1、现代控制理论复习一、线性系统的状态空间描述 状态：状态：状态状态是指系统的运动状态。1.1 状态空间描述状态空间描述 状态变量：状态变量：系统状态系统状态是由描述系统的最小一组变量最小一组变量来确定，这组最小变量就是系统的状态变量状态变量x1(t),x2(t),xn(t).状态向量：状态向量：12()()()()nx tx ttx tx由状态变量组成的列矩阵。状态空间表达式：状态空间表达式：状态方程是描述状态变量与输入信号之间关系的一阶微分方程组一阶微分方程组。状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：描述系统输出量与状态变量、输入信号之间关系的数学表达式。()()()ttu txAxb()()
2、()y ttu tcxd1 根据系统机理系统机理建立状态空间表达式2 根据传递函数传递函数(微分方程微分方程)建立状态空间表达式1.2建立状态空间表达式建立状态空间表达式 2 根据传递函数（微分方程）传递函数（微分方程）建立状态空间表达式()(1)(2)()12100.nnnmnnmyayaya ya yb ub uy输出u输入考虑单入单出的线性定常系统：相应的传递函数为：11101110()mmmmnnnb sbsbsbG ssasasamn相应的微分方程为：u 传递函数没有零点传递函数没有零点()(1)(2)12100.nnnnnyayaya ya yb u01110()nnnbG ssa
3、sasa011010100000110100nn nnuaaabyxxx能控标准形能控标准形u 传递函数有零点传递函数有零点11101110()mmmmnnnb sbsbsbG smnsasasa11101110()nnnnnnssG sbsasasaN()()nsbD smn当先考虑这种情况：11101110()()()()()()()1.()nnnnnY sZ sY sG sU sU sZ ssssasa sa01111asasasnnn0111ssnnuzy0nb l 当 时:11101110()()()nnnnnssY sG sU ssasa saN()()sD s（1）串连分解串连分
4、解120111nnnxxxxy,xAxbuycxA友矩阵A，b 可控标准型可控标准型写向量写向量-矩阵形式的动态方程矩阵形式的动态方程Abxx C011101000001101nnn nuaaa xx0nbl 当 时:bny2+01111asasasnnn0111ssnnuzyy1+)()()()()()(11sZsYsUsZsUsY1()()()nY sY sb U s状态方程不变，A，b 阵不变nb uycx1122110110100000100101nnnnnxxxxuxxxaaax 120111nnnnxxyb uxxN()()sD s（2）并联分解法并联分解法12()()()()nD
5、 ssss12()()()()()()()()()nY sN sN sG sU sD ssss1212nncccsss1()()niiicY sU ss令1()()iix sU ss()()()iiisx sx sU s()()()iiisx sx sU s()()()iiix tx tu t11 1()()()x tx tu t展开，得222()()()x tx tu t()()()nnnx tx tu t11()()()niiiniiicY sU ssc x t1 122()()()nnyc x tc x tc x t1112224111nnxxxxuxx 1212nnxxycccx化成了
6、n个彼此独立独立的系统解耦N()()sD s（3）含重极点含重极点314()()()()nD ssss131112324111()()()()()()niiiccccN sG sD sssss若其它变量选取与单实极点相同状态变量选取:123211111111()()()()()()()()x sU sU sx sssss23211111111()()()()()()()()x sU sU sx sssss311()()()x sU ss1111112112131134441010111nnnxxxxxxuxxxx 1112134nycccccx约当标准型约当标准型二、线性定常连续系统状态方程的
