1、现代控制理论基础13 3 线性控制系统的能控性和能观测性线性控制系统的能控性和能观测性3.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念3.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性3.3 3.3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性3.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性3.5 3.5 连续时间线性时变系统的能控性与能观测性连续时间线性时变系统的能控性与能观测性3.6 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系3.7 3.7 能控标准形和能观测标准
2、形能控标准形和能观测标准形3.8 3.8 传递函数中零极点对消与状态能控和能观测传递函数中零极点对消与状态能控和能观测 之间的关系之间的关系3.9 3.9 线性系统结构按能控性、能观测性的分解线性系统结构按能控性、能观测性的分解(Controllability and observability of linear control systems)现代控制理论基础23.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念能控性能控性 已知系统的当前时刻及其状态，研究是否存在一个容许控制，使得系统在该控制的作用下在有限时间后到达希望的特定状态。能观测性能观测性 已知系统及其在某时间段上的输出
3、，研究可否依据这一时间段上的输出确定系统这一时间段上的状态。能控性和能观测性是现代控制理论中两个基础性概念，由卡尔曼（R.E.Kalman）于1960年首次提出。u(t)能否引起x(t)的变化？y(t)能否反映x(t)的变化？现代控制理论基础33.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念Controllability and Observability.A system is said to be controllable at time t0 if it is possible by means of an unconstrained control vector to tr
4、ansfer the system from any initial state x(t0)to any other state in a finite interval of time.A system is said to be observable at time t0 if,with the system in state x(t0),it is possible to determine this state from the observation of the output over a finite time interval.The concepts of controlla
5、bility and observability were introduced by Kalman.They play an important role in the design of control systems in state space.In fact,the conditions of controllability and observability may govern the existence of a complete solution to the control system design problem.现代控制理论基础43.1 3.1 能控性和能观测性的概念
6、能控性和能观测性的概念The solution to this problem may not exist if the system considered is not controllable.Although most physical systems are controllable and observable,corresponding mathematical models may not possess the property of controllability and observability.Then it is necessary to know the condi
7、tions under which a system is controllable and observable.This section deals with controllability and the next section discusses observability.In what follows,we shall first derive the condition for complete state controllability.Then we derive alternative forms of the condition for complete state c
8、ontrollability followed by discussions of complete output controllability.Finally,we present the concept of stabilizability.现代控制理论基础53.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念一个RC网络。图中RC网络的输入端是电流源i，输出端开路。取电容C1和C2上的电压v1和v2为该系统的两个状态变量。v1是能控的v2是不能控的v2是能观测的v1是不能观测的现代控制理论基础63.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念 在最优控制问题中，其任
