1、互为反函数的函数图象间的关系教程：高中数学人教版A2003课标必修一2.2的值域)(xfy)(1-yfx=一复习回顾一复习回顾求反函数的一般步骤：求反函数的一般步骤：)(1-xfy=注：标明反函数的定义域（即原函数 的值域）反函数的定义是什么？反函数的定义是什么？什么样的函数存在反函数？什么样的函数存在反函数？引导设问引导设问1v 指数函数与对数函数互为什么函数？函数又是如何得到它的反函数的呢？二、新课探究2xy 2logxy 2logyx 化化成成对对数数式式xy和和 互互换换01log(,)对对数数函函数数和和指指数数函函数数互互为为反反函函数数其其中中且且xaayxyaa互互为为反反函函
2、数数引导设问2 n 那么这种互为反函数的图像间是什么关系呢？二、新课探究二、新课探究请同学画出下列设问3中的图像，并回答有关问题。请同学在练习本上画出图像请画一画指数函数 和对数函数 的图像,并画出指数函数 和对数函数，它们的函数图像有什么关系？引导设问3xy2xy2logxy)21(=)21(logxy=yx0yxyxyx0y 2xy()x21ylog2x 21y=log x1 2 3 4 5 6 7 88 76543218 76543211 2 3 4 5 6 7 8-3 -2 -1-3 -2 -1-1-2-3-1-2-3yx关于直线对称yx关于直线对称2o2l g的的反反函函数数是是xy
3、xy 12og12lxyxy 的的反反函函数数是是请大家讨论一下如何证明：指数函数 和对数函数 关于直线y=x对称。引导设问4xy2xy2log 首先我们在 图像上取几个特殊点，如 、.xy221,11P1,02P2,13P321,PPPxy2log友情提示！关于直线 Y=X 的对称点的坐标是什么？它们在 的图像上吗？为什么？引导设问5 动态演示引导设问6 动态演示引导设问7 由上述探究过程可以得到什么结论？结 论函数函数 的图象和它的的图象和它的反函数反函数 的图象关于的图象关于直线直线y=x对称。对称。)(xfy=)(1-xfy=在直角坐标系内，画出直线在直角坐标系内，画出直线y=x,然后
4、找然后找出下面这些点关于直线出下面这些点关于直线y=x的对称点，并的对称点，并写出它们的坐标。写出它们的坐标。A（2，3），），B（1，0），），C（-2，-1），），D（0，-1）y=xxyoC C A A B B D D C CA AB BD DA A(3,2)(3,2)B B(0,1)(0,1)C C(-1,-2)(-1,-2)D D(-1,0)(-1,0)点点A（a，b）在函数）在函数y=f(x)的的图象上图象上 点点B(b，a)在其反在其反函数函数f-1（x）的图象上。）的图象上。32+=xy32+=yx例例1：求函数：求函数y=3x-2(xR)的反函数，并的反函数，并画出原函数和它
5、的反函数的图象。画出原函数和它的反函数的图象。xyo解：解：由由y=3x-2,得得 。y=3x-2()Rxxy32+=因此，函数因此，函数y=3x-2(xR)的反函数是的反函数是)0(xxy=例例2：求函数：求函数y=x(x00)的反函数，并的反函数，并画出原函数和它的反函数的图象。画出原函数和它的反函数的图象。xyo1-1y=x(x0)解：解：由由y=x，得，得 。yx=yx=)0(xxy=由于由于 x00，故得，故得 。因此，函数。因此，函数y=x(x00)的反函数是的反函数是例题应用：)0 (xxy=32+=xyxyoy=3x-2xyo1-1y=x(x0)0 (xxy=32+=xyxyo
6、y=3x-2xyo1-1y=x(x0)y=xy=x3xy=3xy=xyoxyoy=x+1(x0)y=xy=x释意：释意：一般地，如果点一般地，如果点(a,b)在函数在函数y=f(x)的图的图像上，那么点像上，那么点(b,a)必然在它的反函数必然在它的反函数y=f-1(x)的图像上。换言之，如果函数的图像上。换言之，如果函数y=f(x)的图像上的图像上有点有点(a,b)，那么它的反函数那么它的反函数y=f-1(x)的图像上的图像上必然有点必然有点(b,a)。练习 如果函数如果函数y=f(x)在其定义域内在其定义域内存在反函存在反函数数,那么它们关于那么它们关于 y=x 对称。对称。)-()(ab
7、xbaxxf+=)37 (73-)(xxxf+=应用应用 例例3 函数函数 的图象的图象过点（过点（1，2），它的反函数的图象也过此），它的反函数的图象也过此点，点，求函数求函数f(x)的解析式。的解析式。解解：点（点（1 1，2 2）关于直线）关于直线y=xy=x的对称的对称 点为（点为（2 2，1 1），可得函数），可得函数f(x)f(x)的图象还的图象还 过（过（2 2，1 1）。）。baba212 得到得到 ，解得，解得a=-3,b=7.a=-3,b=7.因此，函数的解析为因此，函数的解析为 。例例4在同一坐标系内画出函数在同一坐标系内画出函数 （x-3）及其反函数的图象。）及其反函数
8、的图象。31+=xyoxyy=xf(x)f(x)f f-1-1(x)(x)由几何性质可直接做一个函数的反由几何性质可直接做一个函数的反函数图象，而不必先求出其反函数。函数图象，而不必先求出其反函数。课堂小结课堂小结互为反函数的两个函数的图象关于直线互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。对称。性质的应用：性质的应用：（1）由几何性质可直接做一个函数的反）由几何性质可直接做一个函数的反函数图象，而不必先求出其反函数。函数图象，而不必先求出其反函数。（2）点）点A（a，b）在函数）在函数y=f(x)的图象的图象上上 点点B(b，a)在其反函数在其反函数f-1（x）的图象上。的图象上。课后作业课后作业习题习题.、