7、解0()()(0)ttxAxxx1.1.齐次状态方程的解齐次状态方程的解2 211()()(0)2!(0)k ktttttkeAxIAAAxx2 201112!tk kk kkettttkk AI AAAA定义定义：矩阵指数矩阵指数teA()tteA(0)x()tx又称为状态转移矩阵，记为teA11()()tteLsAIA求解的关键：求解的关键：求状态转移矩阵()t根据拉普拉斯矩阵法：2.2.状态转移矩阵的运算性质状态转移矩阵的运算性质(1)(0)I(2)()()()tettAtAAA是下面微分方程的唯一解()t()()ttA(0)I上式表明：(0)A(3)1212()1212()()()t
8、tttttee ettAAA121221()()()()()tttttt(4)100()()tttt(5)2211()()()tttt xx(6)211020()()()tttttt(7)()()ktkt 3.3.非齐次状态方程的解非齐次状态方程的解()()()tttxAxBu在输入作用下的响应。()00()(0)()()(0)()()ttttteedttd AAxxBuxBu对对输入作用输入作用的响应的响应对对初始状态初始状态的响应的响应三、传递矩阵1.传递矩阵传递矩阵()()()()()()ttttttxAxBuyCxDu初始条件为零时，进行拉氏变换()()()ssssXAXBu()()(
9、)sssYCXDu1()()()()()sssssYC IABD UGU1()()ssGC IABD1111211221222212()()()()()()()()()()()()()()()ppqqqqppY sG sG sG sU sY sG sG sG sU sY sG sG sG sU s ()sYq维()sUp维()sGqxp维对于多输入多输出系统：2.特征方程和特征值特征方程和特征值0s IA令为特征方程特征方程0s IA的根为特征值特征值(1,2,)iin3.特征向量特征向量(1,2,)iP in 设A阵具有不相同的特征值(i)，如果一个非零的向量pi，满足下式：iiiPP A称
10、pi为特征向量。4.状态方程的线性变换状态方程的线性变换 选取不同的状态变量有不同形式的状态方程，两组状态变量之间存在着线性变换。xAxbuycxxAxbuycxxpxP变换，12npppp变换矩阵：11Ap Apbp b这里ycxcpxcxccp 对系统作线性非奇异变换，其特征值不变。化化A阵为对角阵阵为对角阵a)A阵具有不相同的实数特征值，即i121np Ap12nppppP阵由A阵的实数向量Pi组成iiiPPA特征向量满足：b)若A阵为友矩阵，且有n个互不相同的实数特征值i01101000011nAaaa122221212111nnnnnnP则范德蒙特矩阵范德蒙特矩阵使A对角化:四、线性
11、离散系统状态空间表达式的建立及其解(1)(1)从差分方程从差分方程状态方程状态方程1100()(1)(1)()()ny knay kna y ka y kb u k4.1 离散系统状态空间表达式建立离散系统状态空间表达式建立0110010000010(1)()()10nkkkaaab xxu1()()100()y kx kkx(2)(2)从脉冲函数从脉冲函数状态方程状态方程11101110()()()nnnnnnnb zbzb zbY zG zU zzaza za11101110nnnnnnzzbbzaza za011010000010(1)()()101nkkkaaa xxu1011()()
12、()()nny kx kkb u kx(1)()()()()()kkkkkkxGxhuycxdu离散系统状态方程：4.2 定常连续系统状态方程离散化定常连续系统状态方程离散化微分形式状态方程差分形式状态方程离散化(1)()(1)kTkTG TkTdB()()t TTt()()()y kkkCxDu(1)()()()()kTkG Tk xxu离散化状态方程：离散化状态方程：4.3 定常离散系统状态方程的解定常离散系统状态方程的解(1)()()()()kTkG Tk xxu110()()(0)()()()kkkiix kT xT G T u i 离散状态方程的解离散状态方程的解如果()0(0,1,
