1、第五章多元函数微分学及其应用 推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同第一节第一节 n n维维EuclidEuclid空间中空间中 点集的初步知识点集的初步知识 第五五章 1.2 中的点列的极限中的点列的极限1.1 n n维维EuclidEuclid空间空间 1.3 中的开集与闭集中的开集与闭集1.4 中的紧集与区域中的紧集与区域121 2(,)|,nniRxx xxxR in 1.1、n n维维E Eu uc cl li id d空空间间1212(,),(,),nnnnxx xxRyyyyRR 设设121 2(,)(,)
2、nixx xxxR in 1.1 n n维维EuclidEuclid空间空间规定：规定：1122(,),nnxyxy xyxy加法加法数乘数乘12(,)nxxxx ,kx A 成为一个成为一个n n维实向量空间。维实向量空间。若定义内积若定义内积1,niiix yx y 成为一个成为一个n n维维EuclidEuclid空间。空间。,kx A 中的长度：,kx A 22212|,nxx xxxx 2221122(,)|()()()nnx yxyxyxyxy 1.2 中的点列的极限中的点列的极限定义定义1.11.1 设设 是是 中的一个点列，其中中的一个点列，其中kx ,kx A 12,(,),
3、kkkk nxxxx 又设又设|;kxM 恒恒有有,kx A 是是中的中的一固定点，一固定点，若当若当 时，时，,0NN0(,),kxa 即即使得使得a 则称点列则称点列kx 的极限存在，的极限存在，且称且称l i m.k kkx ax a k 或或（）为它的极限，记作为它的极限，记作12,xxA ，kx 这时也称点列这时也称点列收敛于收敛于.a 定理定理1.11.1则则,naR 点点设点列设点列,nkxR 1 2lim,kkxain 都有都有定理定理1.21.2设设 是是 中的收敛点列，则中的收敛点列，则a ,kx A (1)(1)点列点列|,Mx的极限唯一；的极限唯一；(2)(2)是有界点
4、列，是有界点列，(,)|nU ax R x a ,0)(NkRM使得即,kkxa yb ,.kkxya b(3)(3)若若 ,kkkx ya b xa 则则kx(4)(4)若若 收敛于收敛于 ，则它的任一子列也收敛于，则它的任一子列也收敛于a.a kx 定理定理1.31.3,kx A 中的有界点列必有收敛子列中的有界点列必有收敛子列.,kx A (中的点列中的点列 的收敛子列的极限也称为的收敛子列的极限也称为 的极限点）的极限点）,0MA设设 是是 中的点列，若中的点列，若kx ,kx A 使得使得则称则称 是是 中的中的基本点列基本点列或或CauchyCauchy点列点列.kx ,kx A
5、定理定理1.41.4,kx A 中点列中点列 收敛于收敛于 中的点中的点kx ,kx A 是是 中的中的CauchyCauchy点列点列.na R ,kx A 定义定义1.21.2则称则称 为为a 设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，A,kx A ,aA 若存在若存在A中的点列中的点列1 2(,)kkxxa k，使得使得kxa，A的的聚点聚点.A的所有聚点构成的集合称为的所有聚点构成的集合称为 的的导集导集.A记作记作.A集合集合 称为称为 的的闭包闭包.AAAAkx 若若但但,aA A则称则称 为为a 的的孤立点孤立点.,AA 若若则称则称 为闭集为闭集.A注：注：(1)(1)集合集合
6、的聚点一定属于的聚点一定属于 吗？吗？AA(2)(2)什么样的集合对极限运算封闭？什么样的集合对极限运算封闭？1.3 中的开集与闭集中的开集与闭集kx 定义定义1.31.3 设设0,naR 称点集称点集，称，称为以为以 为中心、为中心、为半径的为半径的开球开球或或 邻域邻域，NoImagenaR ，NoImage(,)(,)U aU aa 为点为点 的的去心去心 邻域邻域.a 注：注：收敛于收敛于 可以描述为：可以描述为：a 点列点列kx 使得使得,().kkNxU a 恒恒有有，定理定理1.51.5 设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，A,kx A naR ，则则12 (,),kkx x
