1、第六章 平面向量及其应用6.2.46.2.4向量的数量积向量的数量积如图，一个物体在力如图，一个物体在力F F的作用下产生位移的作用下产生位移s s，且力的方向与位移的方向的夹角，且力的方向与位移的方向的夹角为为，则力，则力F F所做的功为：所做的功为：Fs cosWFs 情境引入情境引入:在物理中，我们学过力做的功的概念功是一个标量，它由力和位移两个量来确定。受此启发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量已知两个非零向量 ，O是平面上的任意一点，作是平面上的任意一点，作 ，则，则 叫做向量叫做向量 与与 的夹角。的夹角。,ab,OAa OBb (0)AOBab0a b B向量的夹角
2、OABba。同向时与当00,ba。反向时，与当0180baaOABb向量 与 的夹角的取值范围为：a b baba记作垂直与称时当,900 BOAba 规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0.0.向量数量积的定义：向量数量积的定义：00a即cosa ba b 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把数量叫做，我们把数量叫做 与与 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作 ，即，即ababab两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？1、向量的线性运算的结果是向量，但两个向量的数量积却是一个数
3、量，而不是向量，其大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定。2、在书写数量积时，与 之间用实心圆点“”连接，不能写成“”,更不能省略。ab例例9 已知已知|a|=5，|b|=4，a与与b的夹角的夹角=120，求，求ab。解：解：ab=|a|b|cos=54cos120 =54（-1/2）=105422cos1292a ba b 0,34解：解：例例10 设设 ，求，求 与与 的夹角的夹角 。12,9,542aba b ab例题讲解：例题讲解：探究探究1:向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？候为负？cosa
4、 ba b 当当 时，时，为正；为正；090ab当当 时，时，为零。为零。90ab当当 时，时，为负；为负；90180abCD 投影向量投影向量 如图，设如图，设 是两个非零向量，是两个非零向量，我们考虑如下的变换：，我们考虑如下的变换：过过 的起点的起点A和终点和终点B，分别作，分别作 所在直线的垂线，垂足分别为所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得，得到到 ，我们称上述变换为向量，我们称上述变换为向量 向向量向向量 投影，投影，叫做向量叫做向量 在向量在向量 上的上的投影向量。投影向量。,ABa CDb 11AB,a b abAB 11A B ab如图，我们可以在平面内任取一点O，做OM
5、=a ，ON=b 。过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量 a 在向量 b 上的投影向量。探究探究21OMe显然，显然，与与 共线，于是共线，于是 1OMe下面探讨下面探讨 与与 的关系，进而给出的关系，进而给出 的明确表达式。的明确表达式。,a1OM如下图如下图，设与，设与 方向相同的单位向量为方向相同的单位向量为 ，与与 的夹角为的夹角为 ，那么，那么 与与 之间有怎样的关系？之间有怎样的关系？beba1OM,e a N当当 为钝角时，为钝角时，与与 方向相反，所以方向相反，所以1OMe当当 为锐角时，为锐角时，与与 方向相同，方向相同，所以，所以1OMe1cosOMa11c
6、osOMOM eae 当当 为直角时，为直角时，所以，所以010cos2OMae11cosOMaMOM cos()cosaa 1cos2OMae即即当当 时，时，所以，所以0a1cos0OMa eae 当当 时，时，所以，所以a 1cosOMa eae 从上面的讨论可知，对于任意的从上面的讨论可知，对于任意的 ，都有，都有0,1cosOMaeab ab0aaa2a2或a .2 2：当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？平面向量数量积的运算性质当当a与与b同向时，同向时，abab；1、设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？当a与b反
7、向时，abab；3、当a与b同向时，2、0baba4、baba重要结论重要结论设 a 与 b 都是非零向量，他们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则：1、ae=ea=|a|cos|ab|=|a|b|当a与b反向时，|ab|=-|a|b|特别地，aa|a|2 或|a|=(1)(2)()()()(3)()a bb aaba bababca cb c 数量积的运算律数量积的运算律探究：探究：对于非零向量a，b，c，(ab)c有意义吗？(ab)c与a(bc)相等吗？为什么？(ab)c a(bc)例例 11：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.(ab)a(ab
8、)ba22abb2.aabaabbb证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.例例12解解:222222(1)236cos606166 46 4722ababaa bbaa bb .|)2();3()2()1(60,4|,6|bababababa，求的夹角为与已知2222(2)|()()22|cos602 19abababaa bbaa bb 0bkabkabkabka互相垂直与解解:222bkabkabka又2222169kbka43 k例例13 已知已知 ，且，且 与与 不共线，当不共线，当k为为何值时，向量何值时，向量 与与 互相垂直？互相垂直？3,4abakbakbab