13、1)u iik()()(0)()(0)()(0)kx kT xkT xk x ()k离散状态转移矩阵离散状态转移矩阵输出方程：110()()(0)()()()()kkkiiy kT xT G T u ik CCDu()()()y kkkCxDu 如果系统所有状态变量所有状态变量的运动都可以由输入来影输入来影响和控制响和控制而由任意的初态任意的初态达到任意期望的状态任意期望的状态，则系统是完全可控的，或者状态完全可控状态完全可控；否则，就称系统是不完全可控的。如果系统所有状态变量所有状态变量的运动都可以由输出来输出来完全反映完全反映，则称系统是状态完全可观测的状态完全可观测的；否则，就称系统是不
14、完全可观的。状态完全可控：状态完全可控：状态完全可观：状态完全可观：五、可控与可观测性 判别准则判别准则1 nrank sranknBABABn为矩阵A的维数。5.1 线性定常连续系统的可控性 可控标准型可控标准型011101000001101nnn nuaaa xx 只要系统状态可控，一定可以变换到“可控标准型”对角线规范型对角线规范型12nxxBu111212122212ppnnnpr rrr rrr rrBi互不相同充要条件：充要条件：当A为对角阵时，可控充要条件是：B阵中任何行向量不是零向量不是零向量。A A阵是约当阵阵是约当阵J J111111212313444111pnnpnnnr
15、rxxxxxxuxxrrxx J矩阵中约当块约当块，最后一行最后一行对应B阵中的阵中的行向量行向量不是不是零向量零向量。判定准则：5.2输出可控性定义：定义：如果存在一个无约束控制函数u(t)，在有限时间间隔(t0tf)内，将输出由任意初始状态Y(t0)转移到终端状态Y(tf)，则称系统是输出完全可控的，简称输出可控。判别准则判别准则10 nrank srankqCBCABCABDq为输出y的维数。注意注意 状态可控性与输出可控性是两个同的概念，二者没有什么必然的联系。判别准则判别准则1nrankranknCCAVCAn为矩阵A的维数。或者1()TTTTnTrankranknVCA CAC5.
16、3 线性定常系统的可观测性可观标准型可观标准型0110010100100 1nn naaayxx buxTAATCBA,b 可控标准型可观标准型,A C变换关系可观测型另一种形式可观测型另一种形式12nxxi互不相同的实数特征值，yCx对角规范型判据：C阵中不包含元素全为0的列。可控性判定准则可控性判定准则1 nrank SranknhGhGhn为矩阵G的维数。5.4 线性离散系统的可控性与可观测性可观性判定准则可观性判定准则1nrank VranknCCGCG(1)()()kkkxGxhu()()kkyCx5.5可控规范型与可观测规范型1 化可控系统为可控标准型化可控系统为可控标准型 变换矩
17、阵P阵111n1PPAP=PA 可控性矩阵：1nSbbbAA P1可控性矩阵S-1最后一行(n行)关键求P12 对偶原理对偶原理系统的状态表达式：1xAxBuyCx系统的状态表达式：2TTTz=A z+C vw=B z系统对偶1212SV21SV可控条件与 可观条件相同可控条件与 可观条件相同1122可控与可观的对偶性质：可控与可观的对偶性质：3 化可观测系统为可观测标准型化可观测系统为可观测标准型xAxBuyCxTTTz=A z+C vw=B z系统可观：则，其对偶系统一定可控 将对偶系统对偶系统化为可控标准型可控标准型，再一次使用对偶原理，可以得到可观测标准型。可观测标准型。变换后，特征值
18、不变特征值不变；变换后，系统的传递矩阵不变传递矩阵不变；变换后，系统的可控性，可观测性不变可控性，可观测性不变；1IP APIA1111()()()()G sCP sIP APP BDC sIABDG s4 非奇异变换的特性非奇异变换的特性六、结构分解系统状态变量可分解为四部分：可控可观：可控不可观：不可控可观：不可控不可观：coxcoxcoxcox1 按可控性进行分解按可控性进行分解2 按可观性进行分解按可观性进行分解7.1 线性定常系统的反馈结构1.1.状态反馈状态反馈七、线性定常系统的反馈结构()xABK xBvyCx输出反馈至参考输入：输出反馈至参考输入：()x=Ax+B vFy=(A
