1、第二章静电场内内 容容 概概 要要 1.1.直角坐标系下的通解直角坐标系下的通解 2.2.球坐标系下的通解球坐标系下的通解 3.3.柱坐标系下的通解柱坐标系下的通解 4.4.拉普拉斯方程解的应用拉普拉斯方程解的应用 2.3 2.3 分离变量法解拉普拉斯方程分离变量法解拉普拉斯方程 唯一性定理唯一性定理自由电荷分布在具体的区域内自由电荷分布在具体的区域内大部分空间没有自由电荷分布大部分空间没有自由电荷分布 空间电场空间电场给定电荷分布和边界条件给定电荷分布和边界条件泊松方程泊松方程2泊松方程泊松方程表面作为求解表面作为求解空间的边界空间的边界 产生电场的电荷分布在区域的边界上产生电场的电荷分布在
2、区域的边界上,其作用其作用通过边界条件反映出来通过边界条件反映出来.这类问题的解法是求解拉这类问题的解法是求解拉普拉斯方程的满足边界条件的解普拉斯方程的满足边界条件的解.拉普拉斯方程拉普拉斯方程02区域外可以有电荷，通过边界条件影响内部区域外可以有电荷，通过边界条件影响内部.在无自由电荷的空间区域，泊松方程变成：在无自由电荷的空间区域，泊松方程变成：02拉普拉斯拉普拉斯（Laplace）方程方程拉普拉斯算符：拉普拉斯算符：2直角坐标：直角坐标：zyx2222222柱坐标：柱坐标：zrrrrr22222211球坐标：球坐标：22222222sin1sinsin11rrrrrr1.直角坐标系下的通
3、解直角坐标系下的通解直角坐标中的拉普拉斯方程直角坐标中的拉普拉斯方程0222222zyx zZyYxXzyx,0dd1dd1dd1222222zZzZyYyYxXxX222222222222dd1dd1dd1zZZyYYxXXzyixi22eeexyz =V(x,y)=0 =0=0 x=ay=bz=c 以一个长方盒为例，在以一个长方盒为例，在(x,y,z)方向上的线度为方向上的线度为(a,b,c).除了除了z=c 的面上的面上的势等于的势等于V(x,y)外外,这个盒这个盒的所有其他几个面的势都等的所有其他几个面的势都等于零于零.需要求的是盒内各处需要求的是盒内各处的势的势.由下述必要条件：当由
4、下述必要条件：当x=0,y=0,z=0时时,=0,容易看出容易看出,X,Y,Z必需具有必需具有如下形式：如下形式：)sinh(sinsin22zZyYxX为了确定为了确定 2,2,必须对势加上特殊的边界条件必须对势加上特殊的边界条件.为使为使x=a与与y=b时时,=0,必须有必须有a=n,b=m2222bmanbmannmmnzyxnmmnnmsinhsinsin1,sinhsinsin,mnnmmnnmzyxAzyx边界条件边界条件z=c时时,=V(x,y)1,sinhsinsin,mnnmmnnmcyxAyxVV(x,y)的二重傅里叶展开的二重傅里叶展开 如果长方盒所有六个面的势都不等于零
5、如果长方盒所有六个面的势都不等于零,我们就我们就可以通过六个解的线性叠加可以通过六个解的线性叠加,得到盒内势的解得到盒内势的解.yxyxyVxcabAmnabnmnmsinsin,ddsinh4002.球坐标系下的通解球坐标系下的通解0sin1 sinsin112222222rrrrrr球坐标中的拉普拉斯方程球坐标中的拉普拉斯方程 zxyrP如果多变量函数可以分离：如果多变量函数可以分离：)()()(),(hgrfr0ddsin1ddsinddsin1dddd12222222fghrfhgrghrfrrr或或0ddsin1ddsinddsin1dddd12222hhggrfrrf左边两项分别仅
6、与左边两项分别仅与r和和(,)相关，故两项必须是与变相关，故两项必须是与变量无关的常数，记为量无关的常数，记为和和-，实现，实现第一次变量分离第一次变量分离：)1(dddd12 rfrrf)2(0dd1sinddsinddsin222 hhgg(2)(2)式左边两项分别仅与式左边两项分别仅与和和相关，故为常数，记为相关，故为常数，记为 和和-，实现，实现第二次变量分离第二次变量分离：)3(0)sin(ddsinddsin2 gg)4(0dd22 hh电势的单值性要求，电势的单值性要求，h()应为周期应为周期2 的周期函数的周期函数),2,1,0(2 mm(4)(4)式通解为式通解为mmhcos
