1、三平面与圆锥面的截线三平面与圆锥面的截线 1理解圆锥面的概念2了解圆锥面被平面截得的圆锥曲线的各种情况底面底面为圆为圆截痕截痕为圆为圆截面截面截面截面与圆锥与圆锥的高垂直時的高垂直時截痕为圆截痕为圆V(頂頂点点)H圆锥圆锥高高VH 如果用一个平面去截一个正圆锥如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可两边可以无限延伸以无限延伸),而且这个平面不通过圆锥的顶而且这个平面不通过圆锥的顶点点,会出现三种情况会出现三种情况:底面底面为圆为圆正圆锥面截面截面截痕截痕为椭圆为椭圆截面截面与圆锥与圆锥面的高不垂面的高不垂直直時截痕可能時截痕可能为为一一个椭圆个椭圆正圆锥正圆锥高高V(顶点顶点)HVH底底为圆为圆正
2、圆锥正圆锥面面截面截面圆锥圆锥高高VH截痕截痕为抛物线为抛物线截面截面与圆锥与圆锥的母的母线线平行時其平行時其截面为抛物线截面为抛物线圆锥母线底面底面圆圆正圆锥正圆锥面面截痕截痕为双曲线为双曲线截面截面截痕截痕为双曲线为双曲线定理定理2 在空中，取直线在空中，取直线 为轴，直线为轴，直线 与与 相交相交于于O点点,夹角为夹角为 ，围绕围绕 旋转得到以旋转得到以O为顶点，为顶点，为母线的圆锥面。任取平面为母线的圆锥面。任取平面,若它与轴若它与轴 的交角的交角为为 （当（当 与与 平行时，记平行时，记 =0），则），则llllllll(1),平面平面与与圆锥的交线为圆锥的交线为椭圆椭圆;(2)=,
3、平面平面与与圆锥的交线为圆锥的交线为抛物抛物线线;(3),平面平面与与圆锥的交线为圆锥的交线为双曲双曲线线。ll圆锥圆锥面面截面截面內切大球面內切大球面內切小球面內切小球面大球的切点(焦点)小球的切点(焦点)球面与锥面相切球面与锥面相切由截面截出的椭圆椭圆焦点的产生1F2FP2Q1Q1S2S113图图.的证明下面给出交线为椭圆时.,及圆锥均相切与平面并且的下方一个位于平面的上方一个位于平面双球在圆锥内部嵌入同的证明相与定理如图Dandelin1113.,.,2121SSFF、与圆锥相切于圆、点分别为的切设两个球与平面闭曲线与圆锥的交线是一个封平面由上面的讨论可知时当1F2FP2Q1Q1S2S1
4、13图图.,.,1111221121PQPFPPQPFQSQSPPFPFP因此线到上方球的两条切是从和于是于交于作母线交过、连接点在截口的曲线上任取一.,.21212122QQPQPQPFPFPQPF所以同理.,为焦点的椭圆、是以由此可知截口的曲线的位置无关与点长度段的所在平行平面间的母线、等于两圆长度由正圆锥的对称性212121FFPSSQQ 13 12,1;2.PFm探究如图找出椭圆的准线探讨 到焦点的距离与到两平面交线 的距离之比.,.,.,.,上的射影在平面是则连接垂足为的垂线作过垂足为的垂线作中过在连接在椭圆上任取一点线为的交与设所在的平面为记圆球与圆锥的交线为圆上面一个如图PAAB
5、ABBPAmPPFPmSSDandelin1123P1FAB1QSm123图图故容易证明.,ABm.交成的二面角的平面角与平面是平面PABP1FAB1QSm123图图 1.cos,PAPBAPBABPRt所以中在 21111.cos,PQPBPBQBPQRtQSP所以中则在点交于的母线与圆设过 因为得由.coscosPAPF121.coscos,coscos,1201PAPF则故P1FAB1QSm123图图.,coscos,coscos,轴所成角的余弦之比轴所成角的余弦之比的余弦与圆锥的母线和的余弦与圆锥的母线和面和圆锥的轴的交角面和圆锥的轴的交角即椭圆的离心率等于截即椭圆的离心率等于截离心率
6、为离心率为因此椭圆的因此椭圆的数数准线的距离之比为常准线的距离之比为常点到焦点的距离与到点到焦点的距离与到椭圆上任一椭圆上任一准线为准线为椭圆的椭圆的由上所述可知由上所述可知em.,下双曲线的结构特点下双曲线的结构特点讨论一讨论一结构特点的思路结构特点的思路我们延用讨论椭圆我们延用讨论椭圆最后最后.,.,2121133SSFFelinDand、截得的圆分别为与圆锥两部分、分别是的两个切点与平面球锥的两部分分别嵌入在圆与圆锥的两部分相交平面时当如图则则、分别与两个球切于分别与两个球切于作母线作母线的顶点的顶点和圆锥和圆锥过过、连接连接在截口上任取一点在截口上任取一点,.,2121QQOPPFPF
7、P133图图1F2FP2Q1QO1S2S.|.,2121212211QQPQPQPFPFPQPFPQPF所以.,长为定值的因此母线段长所在平行平面之间的、为两圆由于212121QQSSQQ.:,常数常数的距离之差的绝对值为的距离之差的绝对值为即双曲线的两个焦点即双曲线的两个焦点任意一点到两个定点任意一点到两个定点双曲上双曲上的结构特点是的结构特点是双曲线双曲线由上所述可知由上所述可知133图图1F2FP2Q1QO1S2S圆锥圆锥面面截面截面含切点圆的平面(切点面)截面与切点面交线(准线)拋物线焦点的产生由截面截出的拋物线对称轴內切球面內切球面球面与圆锥面相切(切点圆)球的切点(焦点)ABCPD
8、l问题：当问题：当 与与 满足什么关系时满足什么关系时（1）与与AB（或（或AB的延长线），的延长线），AC都相交都相交l（2）与与AB不相交不相交l（3）与与BA的延长线，的延长线，AC都相交都相交l(1),与与AB(或或AB的延长线的延长线)、AC都相交。都相交。l(2),与与AB不相交。不相交。l(3),与与BA的延长线、的延长线、AC都相交。都相交。llFEABCPDG1圆锥的顶角为60，截面与母线所成的角为60，则截面所截得的截线是()A圆B椭圆C双曲线 D抛物线2圆锥的顶角为50，圆锥的截面与轴线所成的角为30，则截线是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线A B C 4用一个平面去截
9、一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：_、_、_和_5用平面截球面和圆柱面所产生的截线形状分别是_、_.1圆椭圆抛物线双曲线2圆圆或椭圆1如图1，AD是等腰三角形底边BC上的高，BAD,直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为 ，则：02(1)_，l与AB(或AB的延长线)、AC相交(2)_，l与AB不相交(3)_，l与BA的延长线、AC都相交2在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于点O，夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点l为母线的圆锥面任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记0)，则(1)_，平面与圆锥的交线为椭圆(2)_，平面与圆锥的交线为抛物线(3)_，平面与圆锥的交线为双曲线1(1)(2)(3)2(1)(2)(3)