9、务是寻求输入u(t)使状态轨迹达到最优，则要求状态能控。但状态x(t)的值通常是难以直接测量的，往往需要从测得的输出y(t)中估计出来。现代控制理论基础73.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概念112212100022 10 xxuxxxyx 1122122xxxxuyx例例 分析如下系统的能控性和能观测性 解解 将其表示为标量方程组的形式表明系统的状态是不能控和不能观测的。表明系统的状态是不能控和不能观测的。输入u不能控制状态变量x1，故x1是不能控的输出y不能反映状态变量x2，故x2是不能观测的现代控制理论基础83.1 3.1 能控性和能观测性的概念能控性和能观测性的概
10、念112212201021 1 1xxuxxxyx 11221222xxuxxuyxx例例 分析如下系统的能控性和能观测性 解解 将其表示为标量方程组的形式实际上，系统的状态既不是完全能控的，也不是完全能观测的。所有状态变量都是能控和能观测的？现代控制理论基础93.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性 xAx+Bu如果存在一个无约束的控制向量u(t)，能在有限时间区间t0,tf 内使得系统的某一初始状态 x(t0)转移到指定的任一终端状态 x(tf)，则称初始状态x(t0)是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或 简称是能控的。状态平
11、面中点P能在u(t)作用下被驱动到任一指定状态P1,P2,Pn，则点P是能控的状态。假如“能控状态”充满整个状态空间，则该系统是状态完全能控的。由此可看出，系统中某一状态能控和系统状态完全能控 在 含 义 上 是 不 同 的。3.2.13.2.1状态能控性定义状态能控性定义 定义定义 对于连续时间线性定常系统 ，现代控制理论基础103.2 3.2 Controllability and observability of linear control systemsControllability A system is said to be controllable at time t0 if
12、it is possible by means of an unconstrained control vector to transfer the system from any initial state x(t0)to any other state in a finite interval of time.Consider the continuous-time system.(1)xAx+BuThe system described by equation(1)is said to be state controllable at t=t0 if it is possible to
13、construct an unconstrained control signal that will transfer an initial state to any final state in a finite time interval .If every state is controllable,then the system is said to be completely state controllable.0fttt 现代控制理论基础113.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性能控性和能达性问题能控性和能达性问题 (1)能控性定义：对于给定连
14、续时间线性定常系统 xAx+Bu若存在一个无约束的控制向量u(t)，在有限时间区间t0,tf内，将系统从任一初始状态x(t0)转移到原点，即x(tf)0，则称系统是状态完全能控的。(2)能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统 xAx+Bu若存在一个无约束的控制向量u(t)，能在有限时间区间t0,tf内，将状态 x(t)从原点转移到任一指定的终端（目标）状态x(tf)，则称系统是能达的。对线性定常系统，能控性和能达性是完全等价的。对线性定常系统，能控性和能达性是完全等价的。分析状态能控性问题时 (A,B)xAx+Bu简记为现代控制理论基础123.2.2 3.2.2 状态能控性的判别准则状态能控
15、性的判别准则 21ncQBABA BAB定理定理3.1 对于n 阶连续时间线性定常系统(A,B)，其状态完全能控的充要条件是能控性判别矩阵(controllability matrix)rankcnQ满秩，即证明证明(1)能控性判别准则一能控性判别准则一dueetttt0)()()0()(BxxAA因为()0()(0)()0ffftttfteeudAAxxB根据能控性定义，在终端时刻tf，有x(tf)=0所以0101-10(0)()()()()()ffttnneudud AxBIAAB3.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性现代控制理论基础13101-10(0)
16、()()()()ftnnud xIAAB00110-10()()()()()()fffttntnududBABABud 011-1nnBABAB对于任意给定的x(0)，能够唯一解出i（或u）的条件是：21ncQBABA BABrankcnQ满秩，即3.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性现代控制理论基础143.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性211010u xx例例 试判别连续时间线性 定常系统的能控性。1200cQBAB解解 系统的能控性判别矩阵为rank12c Q这是一个奇异阵，即 所以该系统不是状态完全能控的，即系统状态
17、不能控。0110cQBAB解解 系统的能控性判别矩阵为所以该系统是状态完全能控的。010101u xx例例 试判别连续时间线性 定常系统的能控性。rank2cnQ因为 ，所以 0100110现代控制理论基础153.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性1 21 2cQBAB解解 该系统的能控性判别矩阵为因为rankQc=1 n，所以该系统不是状态完全能控的。该系统是由两个结构上完全相同，且又不是相互独立的一阶系统组成的。显然，只有在其初始状态x1(t0)和x2(t0)相同的条件下，才存在某一u(t)，将x1(t0)和x2(t0)在有限时间内转移到状态空间原点，否则