7、;sin)()4(0dd22 hh)3(0)sin(ddsinddsin2 gg)5(0)sin(ddsinddsin22 gmg)6(01dd)1(dd222 gzmzgzzcosz缔合勒让德缔合勒让德(Legendre)方程方程缔合勒让德方程，在缔合勒让德方程，在 内具有有限解的条件：内具有有限解的条件：1|z),2,1,0()1(nnn缔合勒让德函数：缔合勒让德函数：)(Pzmn)1(dddd12 rfrrf通解为通解为)1(;)(nnrrrf球坐标下拉普拉斯方程的通解：球坐标下拉普拉斯方程的通解：mrdrcmrbrarmnmnnnmnnmmnmnnnmnnmsin)(cosP cos)
8、(cosP),(,)1(,)1(球坐标下拉普拉斯方程的通解：球坐标下拉普拉斯方程的通解：mrdrcmrbrarmnmnnnmnnmmnmnnnmnnmsin)(cosP)(cos)(cosP)(),(,)1(,)1(若系统具有轴对称性，取对称轴为若系统具有轴对称性，取对称轴为z轴，轴，00m)(cosP),()1(nnnnnnrbrarnnnnnxxnxxxxxx)1(dd!21)(P)13(21)(P )(P 1)(P22210勒让德函数勒让德函数Rba 若问题具有若问题具有球对称性球对称性3.柱坐标下的通解柱坐标下的通解)(ln(0000DCrBA二维问题的解：二维问题的解：nnnnnnn
9、nDnCrBrA)sincos)(或写成：或写成：rDCrBAlnln0000nnnnnBnAr）cossin(cossin(）nDnCrnnn若二维问题又具有轴对称性，则电势与若二维问题又具有轴对称性，则电势与无关无关rBAln一般用于二维问题一般用于二维问题.4.拉普拉斯方程解的应用拉普拉斯方程解的应用分离变量法的解题步骤：分离变量法的解题步骤：根据界面的形状选择适当坐标系根据界面的形状选择适当坐标系.建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通解解.写出边界条件和衔接条件写出边界条件和衔接条件(即不同区域分界面即不同区域分界面上上的边值关系的边值关系)
10、.根据定解条件，求出通解中的积分常数根据定解条件，求出通解中的积分常数.将将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际求出的积分常数代入通解表达式，得到实际问题的解问题的解.关键步骤：关键步骤：充分利用对称性，写出简单的通解充分利用对称性，写出简单的通解.正确写出边界条件，不能有遗漏正确写出边界条件，不能有遗漏.例例1 一个内径和外径分别为一个内径和外径分别为R2和和R3的导体球壳的导体球壳,带电荷带电荷Q,同心地同心地包围着一个半径为包围着一个半径为R1的导体球的导体球(R1R2).使这个导体球接地使这个导体球接地,求空求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷间各点的电势和这个导体球的感应电荷.边
11、界条件为：边界条件为：)(/31RRRba有球对称性有球对称性,电势不依赖于角度电势不依赖于角度,n0.02221121223321dd|0|QRRRRRRRRRRRRRRR(1)内导体球接地内导体球接地(2)导体是等势体导体是等势体(3)球壳总电荷球壳总电荷Q 解：解：导体壳内的电势为导体壳内的电势为导体壳外的电势为导体壳外的电势为)(/122RRRRdc把电势表达式代入边值条件把电势表达式代入边值条件,联立方程求解联立方程求解,得得)(114)(41210123011RRRRRQRRRQQQRRRRQ131211131其中其中导体球上的感应电荷为导体球上的感应电荷为12201dQRRRR轴
