-,-）,求椭圆的方程求椭圆的方程.6 63 32 2（1）若焦点在）若焦点在x轴上，设方程为轴上，设方程为 （ab0）.椭圆过椭圆过P（3，0），），.又又2a=32b,a=3,b=
7、1,方程为方程为 .若焦点在若焦点在y轴上，设方程为轴上，设方程为 （ab0）.椭圆过点椭圆过点P（3，0），），又又2a=32b,a=9,b=3.方程为方程为 .所求椭圆的方程为所求椭圆的方程为 或或 .返回目录返回目录 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2=+1 1b b0 0a a3 32 22 22 22 2=+1 1y y9 9x x2 22 2=+1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2=+1.1.b b3 3a a0 02 22 22 22 2=+1 19 9x x8181y y2 22 2=+1 1y y9 9x x2 22 2=+1 19 9x
8、 x8181y y2 22 2=+返回目录返回目录（2）设椭圆方程为）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m0,n0且且mn）.椭圆经过椭圆经过P1，P2点，点，P1，P2点坐标适合椭圆方程，点坐标适合椭圆方程，6m+n=1，3m+2n=1，m=,n=.所求椭圆方程为所求椭圆方程为则则两式联立，解得两式联立，解得9 91 13 31 11 1.3 3y y9 9x x2 22 2=+返回目录返回目录 运用待定系数法求椭圆标准方程运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法即设法建立关于建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，
9、椭圆方确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为程可设为mx2+ny2=1（m0,n0,mn），由题目所），由题目所给条件求出给条件求出m，n即可即可.返回目录返回目录 根据下列条件分别求椭圆的标准方程：根据下列条件分别求椭圆的标准方程：（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 ，长轴长为长轴长为8；（2）椭圆经过点）椭圆经过点M（-2，）和）和N（1，2 ）.2 21 13 33 3 2a=8 a=4 c=2,焦点可在焦点可在x轴上轴上,也可在也可在y轴上轴上,所求椭圆方程为所求椭圆方程为 或或 .返回目录返回目录(1)由已知得由已知得2
10、21 1a ac c=b2=16-4=12.1 11 12 2y y1 16 6x x2 22 2=+1 11 12 2x x1 16 6y y2 22 2=+(2)由已知可设椭圆方程为由已知可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn).又又M(-2,)和和M(1,2 )在椭圆上在椭圆上,4m+3n=1 m+12n=1 由解之得由解之得m=，n=.所求椭圆方程为所求椭圆方程为 .3 33 35 51 115151 11 11 15 5y y5 5x x2 22 2=+返回目录返回目录 返回目录返回目录 例例3 自椭圆自椭圆 (ab0)上一点上一点M向向x轴作垂线，恰轴作垂线，恰好通过椭
11、圆的左焦点好通过椭圆的左焦点F1，且其长轴右端点，且其长轴右端点A及短轴上端点及短轴上端点B的连线的连线AB与与OM平行平行.（1）求此椭圆的离心率；）求此椭圆的离心率；（2）P为椭圆上一点，为椭圆上一点，F2为右焦点，当为右焦点，当|PF1|PF2|取最大取最大 值值时，求点时，求点P的坐标的坐标.本题涉及等量关系转为不等关系，在与所求本题涉及等量关系转为不等关系，在与所求量有关的参量上作文章是实现转化的关键，还有离心率的量有关的参量上作文章是实现转化的关键，还有离心率的求解问题，关键是根据题设条件获得关于求解问题，关键是根据题设条件获得关于a,b,c的关系式，的关系式，最后化归为最后化归为
12、a,c（或（或e）的关系式，利用方程求解）的关系式，利用方程求解.1 1b by ya ax x2 22 22 22 2=+返回目录返回目录（1）如图所示，由已知得）如图所示，由已知得M（-c,）.A(a,0),B(0,b),kAB=.由由kOM=kAB得得b=c.b2=c2.a2-c2=c2,即即a2=2c2,e=.a ab b2 2a ab b-2 22 2（2）：|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|PF2|.当且仅当当且仅当|PF1|=|PF2|时，上式取等号时，上式取等号.即即|PF1|PF2|的最大值为的最大值为a2,此时点此时点P的坐标为的坐标为(0,-b)或或(0,b).：由
13、焦半径公式得：由焦半径公式得：|PF1|PF2|=（a+ex0）(a-ex0)=a2-e2 .(x0为为P的横坐标的横坐标)-ax0a,当当x0=0时，时，|PF1|PF2|取最大值取最大值a2,此时点此时点P的坐标为的坐标为(0,-b)或或(0,b).返回目录返回目录 2 22 22 21 1a a)2 2|PFPF|PFPF|(=+2 20 0 x x返回目录返回目录（1）求椭圆离心率的题目大致分为两类：）求椭圆离心率的题目大致分为两类：一类利用椭圆定义及性质直接得出离心率一类利用椭圆定义及性质直接得出离心率e的式子（或的式子（或与椭圆的统一定义有关）与椭圆的统一定义有关）；另一类利用条件