18、是不可能的。201021u xx例例 试判别连续时间线性定常 系统的状态能控性。现代控制理论基础16而|Qc|0表示矩阵 Qc=b Ab An-1b有且仅有n个线性无关的列，也就是Qc的秩为n，即必须是非奇异矩阵，换句话说，矩阵Qc的逆存在，即3.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性1ncQbAbAb0cQ1ranknnbAbAbrankrankTcccQQ Q推论推论 对于单输入情况，若可求得到相应的控制作用u，使状态变量从任意x0转移到原点，则矩阵因此，可以把|Qc|0作为单输入情况下的能控性判据。对于多输入情况，Qc不是方阵，不能用此结论。但有因此，可以把
19、|QcQcT|0作为多输入系统的能控性判据。现代控制理论基础173.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性12110010101001101uuxx例例 试判别三阶双输入系统的状态能控性。rank23cnQ观察Qc第一行和第三行完全相同，显见所以该系统是不能控的。解解 首先构造能控性判别矩阵838333888TccQ Qrank23Tcc Q Q容易得到121010121 110101110BAABBQ2c现代控制理论基础183.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性线性非奇异变换不改变系统的能控性通过线性变换把矩阵A化成约当标准形，
20、然后根据这一标准 形来判别系统的能控性。BAABBQ1nc证明证明系统(A,B)的能控性判别矩阵为）（BA,系统 的能控性判别矩阵为BABABQ1nc)(BPAPPBAPPPBP111111nBAABBP11ncQP1cQ因是P-1满秩的，所以 的秩与Qc的秩相同。(2)能控性判别准则二能控性判别准则二 现代控制理论基础193.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性12nxxBu00定理定理3.2 若系统(A,B)具有互异互异的特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是经线性变换后的对角线标准形阵中不包含元素全为零的行。B定理定理3.3 若系统(A,B)具有互异互异
21、的重特征值，则系统状态完全能控的充分必要条件，是经线性变换的约当标准形xAxBu12lJJAJ00与每个约当块Ji 对应的 i 的最后一行的元素不全为零。B其中lBBBB21现代控制理论基础203.2 3.2 连续时间线性定常系统的能控性连续时间线性定常系统的能控性例例 试判别以下连续时间线性定常系统的能控性。12700270001(I)0505 (III)050400017001757000700(II)0505 (IV)0500017001uuuu xxxxxxxx12004075uu解解 A阵具有互不相同的特征值。系统(I)和(III)是能控的，201021u xx其特征值相同，尽管b阵
22、的元素不为零，但系统状态不能控。因为1212cQBABrankQc=1 t0，使得根据t0,tf期间的输出y(t)能唯一地确定系统的初态 x(t0)，则称状态x(t0)是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，或简称能观测的。简记为 (A,C)如果mn，且C非奇异，则：，显然这不需要观测时间。但是一般m t0。1()()ttxCy简要说明简要说明 因为能观测性表示y(t)反映x(t)的能力，不妨令u0。BuDu x=Axy=Cx3.3.1 线性定常系统能观测性的定义线性定常系统能观测性的定义现代控制理论基础28 (1)x=A x (2)xy=CWhere x=st
23、ate vector(n-vector);y=output vector(m-vector);A=n*n matrix;C=m*n matrix.The system is said to be completely observable if every state x(t0)can be determined from the observation y(t)over a finite time interval,.3.3.1 3.3.1 ObservabilityIn this section,we discuss the observability of linear system.C
24、onsider the unforced system described by the following equations:In discussing observability conditions,we consider the unforced system as given by Equations(1)and(2).The reason for this is as follows:If the system is described byThenSince the matrices A,B,C and D are known and u(t)is also known,the
25、 last two terms on the right-hand side of the last equation are known quantities.Therefore,they may be subtracted from the observed value of y(t).Hence,for investigating a necessary and sufficient condition for complete observability,it suffices to consider the system described by Equations(1)and(2)