19、-BFC)x+BvyCx2.2.输出反馈输出反馈输出反馈至状态微分：输出反馈至状态微分：x=Ax+Bu-Hy=(A-HC)x+buyCx7.2 反馈结构对系统性能的影响1 只要开环系统可控，引入状态反馈后，闭环系统状态仍可控；2 如果开环系统可观，引入状态反馈后，有可能破坏系统状态可观性；2.输出反馈输出反馈（1）输出至参考输入的反馈参考输入的反馈不改变系统的可控性和可观性。（2）输出至状态微分的反馈状态微分的反馈不改变系统的可观性，但可能改变系统的可控性。1.状态反馈状态反馈7.3 极点配置极点配置：极点配置：通过选择反馈增益矩阵反馈增益矩阵，将闭环系统的极点恰好配极点恰好配置在置在s平面上
20、所期望的位置平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。用状态反馈进行极点配置的设计方法：用状态反馈进行极点配置的设计方法：已知期望极点求状态反馈增益K 条件：条件：只要开环系统可控，可以通过任意选择k实现极点任意配置。设计步骤：设计步骤：（1）分析系统（A,b,c）的可控性；（2）根据期望极点i，计算希望特征多项式，112110()()()0nnnnssssasa sa（3）计算()sbkIA（4）两式系数对应相等，求出K1 状态反馈对状态反馈对传递函数零点传递函数零点影响影响：7.4 状态反馈对系统影响分析 引入状态反馈后只改变闭环极点只改变闭环极点，不影响系统零零点位置点位置。闭环系统零
21、点与开环系统零点相同；2 状态反馈对状态反馈对系统稳定性系统稳定性影响影响：系统稳定是控制系统正常工作的必要条件。状态反馈和输出反馈都能影响的稳定性。3 状态反馈对状态反馈对系统稳态性能系统稳态性能影响影响：引入状态反馈有可能改变系统类型。八、状态观测器设计状态观测器：状态观测器：利用系统已知量已知量y,u，构造一个模型模型，将系统状态变量进行估计。实现状态变量估计的物理装置。状态变量可测量的不可测量的用状态观测器重构全维闭环状态观测器 如果利用输出对状态误差进行校正状态误差进行校正，构成闭环状态观测器。()xAxbuHyyAxbuHyHCxAHCxbuHyycx状态观测器：AHC闭环系数阵。
22、0()0()()AHCttx tex txxx误差：误差：只要A,b,C 可观，可以任意配置H因此，必须A,b,C 可观，才能存在状态观测器。状态观测器设计 判别可观性 建立希望闭环特征式112110()()()0nnnnssssasa sa 计算()0sHCIA 两式系数对应相等，求出H带状态观测器的状态反馈系统带状态观测器的状态反馈系统1 用 反馈与X反馈是否一样？x()H yyAHC xbuHyxAxbu观测器状态方程：反馈控制律：uvkx反馈：xAxbux()()AxbvbkxAxbvbkxbkxbkxAbk xbvbk xx2 分离定理分离定理分离定理 如果系统(A,B,C)可控可观
23、，则系统的状态反馈矩阵K和观测器反馈矩阵H可分别进行设计。这个性质成为闭环极点设计的分离性。8.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义1 平衡状态平衡状态(,)0eexf x t2 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下的稳定性(2)渐近稳定(3)大范围渐近稳定(1)系统稳定定义(4)不稳定八、李雅普诺夫稳定性定理一：设系统 其平衡状态xe，如果存在一个连续的一阶偏导数的标量函数V(x)，且满足下列条件：()xf x1.()0V x 正定2.()0V x 负定则xe是大范围渐近稳定大范围渐近稳定。如果x ()V x 有则xe是渐近稳定渐近稳定。8.2 李雅普诺夫第二法定理二：设系统 其平衡状态xe，
24、如果存在一个连续的一阶偏导数的标量函数V(x)，且满足下列条件：1.()0V x 正定2.()0V x 则xe是渐近稳定。()xf x()0V x 3.当tt0，除x=0,外，不恒为零，则系统渐近稳定。()V x定理三：设系统 其平衡状态xe0，如果存在一个连续的一阶偏导数的标量函数V(x)，且满足下列条件：()xf x1.()0V x 在坐标原点某邻域是正定的2.()0V x 在同一领域内也是正定的则xe是不稳定。8.3 李雅普诺夫第二法的应用分析系统的稳定性分析系统的稳定性 线性定常系统 的原点平衡状态xe=0为渐近稳定的充分必要条件是，对于任意给定的一个正定对称矩阵P使 成立。0(),(