12、对称轴对称(z轴轴)，分区均匀，分区均匀解：解：)()(cosP)(),(00)1(outRrrbrarnnnnnn介质球外：介质球外：介质球内：介质球内：)()(cosP)(),(00)1(inRrrdrcrnnnnnnz例例2 电容率为电容率为 的介质球置于均匀外电场的介质球置于均匀外电场 中中,求电势求电势.0E)()(cosP)(),()()(cosP)(),(00)1(in00)1(outRrrdrcrRrrbrarnnnnnnnnnnnn边界条件边界条件:,)1(00kEEEr)1,0(0 ,01naEancos0000outrEzE0)1(100out)(cosP)(cosP),
13、(nnnnrbrEar有限in ,0 )2(r0nd0in)(cosP),(nnnnrcr)()(cosP),()()(cosP)(cosP),(00in00)1(100outRrrcrRrrbrEarnnnnnnnn(3)边界连接条件边界连接条件:)(,0inout0outinRrrr000)1(01000)(cosP)(cosP)(cosPnnnnnnnnRcRbREa11000)2(010)(cos)(cos)1()(cosnnnnnnnnPRncPRbnPE比较比较 的各阶系数，可以将各系数确定的各阶系数，可以将各系数确定.)(cosPn000)1(01000)(cosP)(cosP)
14、(cosPnnnnnnnnRcRbREa11000)2(010)(cosP)(cosP)1()(cosPnnnnnnnnRncRbnE0 020001000RbcRban0000cab10301001200002 1cRbERcRbREn0001300001232EcREb100)2(00)1(0)1(2nnnnnnnnRncRbnRcRbn00nncb系数行列式非零系数行列式非零空间电势：空间电势：)(cos23),()(cos2cos),(00000in023000000outRrrEcrRrrRErEcr介质球内为均匀电场：介质球内为均匀电场：000in23EE球内极化强度：球内极化强度
15、：0000in0in0e2)(3)(EEEP球内总极化电偶极矩：球内总极化电偶极矩：030000304234ERPRp3041rrpp偶极子产生的电势：偶极子产生的电势：解：解：)(),()()(cosP)(cosP),(00in00)1(100outRrcrRrrbrEarnnnn边界连接条件：边界连接条件：)(0out0outinRrr00)1(01000)(cosP)(cosPcRbREannnn)2(0 020100nbERbcann表面电荷密度：表面电荷密度：空间电势：空间电势：coscos),(230000outrRErEcrcos300out00ErRr03004ERp3041r
16、rpp静电情况下，导体相当于介质静电情况下，导体相当于介质.例例3 半径为半径为R0的导体球置于均匀外电场的导体球置于均匀外电场 中，求电势中，求电势和导体上的电荷密度和导体上的电荷密度.0E例例4 导体尖劈带电势导体尖劈带电势V,分析它的尖角附近的电场分析它的尖角附近的电场.用柱坐标系用柱坐标系.取取 z 轴沿尖边轴沿尖边.设尖劈以外的空间设尖劈以外的空间,即电场存在的即电场存在的空间为空间为0 2-(为小角为小角).因因 不依赖于不依赖于z,柱坐标下的拉氏方程柱坐标下的拉氏方程为为 011222rrrrr可得其通解为可得其通解为:sincosln0000DCrBrADCrBA由边界条件由边
17、界条件:劈尖劈尖=0面上面上,=V,与与r无关无关,所以所以0 0 ,0 ,000CBVCA解：解：因因r 0时时?有限，得有限，得 00BB在尖劈在尖劈=2-面上，面上，=V与与r无关，必须无关，必须因此因此v的可能值为的可能值为02sin00，D212,n nn考虑这些条件，考虑这些条件，可以重写为可以重写为nnnnrAVsin在尖角附近在尖角附近r 0，上式求和式的主要贡献来自，上式求和式的主要贡献来自r的的最低次幂项，即最低次幂项，即n=1项项11sin1rAV 电场为电场为11111111cos1sin11rArErArEr尖劈两面上的电荷面密度为尖劈两面上的电荷面密度为11100001 2 0 rAEEEn很小时,v1趋于1/2，电荷面密度很大，趋于r-1/2.作作 业业2 3 6