7、 akn ，kx 即即 为为a A的聚点的聚点证证：(,).kxU a 存在存在 中的点列中的点列 Aa 且且,1kk使得使得恒有,Nk 即即0,(,).UaA 的任意去心邻域包含的任意去心邻域包含 中的点中的点.aA 设设A当且仅当当且仅当.aA 于是由0,(,).UaA lim.kkx a ,Nk取a(,)Ua 且kx 于是lim.kkxa 注：注：若若 则则 为闭集。为闭集。nRA A单点集和有限集都是闭集。单点集和有限集都是闭集。定义定义1.41.4 设设,.nnARaR 的内点的内点.则称则称 是集是集 ,0 0,(,).U aA (1)(1)若存在若存在 使使 A(,),U aA
8、由由 的所有内点构成的集合称为的所有内点构成的集合称为 的的内部内部，a a 记作记作Aext(2)(2)若存在若存在 使使 ,0aA 则称则称 是集是集 a 定理定理1.51.5 设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，A,kx A (,),UaA 则则aA(,),kkxUaA 即即 为为0,(,).U aA A的聚点的聚点 的任意去心邻域包含的任意去心邻域包含 中的点中的点.a A当且仅当当且仅当,xA 的外点的外点.由由 的所有外点构成的集合称为的所有外点构成的集合称为 的的外部外部，a a 记作记作(3)若对任何 A也含有不是 中的点，0,(,).U aA 由 的a;int AA 或记
9、作 ,|,k PkkN pN xx 及及恒恒 有有中既含有 中的点，a 则称 是集 的边界点.,A a 所有边界点构成的集合称为 的边界，a 注：,extAAARn且三者不交。对于对于 中的任一点集中的任一点集 必有必有nRA.AAA特别的，开球与它的边界之并称为特别的，开球与它的边界之并称为闭球闭球。例例1.21.2AnRa AAA定义定义1.5 1.5 设设 A，若，若 即即A A中的点全是中的点全是 0AAA A的内点，则称的内点，则称A A为开集为开集.定理定理1.61.6 A是开集是开集 cA是闭集是闭集.注：注：nR中的开区间中的开区间121 2(,)(,)|,nniiia bxx
10、 xxRaxb in nR中的闭区间中的闭区间121 2,(,)|,nniiia bxx xxRaxb in 注：一个点集是不是注：一个点集是不是“非开即闭非开即闭”？定理定理1.71.7 在在n n维维EuclidEuclid空间空间 中中,开集有下列性质：开集有下列性质：kx(1)(1)空集空集与空间与空间 是开集；是开集；kx(2)(2)任意多个开集的并是开集；任意多个开集的并是开集；(3)(3)有限多个开集的交是开集有限多个开集的交是开集.利用对偶原理：利用对偶原理：(1)(1)空集空集与空间与空间 是闭集；是闭集；kx(2)(2)任意多个闭集的交是闭集；任意多个闭集的交是闭集；(3)
11、(3)有限多个闭集的并是闭集有限多个闭集的并是闭集.1.4、中的紧集与区域中的紧集与区域设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，A,kx A 若存在一个常数若存在一个常数使得对于所有的使得对于所有的 都有都有A,|,kk Nx a 恒恒 有有则称则称 是有界集。是有界集。A否则称为无界集否则称为无界集.定义定义1.61.6 设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，A,kx A 若若 是有界是有界A闭集，则称闭集，则称 为紧集。为紧集。A定义定义1.71.7 设设 是是 中的一个点集，中的一个点集，A,kx A 若若 中的任意中的任意A连通的开集称为区域连通的开集称为区域.两点两点 都能用完全属
12、于都能用完全属于 的有限个线段连接起来，则的有限个线段连接起来，则,x y A称称 是连通集是连通集.A区域与它的边区域与它的边界的并称为闭区域界的并称为闭区域.12(,)naaaa 设 是 中的一个点集，A,kx A 若连接 中的任意两点的A线段都属于 ，即若A.A则称 是 中的凸集.A,kx A 凸集都是连通的.则121(),txt xA 0,1t 欧几里得 中文名：中文名：欧几里得 外文名：外文名：希腊文：?国籍：国籍：希腊 出生日期：出生日期：公元前300年（在世时期）职业：职业：数学家 主要成就：主要成就：欧几里得几何 代表作品：代表作品：几何原本，已知数，圆形的分割，反射光学，现象，光学欧几里德空间(Euclidean Space)：简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的空间。这是有限维、实的内积空间的“标准”例子。欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。
