1、8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求素养要求借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.在学习空间点、直线、平面之间的位置关系及定义的过程中，发展学生的数学抽象素养和直观想象素养.教材知识探究观察你所在的教室.问题(1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？(2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？(3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？(4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？提示(1)平行.(2)平行.(3)二者是异面直线.(4)平行.1.
2、空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线的定义和画法不同在任何一个平面内异面直线是“不同在任何一个平面内的直线”，不是“在两个平面内的直线”定义：_的两条直线叫做异面直线.画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个_衬托.平面(2)空间中直线与直线的位置关系位置关系是否在同一平面内公共点个数共面直线相交直线_1平行直线是0异面直线_0是否2.空间中直线与平面的位置关系线线、线面、面面位置关系的分类标准都是交点个数位置关系定义图形语言符号语言直线在平面内有_个公共点a直线与平面相交_公共点_直线与平面平行没有公共点_无数有且只有一个aAa3.空间中平面与平
3、面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两个平面平行_没有公共点两个平面相交_有一条公共直线l教材拓展补遗微判断1.若直线l上有无数个点不在平面内，则l.()2.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.()3.如果直线a，b满足a平面，b平面，那么ab.()4.若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.()5.若直线a与直线b异面，直线b与直线c异面，则a与c异面.()提示1.直线l与平面也可能相交.2.这两个平面也可能相交.3.直线a和b可能平行、相交，也可能异面.5.直线a与c可能异面、相交、平行.微训练1.不平行的两条直线的位置关系是()A.相交 B.异面C.
4、相交或异面 D.无法判断答案C2.在三棱锥SABC中，与SA是异面直线的是()A.SB B.SCC.BC D.AB答案C3.若平面平面，直线a，点B，则内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线解析在中存在无数条与a平行的直线，但是过点B且在内的与a平行的直线只有唯一一条.答案D微思考1.分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？提示分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面.2.直线l在平面外，则l与平面就没有公共点吗？提示不一定.直线l在平面外包括两种情况，当直线
5、l与平面平行时没有公共点；当直线l与平面相交时有一个公共点.题型一空间中两直线位置关系的判定【例1】如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填序号).解析如题干图中，GHMN.图中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，因此直线GH与MN异面.图中，连接GM，GMHN，因此，GH与MN共面.图中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，因此GH与MN异面.所以图，中GH与MN异面.答案规律方法判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交.(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面
6、直线.用符号语言可表示为A，B，B l，l则AB与l是异面直线(如图).【训练1】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_.解析序号结论理由(1)平行因为A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以1BD1C(2)异面A1B与B1C不同在任何一个平面内(3)相交D1DD1CD1(4)异面AB与B1C不同在任何一个平面内答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面题型二直线与平面的位置
7、关系【例2】下列说法中，正确的有()如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交；过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以错；如果一条直线与一个平面相交，在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以正确；对于显然有无数条；而，也有可能相交，所以错误.答案B规律方法直线与平面位置关系的判断(1)空间直线与平面位置关系的分类是
8、解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.【训练2】下列命题中，正确的命题是()A.若a，则aB.若a，b，则abC.若a，则a与有无数个公共点D.若a，则a与没有公共点解析对于A，a或a，所以A错；对于B，直线a与b可能平行，也可能异面，所以B错；对于D，因为直线a与平面可能相交，此时只有一个公共点，所以D错.答案C题型三平面与平面的位置关系【例3】以下
9、四个命题中，正确的命题有()在平面内有两条直线和平面平行，那么这两个平面平行；在平面内有无数条直线和平面平行，那么这两个平面平行；平面内ABC的三个顶点在平面的同一侧且到平面的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；平面内有无数个点到平面的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.A.B.C.D.解析当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以错误.答案A规律方法平面与平面的位置关系的判断方法：(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.【训练3】如果在两个平面内分别有一条直线，这两
10、条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.垂直解析根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示.答案C一、素养落地1.通过学习空间直线、平面之间的位置关系，重点培养数学抽象素养及提升直观想象素养.2.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.3.弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析.4.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平
11、面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.因而人们给它以“百宝箱”之称.二、素养训练1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面 B.平行C.异面 D.平行或异面解析若直线a和b共面，则由题意可知ab；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.答案D2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面 B.相交或异面C.异面 D.相交解析如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1BB1，AA1DD1，显然BB1BCB，DD1与BC是异面直线，故选B.答案B3.下列命题中，正确的有()都与同一直线相交的两条直线相交；都与同一个平面相交的两个平面相交；平行于同一条直线的两条直线平行；平行于同一个平面的两个平面平行.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析中，可能相交、平行、异面；中，可能是相交或平行，故错误.答案B4.一条直线经过平面内一点，又经过平面外一点，判断这条直线与平面的位置关系，并说明理由.解这条直线与平面相交.如图，设Al，A，B，Bl，因为Al，A，即直线l与平面有公共点，所以直线l与平面不平行.假设直线l与平面不相交，则l，又Bl，l，所以B，这与题设B 矛盾，所以l，所以直线l与平面相交.
