1、二、立体的体积二、立体的体积 三、简单的经济应用三、简单的经济应用 第四节 定积分的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积 由由平平行行截截面面面面积积求求体体积积求求简简单单的的旋旋转转体体的的体体积积 由由边边际际函函数数求求总总函函数数一、平面图形的面积一、平面图形的面积所围成的平面图形面积所围成的平面图形面积连续曲线连续曲线轴及轴及，由直线由直线)()(bxaxfyxbxax情形情形(1)(1)abOxy)(xfy d baSf xx()yabOx)(xfy y)(xfy abOxd baSf xg xx()()所围成的平面图形面积所围成的平面图形面积及及，连续曲线，连续曲线，由直线
2、由直线)()()(bxaxgyxfybxax情形情形(2)aboxy)(xgy )(xfy 所围成的平面图形面积所围成的平面图形面积及及，连续曲线，连续曲线，由直线由直线)()()(dycyxyxdycyd dcSy yy()()情形情形(3)cdoxy()xy()xy oxydc()xy()xy 一般步骤：一般步骤：作草图作草图 确定积分变量、积分限及被积函数确定积分变量、积分限及被积函数 计算定积分计算定积分例例1 1.)0,0(12222的面积的面积求椭圆求椭圆 babyaxxyOab SS14 aSdx10 xba221 xatsin 20btcosatdtcos abtdt 220c
3、os tabdt 201cos22abtt 20sin222 ab 4ab 例例2 2.22所围平面图形的面积所围平面图形的面积，求由曲线求由曲线yxxy xyOxy 2xy 1 Sxxdx120|xxdx120()xx133202133 13.20cossin所围成图形的面积所围成图形的面积，及直线及直线，求由曲线求由曲线 xxxyxy例例3 3xyOxysin xycos 24 Sxx dx 20|sincos|xx dx 40(cossin)xx 40sincos xx dx 24(sincos)xx 24cossin21 (1)(2)2(21)例例4 4.图形的面积图形的面积所围成所围
4、成与直线与直线求由曲线求由曲线1122xyxyxyO1 xy122 xy3421 1)3,4(1 1xyO Sxxdx41221(1)xxdx4021(1)xxdx01221(21)S1S2SSS12 xxdx41221(1)xy1 yx2124 1xyO3 ySydy231112 yyy332113226 163围围成成图图形形面面积积。及及直直线线求求由由曲曲线线例例215.yxyxy,(1,1)21xyxy Oxy 12112122Sdxx dxx211Sydyy 3ln22 2122.:1(01):.LyxxxyLyaxaa 例例设设曲曲线线，轴轴和和轴轴所所围围区区域域被被曲曲线线分
5、分为为面面积积相相等等的的两两部部分分，其其中中为为大大于于零零的的常常数数，试试确确定定的的值值xyO21xy 2axy 1S2S1221yaxyx 11,()11xxaa舍舍 1221101aSxaxdx 113013aaxx 231a 121201SSxdx 13013xx 23 21 22 331a 12a 3a 二、立体的体积二、立体的体积的的立立体体体体积积续续函函数数平平行行截截面面面面积积是是已已知知连连)(.xA1，求求该该立立体体体体积积。的的连连续续函函数数积积为为轴轴的的平平面面所所截截的的截截面面面面于于之之间间，若若该该立立体体被被垂垂直直与与轴轴的的两两平平面面直
6、直设设有有一一空空间间立立体体位位于于垂垂)()(xAxxbabxaxx(1)分分割割,bxxxxanbann110份，份，任意分成任意分成将将max,iniiiixxxxx11记记abix1ix(2)近近似似,()(充分小充分小iiiixxAAhV(3)求求和和)()(充分小充分小xxAVVniiinii11(4)取取极极限限niiixxAV10)(lim)(xAxxAbad)(),iiixx12222226.1(,0).xyza b cabc例例求求椭椭球球的的体体积积zxyabcx,xa a 解解：时时，2222221yzxxbca在在 处处截截面面为为222222221(1)(1)yz
7、xxbcaa也也即即22()(1)xS xbca其其面面积积为为22()(1)aaaaxVS x dxbcdxa椭椭球球体体积积32()3aaxbc xa 43abc 旋旋转转体体的的体体积积.2 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台轴旋转一周形成的立体轴旋转一周形成的立体轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕以及以及，由连续曲线由连续曲线xxbxaxbxaxfy,)()(情形情形(1)(1)xyO()yf x abx dbxaVx d2()bafxx 2(