26、.3.3 3.3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性0fttt()0()(0)()tAtA tx texeBud()0()(0)()tAtA ty tCe xCeBudDu x=Ax+Buy=Cx+Du现代控制理论基础293.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性1onCCAQCA定理定理3.5 对于n阶连续时间线性定常系统(A,C)状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵 3.3.2 能观测性判别准则能观测性判别准则 同样有秩判据和约当标准形判据满秩，即 rankQo=n TTTT1Trank()nnCA CAC(1)能观测
27、性判别准则一能观测性判别准则一或The system is completely observable if and only if the matrixis of rank n or has n linearly independent column vectors.This matrix is called the observability matrix.TTTT1T()nCA CACn nm现代控制理论基础30证明证明CxyAxx,)0()(xCyAtet 对于任意给定的x(0)，有0111()()()(0)nntttCCAxCA)0()()()(xAAIC1110nnttt由上式，根
28、据得到的y(t)，可以唯一地确定x(0)的条件是1onCCAQCA满秩，即 rankQo=n 3.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性现代控制理论基础313.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性451001y xxx45011010 cA0110ocQcA例例 试判别连续时间线性定常系统的能观测性。解解 系统的能观测性判别矩阵因为rankQo2=n，所以系统是能观测的。现代控制理论基础323.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性10 1 101y xxx例例 试判别系统的能观测性。1 1
29、1 1oQ解解 系统的能观测性判别矩阵为 rankQo=1 2是奇异阵，所以系统状态是不能观测的。从输出方程看，y中既含有x1又含有x2，似乎能通过对y的观测获得x1和x2的信息。但是系统状态是不能观测的，从该系统的状态变量图看，这是一个由两个结构完全相同的一阶系统并联起来的系统，当其初始状态为x10=x20时，由它们所激励的系统输出为10202020()()0ttty tx ex exxe 显然，对于这种情况，系统的初始状态x10和x20是不能观测的。现代控制理论基础333.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性1onccAQcA推论推论 对单输出单输出系统
30、，状态能观测的充分必要条件为 是非奇异矩阵。换句话说|Qo|0是系统能观测的充分必要条件。|Qo|0表示了矩阵Qo有且仅有n个行向量是线性无关的，即rankQo=n。对于多输出多输出系统，Qo不是方阵，但有如下关系，即因此，可把作为多输出系统的能观测性判据。|Qo|0TrankrankoooQQ QToQ现代控制理论基础343.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性700700(I)050 (II)050001001 645 320yyxxxxxx例例 试判断下列连续时间线性定常系统的能观测性。显然，系统(I)是能观测的，系统(II)是不能观测的。(2)(2)
31、能观测判别准则二能观测判别准则二 定理定理3.63.6 若n阶连续时间线性定常系统(A,C)具有互异互异的特征值，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准形 中 阵中不含有元素全为零的列。),(CAC现代控制理论基础353.3.3 3 连续时间线性定常系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性12lJJAJ00与每个约当块Ji 对应的 i 的首列的元素不全为零。C例例 试判断下面两个连续时间线性定常系统的状态能观测性。2121(I)(II)0202 10 01yyxxxxxx解解 根据上述定理，(I)是能观测的，(II)是不能观测的。定理定理3.7 若n阶连续时间
32、线性定常系统(A,C)具有互异互异的重特征值，则系统能观测的充分必要条件是经线性非奇异变换后的约当标准型),(CAlCCCC21现代控制理论基础36定理定理3.7（附）（附）若系统(A,C)具有相同相同的的重特征值，则系统状态完全能观测的充要条件是经线性变换的约当标准形例例 试判断以下连续时间线性定常系统的能观测性。J1J2C2xyxx021000300130003C1C1和C2的首列成比例，不是线性无关的，所以不能观测。12lJJAJ00lCCCC21每个没有重特征值的约当块Ji对应的 的首列没有全为零的，具有相同特征值的约当块Jj对应的 的首列线性无关。iC3.3.3 3 连续时间线性定常
33、系统的能观测性连续时间线性定常系统的能观测性jC现代控制理论基础373.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性3.4.1能控性定义与判据能控性定义与判据 若存在控制序列u(0),u(1),u(l-1)（l n）能将某个初始状态x(0)在第l步上到达零状态，即x(l)=0，则称初始状态x(0)是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的。(1)能控性定义能控性定义定义定义 对于n阶离散时间线性定常系统(1)()()kkkxGxHu1110(1)102()0()1011kku k xx0211 x例例 设离散