14、；另一类利用条件（题设条（题设条件）获得关于件）获得关于a,b,c的关系式，最后化归为关于的关系式，最后化归为关于a,c（或（或e）的关系式（关于）的关系式（关于a,c的齐次方程），再依的齐次方程），再依e=化成化成关于关于e的方程，利用方程思想求离心率的方程，利用方程思想求离心率.（2）求有关最值或范围问题，一般利用椭圆的定）求有关最值或范围问题，一般利用椭圆的定义中义中|PF1|+|PF2|=2a为定值，运用均值不等式或利用焦为定值，运用均值不等式或利用焦半径公式或利用椭圆的范围半径公式或利用椭圆的范围（有界性）（有界性）性质转化为不性质转化为不等式函数问题，等式函数问题，是解析几何中解决
15、最值或范围问是解析几何中解决最值或范围问 题的题的常见方法常见方法.a ac c返回目录返回目录 已知已知F1，F2是椭圆的两个焦点，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1PF2=60.(1)求椭圆离心率的范围；求椭圆离心率的范围；(2)求证：求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关的面积只与椭圆的短轴长有关.设椭圆方程为设椭圆方程为 （ab0）,|PF1|=m,|PF2|=n.在在PF1F2中中,由余弦定理可知由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60.m+n=2a,m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,4c2=4a2-3mn.即即3mn=4a2-4c2
16、.又又mn =a2(当且仅当当且仅当m=n时取等号时取等号),4a2-4c23a2,即即e .e的取值范围是的取值范围是 ,1）.返回目录返回目录 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2=+2 2)2 2n nm m(+4 41 1a ac c2 22 22 21 12 21 1返回目录返回目录(2)证明证明:由由(1)知知mn=b2,=mnsin60=b2,即即PF1F2的面积只与短轴长有关的面积只与短轴长有关.3 34 4 S S2 21 1F FP PF F2 21 13 33 3返回目录返回目录 例例4 如图所示，直线如图所示，直线y=kx+b与椭圆与椭圆 +y2=1交
17、于交于A，B两点，记两点，记AOB的面积为的面积为S.（1）求在）求在k=0，0b1 的条件下，的条件下，S的最大值的最大值.（2）当）当AB=2，S=1 时，求直线时，求直线AB的方程的方程.由条件写出由条件写出S关于关于b的函数关系式，利用基的函数关系式，利用基 本不等式求本不等式求S的最值的最值.2x4返回目录返回目录（1）设点）设点A的坐标为（的坐标为（x1，b），点），点B的的坐标为（坐标为（x2，b），），由由 +b2=1，解得，解得x1，2=2 ,所以所以S=b|x1-x2|=2b =2 b2+(1-b2)=1,当且仅当当且仅当b=时，时，S取得最大值取得最大值1.2x421-b
18、1221-b22b(1-b)22 y=kx+b，+y2=1，（k2+）x2+2kbx+b2-1=0，则则=4k2-b2+1，|AB|=|x1-x2|=2.设设O到到AB的距离为的距离为d，则，则d=1，又因为又因为d=，所以，所以b2=k2+1，代入式并整理，得代入式并整理，得k4-k2+=0，返回目录返回目录（2）由）由得得2x41421+k21+k2224k-b+1 1+k42S|A B|2|b|1+k14解得解得k2=，b2=，代入式检验，代入式检验，0,故直线故直线AB的方程是的方程是y=x+,或或y=x-,或或y=-x+,或或y=-x-.返回目录返回目录 12322262226222
19、622262圆锥曲线中的最值问题是高考中的重要圆锥曲线中的最值问题是高考中的重要题型题型,其解法主要有定义法、图象法、基本不等式法、其解法主要有定义法、图象法、基本不等式法、切线法等，本例是用基本不等式法解决的切线法等，本例是用基本不等式法解决的.返回目录返回目录 已知已知F1，F2是椭圆是椭圆 （ab0）的左、右焦）的左、右焦点，点，P是椭圆上一点，且是椭圆上一点，且F1PF2=90,求椭圆离心率求椭圆离心率的最小值的最小值.：如图所示，：如图所示，F1PF2=90,F1BF290,OBF245.e=sinOBF2sin45=,椭圆离心率的最小值为椭圆离心率的最小值为 .2222xy+=1ab返回目录返回目录 22OFc=aBF2222返回目录返回目录：利用余弦定理：利用余弦定理.F1BF290,cosF1BF2=0,即即a22c2,e=，则椭圆离心率的最小值为则椭圆离心率的最小值为 .：利用基本不等式：利用基本不等式.设设|PF1|=m，|PF2|=n，m2+n2=4c2.又又2a=m+n，4a2=m2+n2+2mn2(m2+n2)=8c2,即即a22c2,e=.则椭圆离心率的最小值为则椭圆离心率的最小值为 .2222a+a-4c2aca2222ca2222返回目录返回目录 22ba2222xy+=1ab返回目录返回目录