25、0),0 xf xxxtTA PPAQ(1)先选QI(2)求P(3)看P是否正定？系统数学模型系统数学模型状态方程：()(),(),x tf x t u t t 边界条件边界条件初始条件：初始时刻00()x tx()fx t初始状态0t终端条件：终端时刻终端状态ft九、最优控制9.1 最优控制问题 容许控制（输入）容许控制（输入）()u t 称为容许控制容许控制。)(tUmutu)(即u(t)受约束:极小值原理求解可任意取值,无约束 经典变分法求解。性能指标性能指标综合型性能指标：0(),(),(),ftfftJx ttL x t u t t dt 表示对整个控制过程和终端状态x(tf)都有要
26、求。最优控制问题：从可供选择的容许控制集中，寻求一个控制矢量u(t)，使受控系统在时间域t0,tf内，从初态x(t0)转移到终态x(tf)时，性能指标J取最小(大)值。十、最优控制中的变分法 在动态最优控制中目标函数J是一个泛函，求解最优化问题可以归结为求解泛函极值求解泛函极值的问题。最优控制性能指标：0(),(),fttJL x t u t t dt)()(tutx、)()(tutx、J是 的函数，是t的函数。10.2 泛函极值的必要条件欧拉方程求泛函的极值，就是要确定一个函数x(t)使J达到极小（大）值。0(,)fttJL x x t dt000fttLdLxdtxLxx 欧拉方程横截方程
27、欧拉方程的全导数形式：2220 xxxxxxtLLLLxxxxx xt xLL xL xL 欧拉方程是一个二阶微分方程，极值曲线x*(t)是满足欧拉方程的解。10.3 用古典变分法求最优控制问题1.tf固定固定,x(tf)无约束无约束考虑系统：()(),(),x tf x t u t t其中：()nx tR()ru tR(,)f x u t为n维可微的向量函数。设给定0,ftt t初始状态00()x tx终端状态 自由()fx t性能泛函为：0(),(),fttJL x t u t t dt最优控制问题：最优控制问题：寻求最优控制u(t)，将系统从初始状态 转移到终端状态 ，并使性能指标泛函J
28、取得极值。00()x tx()fx t令(,)(,)(,)TH t x uL x u tf x u tH(t,x,u,)哈密而顿函数哈密而顿函数根据极值存在的必要条件：0J 控制方程控制方程0Hu 伴随方程伴随方程()Htx 因此，得 状态方程状态方程 边界条件边界条件()(,)Hx tf x u t00ftTtx 横截条件横截条件常用于补充边界条件：若始端固定，终态自由若始端固定，终态自由00()()0fx txt0()0,()0fx tx t00()()()()0TTfftx ttx t 若始端和终端都固定若始端和终端都固定0()0,()0fx tx t00(),()ffx tx x tx
29、2.tf固定固定,x(tf)有约束有约束控制系统方程：()(),(),)x tf x t u t t初始状态00()x tx终端状态 满足：()fx t(),0ffN x tt 式中，N为q维向量，qn性能指标泛函：0(),(),(),)ftfftJx ttL x t u t t dt 0(),()(,)(,)fTfffftTtJx ttN tx tL x u tf x u tx dt(,)(,)(,)TH t x uL x u tf x u t增广泛函：哈密而顿函数：(1)控制方程控制方程0Hu()Htx(2)伴随方程伴随方程()(),(),)x tf x t u t t(3)状态方程状态方程(4)边界条件边界条件()()()fTTfTTfft tNtxtxt则有：(5)终端约束终端约束(),0ffN x tt 3.tf自由自由 t*f 最优时间最优时间 0ffTTTTTt tt tdJNNxxHxdtxtxt边界条件：0fTt tNHtt()()()fTTfTTfft tNtxtxt