8、)fx轴旋转一周形成的立体轴旋转一周形成的立体围成的平面图形绕围成的平面图形绕以及以及，由连续曲线由连续曲线xbxaxbxaxgxfxgyxfy,),)()()()(0情形情形(2)(2)xyO()yf x()yg x abx d()bxaVx d22()()bafxgxx 22()()fxgx xyO)(yx cd轴旋转一周形成的立体轴旋转一周形成的立体轴围成的平面图形绕轴围成的平面图形绕以及以及，由连续曲线由连续曲线yydycydycyx,)()(情形情形(3)(3)d2()dycVyy xyO)(yx cd轴旋转一周形成的立体轴旋转一周形成的立体围成的平面图形绕围成的平面图形绕以及以及，
9、由连续曲线由连续曲线ydycydycyyyxyx,),)()()()(0情形情形(4)(4)xyOcdd22()()dycVyyy (),()yf xxxa xbaxby由由连连续续曲曲线线，轴轴以以及及围围成成的的平平面面图图形形绕绕轴轴旋旋转转一一周周形形成成的的立立体体情形情形(5)(5)*xyOab2|()|baVxf xdx 22227.1.xyxyab 例例求求椭椭圆圆分分别别绕绕 轴轴和和 轴轴旋旋转转形形成成的的体体积积xyabO Ox绕绕 轴轴旋旋转转：22()1xyf xba d2()axaVfxx d2221aaxbxa 3223aaxbxa 243ab y绕绕 轴轴旋旋
10、转转：22()1yxyab d2()bybVyy d2221bbyayb 3223bbyayb 243a b abxyO O.30,1.yxyxxy 例例 求求由由曲曲线线与与直直线线所所围围平平面面图图形形分分别别绕绕轴轴和和轴轴旋旋转转形形成成的的立立体体体体积积xyO1x x绕绕 轴轴旋旋转转：()3yf xx d120()xVfxx d1209xx 1303 x 3 xyO1x y绕绕 轴轴旋旋转转：113xxy 3y 3d3220()()yVyyy d3201(1)9yy 3301()27yy2 3yx 13xy 8.(0)0,2xya ayxa xaxy例例求求由由曲曲线线与与直直
11、线线围围成成图图形形分分别别绕绕轴轴和和 轴轴旋旋转转形形成成的的立立体体体体积积。axy aa2O Oxyx绕绕 轴轴旋旋转转：()ayf xx d22()axaVfxx d222aaaxx 22aaax2a y绕绕 轴轴旋旋转转：2xaaxy 12y yV 1/2d1/2220(4)aay xaaxy 1y axy aa2O Oxy1d21221/2()aayy 1/2203 a y 121/21ayy22 a 小练习：小练习：.yx0y4,x1,xxy1轴旋转形成的体积轴旋转形成的体积轴和轴和的平面图形分别绕的平面图形分别绕围成围成及直线及直线求由曲线求由曲线.;,:hrKey23151
12、24215三、简单的经济应用三、简单的经济应用，若已知总成本函数若已知总成本函数)(qCC 益益函函数数分分别别为为边边际际成成本本函函数数及及边边际际收收.ddddqRMRqCMC以及以及，总收益函数总收益函数)(qRR,由微分学可得由微分学可得00CqMCqCqd)()(；以及以及qqMRqR0d)()(,d)()(00CqMCMRqLq于是，总利润函数于是，总利润函数0.C其其中中是是固固定定成成本本已知某个经济量的边际函数，求此经济量已知某个经济量的边际函数，求此经济量，数数反反之之，给给定定边边际际成成本本函函MC，边际收益函数边际收益函数 MR,由积分学可得由积分学可得数数分分别别
13、为为总总成成本本函函数数及及总总收收益益函函解解:().L q设设利利润润函函数数为为()L qMLMRMC 221002141111211qqqqq (1,11),()0,()qL qMLL q 时时严严格格单单增增；例例 11002(:/)MRq单单位位 万万元元 单单位位试确定厂商的最大利润试确定厂商的最大利润.生产某产品的固定成本为生产某产品的固定成本为50万元，边际成本万元，边际成本与边际收益分别为与边际收益分别为214111(/)MCqq单单位位：万万元元 单单位位(1)(11)qq (11,),()0,()qL qMLL q 时时严严格格单单减减.011.q 即即获获得得最最大大
14、利利润润的的产产出出水水平平是是最大利润为最大利润为000()qLMRMC dqC 1120(1002)(14111)50qqqdq 334()3 万万元元)/()()/()(.年年单位：百万元单位：百万元年年单位：百万元单位：百万元成本和增加收益分别为成本和增加收益分别为的追加的追加万元建成，在时刻万元建成，在时刻某煤矿投资某煤矿投资例例32321826200014ttRttCt 试确定该矿在何时停止生产可获得最大利润？最大试确定该矿在何时停止生产可获得最大利润？最大 利润是多少？利润是多少？解解:2300()()20(62)20tttC tC u duudu 到到时时刻刻 总总投投入入为为222333()()()(18)(62)123L tR tC tttt(0,8),()0,()tL tL t 时时严严格格单单增增；(8,),()0,()tL qL q 时时严严格格单单减减.2300()()(18)tttR tR u duudu 到到时时刻刻 总总收收益益为为 223300()()()(18)(62)20tttL tR tC tuduudu到到时时刻刻 总总利利润润为为()0,8.L tt 令令得得8在在第第 年年停停止止生生产产可可获获最最大大利利润润，22883300(18)(62)2018.4Luduudu最最大大利利润润为为