34、时间线性定常系统的状态方程为试分析能否找到控制作用u(0),u(1),u(2),将初始状态转移到零状态。现代控制理论基础383.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性0 (1)(0)(0)kuxGxh111200010210(0)00(0)1011131uu (0)30(0)3uu 解解 利用递推方法 为检验系统能否在第一步使x(0)转移到零，令x(1)=0，倘若能够解出u(0)，则表示在第一步就可以把给定初始状态转移到零，且控制作用即为u(0)。为此令x(1)=0，则有计算表明对该系统若取u(0)=-3，则能将x0=2 1 1T在第一步转移到
35、零。现代控制理论基础393.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性0111 x0 (1)(0)(0)kuxGxh111101010210(0)10(0)1011121uu 例例 若上例系统初始状态为 解解 由递推公式，有显然，对于上式令x(1)=0，解不出u(0)，这说明初始状态不能在第一步转移到零，再递推一步。能否找到控制作用序列，将其转移到零状态。现代控制理论基础403.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性1k 2(2)(1)(1)(0)(0)(1)uuuxGxhG xGhh01032(0
36、)0(1)311uu 令x(2)=0，仍无法解出u(0)、u(1)，再递推一步。322 (3)(2)(2)(0)(0)(1)(2)kuuuuxGxhG xG hGhh021061(0)2(1)0(2)3211uuu 令x(3)=0，上式是含有三个未知量的线性非齐次方程210(0)0120(1)6211(2)3uuu，有唯一解：165(0)210012(1)12065(2)211395uuu 现代控制理论基础41(2)能控性判别准则能控性判别准则 3.4 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性离散时间线性定常系统的能控性和能观测性(1)()()kkkxGxHu21ncQHGHG HGH1
37、00022110G121 h状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵rankcnQ满秩。即2111222111cQhGhG h解解 构造能控性判别矩阵显然rankQc1 0和定义在时间区间t0,tf上控制信号u，使得系统在这个控制作用下，从x0出发的轨线在tf时刻达到零状态即x(tf)=0，则称x0在t0时刻是系统的一个能控状态。如果状态空间上的所有状态在t0时刻都是能控的，则称系统在t0时刻是状态完全能控的。(1)能控性定义能控性定义定义定义 若连续时间线性时变系统可以看出，时变系统的能控性定义和定常系统的能控性定义基本相同，但考虑到A(t)、B(t)是时变矩阵，其状态向量的转移与起始时刻
38、t0的选取有关，所以时变系统的能控性与所选择的初始时刻t0有关。现代控制理论基础493.5 3.5 连续时间线性时变系统的能控性与能观测性连续时间线性时变系统的能控性与能观测性000()()()=,tttt tJ x=Ax+Buxx0()()ttMB100d()()()()dttttt MAMM122d()()()()dnnnttttt MAMM则系统在时刻 完全能控的充分条件为，存在一个有限时刻 ，使0tJ110,tJ tt011111rank()()()ntttnMMM定理定理3.10 对n阶连续时间线性时变系统设A(t)和B(t)对t为(n-1)阶连续可微，定义如下一组矩阵：(2)能控性
39、判别准则能控性判别准则 现代控制理论基础50 对于初始时刻t0，存在另一时刻tf t0,使得根据时间区间t0,tf上输出y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)=x0，则称x0为在t0时刻能观测状态。若系统在t0时刻的所有状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称系统是能观测的。3.5 3.5 连续时间线性时变系统的能控性与能观测性连续时间线性时变系统的能控性与能观测性000()()=,ttt tJ x=Axxx()ty=Cx00 t ty则称x0为t0时刻不能观测的状态，系统在t0时刻是不能观测的。(1)(1)能观测性定义能观测性定义定义定义 对于连续时间线
40、性时变系统3.5.2 3.5.2 能观测性定义与判据能观测性定义与判据 反之，如果在t0时刻的初始状态x(t0)=x0，所引起的系统输出y(t)恒等于零，即现代控制理论基础513.5 3.5 连续时间线性时变系统的能控性与能观测性连续时间线性时变系统的能控性与能观测性000()()=,()ttt tJtx=Axxxy=Cx0()()ttNC100d()()()()dtttttNNAN122d()()()()dnnntttttNNAN则系统在时刻 完全能观测的充分条件为，存在一个有限时刻 ，使0tJ110,tJ tt011111()()rank()nttntNNN定理定理3.11 对于n阶连续时
41、间线性时变系统设A(t)和C(t)对t(n-1)阶连续可微，定义如下一组矩阵(2)能观测性判别准则能观测性判别准则 现代控制理论基础523.6 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系一个系统的能观测性等价于其对偶系统的能控性 一个系统的能控性等价于其对偶系统的能观测性 1:xAxBuyCx2:*xA xB u*yC x*TTTAABCCB定义定义对于定常系统1和2其状态空间描述分别为则称系统1和2是互为对偶的。其中，x与x*为n维状态向量，u为r维，y为m维，u*为m维，y*为r维。若系统1和2满足以下关系3.6.1对偶系统对偶系统现代控制理论基础53系统
42、1的传递函数阵为mr矩阵：3.6 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系对偶系统的示意图11()()ssGCIAB*1*21111()()()()()()TTTTTTTTssssssGCIABBIACBIACCIABG*det()det()ssIAIA对偶系统的特征多项式相同：系统2的传递函数阵为：对偶系统的传递函数阵互为转置现代控制理论基础54定理定理3.12设1(A,B,C)和2(A*,B*,C*)是互为对偶的两个系统，则1的能控性等价于2的能观测性；1的能观测性等价于2的能控性。3.6 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测
