1、复数的四则运算复数的四则运算(一一)复数复数a+bi(a,bR)a+bi(a,bR)复数复数 a+bi a+bi 实数a(b=0)虚数(b0)纯虚数纯虚数bibi(a=0)非纯虚数a+bi(ab0)R(z)=aR(z)=a实部实部 I(z)=bI(z)=b虚部虚部 两个复数相等两个复数相等设设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d R)，则则 z1=z2 ，dbca即即实部等于实部实部等于实部，虚部等于虚部虚部等于虚部特别地，特别地，a+bi=0 .a=b=0即即 两个复数（两个复数（除实数外）除实数外）只能说相等或不相等，只能说相等或不相等，而不能比较大小而不能比较大小.一.复数的加
2、法与减法(a+bi i)+(c+di i)=(a+c)+(b+d)i i 很明显，两个复数的和仍然是一个复数很明显，两个复数的和仍然是一个复数 1.1.复数加法的运算法则复数加法的运算法则)()(.);(.结合率结合率交换率交换率321321122121zzzzzzzzzz2.加法的运算律加法的运算律(a+bi i)(c+di i)=x+yi i，2 2、复数减法的运算法则、复数减法的运算法则复数减法规定是加法的逆运算复数减法规定是加法的逆运算(c+di i)+(x+yi i)=a+bi i，由复数相等定义，有由复数相等定义，有 c+x=a，d+y=b 由此，由此，x=ac，y=bd(a+bi
3、 i)(c+di i)=(ac)+(bd)i i (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i一一.复数的加法与减法复数的加法与减法类比多项式的合并同类类比多项式的合并同类项项例例1 1、计算、计算(23i i)+(-83i i)(34i i)解：解：(23i i)+(-83i i)(34i i)=(283)+(-33+4)i i=-92i i .练习练习课堂练习;4)32()2)(4();51()2()43)(3();23(5)2();43()42)(1(iiiiiiiii-1计算计算 1 1、设、设a，b，c，dRR，则则(ab)()(cd)怎样展开？怎样展开？(ab)()(cd)aca
4、dbcbd问题探究问题探究1 1、设复数、设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，其中，其中a，b，c，dRR，则，则 z z1 1z z2 2(abi)(i)(cdi)i)，按照上述运算法，按照上述运算法则将其展开，则将其展开，z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？z z1 1z z2 2(acbd)(adbc)i.)i.形成结论形成结论 2 2、(abi)i)2 2a2 2b2 22 2abi.i.二二.复数的乘法法则：复数的乘法法则：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i显然任意两个复数的积仍是一个复数显然任意两个
5、复数的积仍是一个复数.对于任意对于任意z1,z2,z3 C,有有z1z2=z2z1 ,z1z2 z3=z1(z2 z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .交换率交换率结合率结合率分配率分配率复数的乘法运算法则：复数的乘法运算法则：复数的代数形式的乘法运算法则复数的代数形式的乘法运算法则：新课讲授ibcadbdacdicbia)()()(.)1(2)43)(43(12iii）；（；（）（例例 计算计算 (1-2i)(3+4i)解：解：(1-2i)(3+4i)=11-2i42222441.16;2.210;3.2;4.xxxabcabab例例2 在复数范围内因式分解在复数范围内因式分解例
6、题选讲例题选讲实部相等，虚部互为相反数的两个复实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数数叫做互为共轭复数.3 3、在实数中、在实数中，2+2+与与2-2-互互称为有理化因式，在复数中，称为有理化因式，在复数中，abi i 与与abi i互称互称为共轭复数，一般地，共轭复数的定义是什么？为共轭复数，一般地，共轭复数的定义是什么？问题探究问题探究共轭复数共轭复数对于任意复数对于任意复数z=a+bi,有有（a+bi)(a-bi)=a2+b2其中其中Z Z=a+bi与与a bi i 叫共轭复数叫共轭复数.如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复
7、数叫做互为共轭复数。（当虚部时，这两个复数叫做互为共轭复数。（当虚部不等于不等于0时也叫做互为共轭虚数时也叫做互为共轭虚数）思考：复数思考：复数Z Z 为实数的充要条件是为实数的充要条件是即即 实数的共轭复数仍是其本身实数的共轭复数仍是其本身.Z=Z1212121212121122(1)(2)(3)(4)zzzzzzzzzzzzzzzz共轭复数共轭复数1.设Z Z=a+bi (a,bR)Z Z+=Z ZZ Z =Z Z2a2bi2.共轭复数的性质共轭复数的性质).()()(;)(;,)(2765nzzzzRzzRzznn证明：设证明：设 =，=Z Z 1 1a+b i i11Z Z 2 2a+
8、b i i22a1b1a2b2(,)R，则则 Z Z 1Z Z 2+=+，=-Z Z 1Z Z 2Z Z 1Z Z 2-Z Z 1Z Z 2Z Z 1Z Z 2+=()+()a+b i11a+b i22=()+()ia+a 12b+b12=()()ia+a 12b+b12=(i)+(i)a b 11a b22=+Z Z 1Z Z 2同理可证：同理可证：=Z Z 1 1Z Z 2 2-Z Z 1 1Z Z 2 2证明证明:实数集实数集R中中正整数指数幂正整数指数幂的运算律在复数的运算律在复数集集C中仍成立，即中仍成立，即z、z1、z2 C，m、n N*有有z m z n=z m+n(z m)n=
9、z mn(z1 z2)n=z1 n z2 n 一般地，如一般地，如nN*，有，有i4n=1 i4n+1=i i4n+2=-1 i4n+3=-i三三.正整数指数幂的复数运算律正整数指数幂的复数运算律Z0=1;nnzz10dcbaiiiidcba有有是连续的正整数是连续的正整数若若,例例3：计算：计算 (1+i)2 (1-i)2 例题选讲例题选讲例例4：设：设 ,求证：求证：i2321 1401301121322 )(;)()()(;)(2i-2i.,:,113的三个解为的三个解为方程方程在复数集中在复数集中x复数的乘法也可大胆运复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算用乘法公式来展开运算.复数的
10、除法复数的除法复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足复数的除法是乘法运算的逆运算，即把满足（c+di)(x+yi)=a+bi (c+di0)的复数的复数x+yi叫做复数叫做复数a+bi除以复数除以复数c+di的商，的商，记作记作)()(dicdicdicbia（a+bi）（c+di)或或dicbiadicbia22dciadbcbdac)(idcadbcdcbdac2222 i-i(-12i)/5 1256 i例题选讲例题选讲1.计算：计算：（1+2i)(3-4i);ii11ii1150)12(i i 2002+(+i)822200812)(i 1ii1证明：证明：（1）22)2321()23
11、21(11ii ;0 4323412321 ii22)23(23212)21(2321iii 3313(4)()22i)2321()2321(2ii )2321)(2321(ii 22)23()21(i 14341 例例4：设：设 ,求证：求证：i2321 223(1);(2)1(10)(3)10;(4)1.,:,113的三个解为的三个解为方程方程在复数集中在复数集中x611:13(1)();2213(2)().22ii练习计算(1)1;220121(3)1,1.xxxxx 若求的值(3)013(2).22i223(1);(2)1(10)(3)10;(4)1?.zii zz，则，则满足方程满足方程若复数若复数12例题选讲例题选讲.i.的的平平方方根根求求683练习练习:P65 1,2,3|)3()2(|)1(21212121212121zzzzzzzzzzzzzzRzzRzzzbazzz|)3()2(|10222距离公式）（
