1、第三节第三节 能量量子化、声子能量量子化、声子 3.3.1 3.3.1 能量量子化能量量子化本节主要内容本节主要内容:3.3.2 3.3.2 声子声子晶格晶格振动振动格波格波简谐简谐近似近似独立的振独立的振动模式动模式由由B-K边界条件边界条件q分分立值立值声子声子晶格振动能晶格振动能量量子化量量子化3.3.1 能量量子化33 qxn11 q22 q一维单原子链的情况一维单原子链的情况 naqti)t,q(nAx einaq)t(q)t,q(nAxe 由玻恩由玻恩-卡门卡门周期性边界条件：周期性边界条件：q可以取可以取N个值个值。3.3 能量量子化 声子 qinaqtqnAtxe)()(根据经
2、典力学，系统的总能量为势能根据经典力学，系统的总能量为势能U和动能和动能T之和。之和。212.)(221 nnnnnxxxmUTH,2122 qqqQ 21)(2 nnnxxU 则：则：2.21 nnxmT2.21 qqQ qinaqqn,tQNmtx)e(1)(令令拉格朗日函数：拉格朗日函数：UTL qqqqQQ222.21 推导略推导略 qinaqqn,tQNmtx)e(1)(qinaq*q*n,tQNmtx)e(1)(Xn(t)是实数，是实数，)()(*tQtQqq (1)证明：证明：)t(Q)t(Q*qq )()(*txtxnn qinaqqn,tQNmtx)e(1)(qinaqqn,
3、tQNmtx)e(1)(2)证明：证明：qn,naqnninq,q)qqinaNN )(e1e1若若,qq sNaq2 sNaq 2hlNa)ss(Naqq 22l,s,s 均为整数。均为整数。niahiNahNnniahNninahqqinaNNNNe1e11)(e1e1e11010)(0e1e1122 lNaialNaiNaN,qq 1e1)(nqqinaN2.21 qqQ2.21 nnxmT qinaqq.n.,tQNmtx)e(1)(nqqinaqq.qinaq.,tQtQNT)e()e(21 qnqqinaqq.q.,NtQtQ)(e1)()(21 qqqqqqtQtQ,)()(21
4、,.qqqtQtQ)()(21.qqqtQtQ)()(21.*.)()(*tQtQqq 21)(2 nnnxxU qinaqqaqniqnqqinaqqaniqtQtQtQtQNm)e()e()e()e(2)1()1(ninaqaqniqinaqaniqqqqN)t(Q)t(Qmeeee12)1()1(nqqinaiaqqqinaqiaqqina)qq(a)n(iqqqqN)t(Q)t(Qm)()()(1eeeeee12 nqqinaiaqqqinaqiaqqinaqqaniqqqqNtQtQm)()()()()1(eeeeee1)()(2 q,qiaqqiaqqqqtQtQm ee11)()
5、(2 qqqaqtQtQmcos22)()(2 2sin4)()(212*aqmtQtQqqq ,2122 qqqQ qiaqiaqqqtQtQmee11)()(2 qqqqQQ222.21 广义动量：广义动量：qqQLP.qQ.哈密顿函数：哈密顿函数：qqqLPHQ.又：又：qqQHP .qQ.qqQ2 02.qqqQQ kmoxXmaf .xmkx 0.xmkx02.xx 谐振子的振动方程谐振子的振动方程据量子力学，频率为据量子力学，频率为 i的谐振子的振动能：的谐振子的振动能：iiinE )21()(由由N个原子组成的一维单原子链的振动等价于个原子组成的一维单原子链的振动等价于N个谐振子
6、个谐振子的振动的振动，谐振子的振动频率就是晶格振动频率谐振子的振动频率就是晶格振动频率。iNiinE 121晶格振动能量：晶格振动能量：三维晶格振动的总能量为：三维晶格振动的总能量为：inNiinE 3121其中其中N为晶体中的原胞个数为晶体中的原胞个数,n为每个原胞中的原子个数为每个原胞中的原子个数。格波格波(晶格振动晶格振动)的能量量子的能量量子-声子。声子。晶格振动的能量是量子化的，能量单位为晶格振动的能量是量子化的，能量单位为 。3.3.2 声子声子不是真实的粒子，称为声子不是真实的粒子，称为“准粒子准粒子”，它反映的是晶格原子，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶
7、体中，脱离晶体后集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后就没有意义了。就没有意义了。1.声子是晶格振动的能量量子，其能量为声子是晶格振动的能量量子，其能量为 ，“准动量准动量”为为 。q 2.一个格波一个格波(一种振动模式一种振动模式)，称为一种声子，称为一种声子(一个一个，q就是就是一种声子一种声子)，当这种振动模式处于，当这种振动模式处于 本征态时，称为本征态时，称为有有ni个声子，个声子，ni为这种声子的声子数为这种声子的声子数。iin 21 3.由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻色型的准粒子，遵循玻色统计。色型
8、的准粒子，遵循玻色统计。1e1B Tkiin 4.当电子当电子(或光子或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以与晶格振动相互作用时，交换能量以 为单位，若电子从晶格获得为单位，若电子从晶格获得 能量，称为吸收一个声子，若能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格电子给晶格 能量，称为发射一个声子。能量，称为发射一个声子。在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互作用。而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种作用。而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态。非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状
9、态。思考题2：温度一定，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多思考题1：什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？思考题3：在绝对0度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗思考题1：什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？解答：为使问题简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互相作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似为简谐近似。在简谐近似下，由N个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式成为简正
10、振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动形式。原子的振动，或者说格波的振动通常是这3N个简正振动模式的线性叠加。简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶格中所有原子的自由度之和，级等于3N。思考题2：温度一定，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？解答：频率为的格波的平均声子数为1e1BTkiin因为光学波的频率O比声学波频率A高，1eBTko大于1eBTkA因此在温度一定的情况下，一个光学波的声子数目少于一个光学波的声子数目。思考题2：对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多解答：设温度THTL，由于1eBHTk小于1eBLTk所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。思考题3：在绝对0度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗解答：频率为i的格波的振动能为,)21(iiinin其中iin是由 个声子携带的热振动能，是零点i21振动能，声子数1e1BTkiin绝对零度时，0in频率为i的格波的振动能只剩下零点振动能。格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的。绝对零度时，声子消失，格波间不再交换能量。