43、性的对偶关系11ncQBABAB(1)2()()()()()TTTTTTTTnTToQBABAB1nBABAB(1)1()TTTTTnToQCA CAC(1)2()TTTTnTcQCA CAC而系统2的能观测性判别矩阵为是完全相同的。同理1的能观测性判别矩阵为而系统2的能控性判别矩阵为也是完全相同的。3.6.2 对偶定理对偶定理 证明证明 系统1的能控性判别矩阵为现代控制理论基础553.6 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系线性系统能控性与能观测性的对偶关系Principle of DualityWe shall now discuss the relationship between
44、 controllability and observability.We shall introduce the principle of duality,due to Kalman,to clarify apparent analogies between controllability and observability.Consider the systemS1 described by xAxBuyCx*zzC vA*nB zThe principle of duality states that the system S1 is completely state controlla
45、ble(observable)if and only if system S2 is completely observable(state controllable).Where x=state vector(n-vector);u=control vector(r-vector);y=output vector(m-vector);A=nn matrix;B=nr matrix;C=mn matrix.And the dual system S2 definedWhere z=state vector(n-vector);v=control vector(m-vector);n=outpu
46、t vector(r-vector);A*=transpose of A;B*=transpose of B;C*=transpose of C.现代控制理论基础563.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形1ranknBABA B111121212rank nnnrrrnb bbAb AbAbA b A bA b 若n阶连续时间线性定常系统(A,B)是完全能控的，则 对多输入多输出系统，把(A,B)和(A,C)化为标准形，可以有多种不同的方法。对于单输入单输出系统，其能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵只有唯一的一组线性无关的向量。因此，当(A,B)表示为能控标准形和(A,
47、C)表示为能观测标准形时，其表示方法是唯一的。所以仅讨论单输入单输出系统所以仅讨论单输入单输出系统。这表明，能控性矩阵中有且仅有n个n维列向量线性无关。如果取这些线性无关的列向量以某种线性组合，便可导出状态空间描述的能控标准形。类似可以得到能观测标准型类似可以得到能观测标准型。3.7.1 问题的提法问题的提法 现代控制理论基础573.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形cxR x11211111nncnaaaRAbAbb03.7.2 能控标准形能控标准形(Controllable canonical form)定理定理3.13若连续时间线性定常单输入单输出系统(A,b,
48、c)是状态完全能控的，则使系统为能控标准形的变换阵为111det()nnnnssa sasaIA其中，ai为特征多项式 的系数。通过线性变换得到能控标准形为(Ac,bc,cc)：1121010000100001cccnnnaaaaAR AR1001cc bR b11ccnnccR1211211()()nnnnaaacbc Abbc AbAbb现代控制理论基础583.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形12121111 =1cccnnnaaaR AARA eeeA bA bAb 01cccAR AR12cnReee利用 和 ，可得111nnnnaaa AAAI据凯莱-哈密
49、顿定理有12111111()()nnnnnnnnnnnaaaaaaaa AeA AbAbbA bAbAbbbbe据此，可导出2321212121111()()nnnnnnnnnnaaaaaaaAeA AbAbbAbAbAbbbee证明证明 （1 1）推证Ac 现代控制理论基础593.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形21112222()()nnnaaaaaAeA AbbA bAbbbee1111()nnnaaaAeAbAbbbee111112121121 010000100001010000100001ccnnnnnnnnnncnnnaaaaaaaaaaa R Aee
50、eeeeeeR于是，有将上式左乘 1cR，就可证得Ac。现代控制理论基础603.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形1ccbR bccR bb12000011ccnnc R bbeeeeR(2)推证bc 由 ，有 ，即 1cR将上式左乘 ，就可证得bc。ccccR(3)推证cc 由 ，有11211111011 nnccnnnaaaccRc AbAbb展开即可。现代控制理论基础613.7 3.7 能控标准形和能观测标准形能控标准形和能观测标准形1adj()()()det()cccccccssssIAGcIAbcbIA111111*100*1nnnnnnnsssa sasa
