1、94 一般二阶电路分析一般二阶电路分析 除了除了RLC串联和并联二阶电路以外，还有很串联和并联二阶电路以外，还有很多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路。多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路。本节讨论这些电路的分析方法，关键的问题是如本节讨论这些电路的分析方法，关键的问题是如何建立电路的二阶微分方程以及确定相应的初始何建立电路的二阶微分方程以及确定相应的初始条件。现在举例加以说明。条件。现在举例加以说明。例例9-9 图图9-10(a)所示电路在开关转换前已经达到稳态，已所示电路在开关转换前已经达到稳态，已 知知uS(t)=6e-3tV，t=0闭合开关。试求闭合开关。试求t 0时电容电
2、压时电容电压 uC(t)的全响应。的全响应。解：先求出电容电压和电感电流的初始值为解：先求出电容电压和电感电流的初始值为 A1)64(V10)0()0(V6V10646)0()0(LLCC iiuu 由此得到由此得到t0的电路如图的电路如图(b)所示。所示。图图9-10 以电容电压以电容电压uC(t)和电感电流和电感电流iL(t)为变量，列出两个网为变量，列出两个网孔的孔的KVL方程方程 0dd16)dd41(4LLCSCLCtiiuuuitu 从这两个微分方程中消去电感电流从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以，可以得到以电容电压电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程。一种较好
3、的方法是为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是引用微分算子引用微分算子 将以上微分方程变换成代数方程将以上微分方程变换成代数方程 tsdd 0)6(4)1(LCSLCisuuius 用克莱姆法则求得用克莱姆法则求得 107)6(4)6)(1()6(2SSC ssusssusu 将上式改写为将上式改写为 SC2)6()107ususs （最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶微分方程微分方程 SSCC2C26dd10dd7ddutuututu 从特征方程从特征方程 0)1072 ss（求得特征根，即固有频率为求得特征根，即固有频率为 5 22
4、1 ss uC(t)的固有响应为的固有响应为 ttKKtu5221Chee)(uC(t)的强制响应为的强制响应为 tBtu3Cpe)(代入微分方程中得到代入微分方程中得到 tttttBBB33333e36e18e10e21e9 求得求得B=-9，即强制响应为，即强制响应为uCp(t)=-9e-3t。uC(t)的全响应的全响应为为 tttKKtututu35221CpChCe9ee)()()(现在利用初始条件确定常数现在利用初始条件确定常数K1 和和K2。将。将uC(0+)=6V代代入上式得到入上式得到 69)0(21C KKu 另外一个初始条件另外一个初始条件 可以从代数方程中求得可以从代数方
5、程中求得)0(ddC tuCLSC4uiusu 4646)0()0(4)0()0(ddCLSC uiutu 得到得到 42752)0(dd21C KKtu 反变换得到反变换得到 与与uC(0+),iL(0+),uS(0+)的关系式的关系式)0(ddC tu 联立求解以上两个代数方程可以得到联立求解以上两个代数方程可以得到 31 34421 KK 最后得到电容电压最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式的全响应表达式)0(V e9e31e344)(352C ttuttt 从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程变换成代数方程，采用代数运算的方法
6、可以求得微分方程变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程和求解微分方程所需的初始条件。和求解微分方程所需的初始条件。69)0(21C KKu42752)0(dd21C KKtu 建立二阶微分方程的主要步骤如下：建立二阶微分方程的主要步骤如下：1.以以uC(t)和和iL(t)为变量列出两个电路微分方程。为变量列出两个电路微分方程。2.利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。3.联立求解两个代数方程得到解答联立求解两个代数方程得到解答x=P(s)/Q(s),其中其中x表示电容电压表示电容电压uC(t)或电感电流或电感电流iL(t)，P(s)
7、,Q(s)是是s的多项式。的多项式。4.将将x=P(s)/Q(s)改写为改写为Q(s)x=P(s)形式，再反变换列出形式，再反变换列出二阶微分方程。二阶微分方程。例例9-10 电路如图电路如图9-11所示，以所示，以uC(t)为变量的列出电路微分为变量的列出电路微分 方程。方程。解：以解：以iL(t)和和uC(t)为变量列出两个网孔的为变量列出两个网孔的KVL方程方程 0dd)2()(dd2ddCCLSCLLutuCrRiRrutuRCRitiL图图9-11 引用微分算子引用微分算子 将以上微分方程变换成代数方程将以上微分方程变换成代数方程 tsdd 02()()2(CLSCLurCsRCsi
8、RruRCsuiRLs1)用克莱姆法则求得用克莱姆法则求得 RsrRCCRLLCsrRurRRCsRrrCsRCsRLsuRru23(2()()()1)(22()(22SSC )反变换可以得到以电容电压反变换可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方为变量的二阶微分方程程 SCC22C2)(2dd3(dd2(urRRuturRCCRLtuLCrR )由此二阶非齐次微分方程的系数可见，当由此二阶非齐次微分方程的系数可见，当r=R时，变时，变为齐次微分方程，响应与电源电压为齐次微分方程，响应与电源电压uS(t)无关，且具有零输无关，且具有零输入响应的性质。入响应的性质。假设改变电路参数，令假设
9、改变电路参数，令r=2R时，二阶项的系数为零，时，二阶项的系数为零，以上方程变为以上方程变为 SCC22dd(RuRutuCRL )此式是一阶微分方程，说明图此式是一阶微分方程，说明图911电路此时是一个一电路此时是一个一阶电路。阶电路。SCC22C2)(2dd3(dd2(urRRuturRCCRLtuLCrR )由此分析可见，假如能够写出电路参数由此分析可见，假如能够写出电路参数(R、L、C、r)用符号表示的电路微分方程，就容易看出电路参数对用符号表示的电路微分方程，就容易看出电路参数对电路响应的影响，这对电路的分析和设计是十分有益的。电路响应的影响，这对电路的分析和设计是十分有益的。假设人
10、们能够实现负电感或负电容，使电路参数满足假设人们能够实现负电感或负电容，使电路参数满足条件条件L+R2C=0，则一阶项系数也变为零，此时微分方程，则一阶项系数也变为零，此时微分方程 将变为一个代数方程了。将变为一个代数方程了。SC2uu 用笔算方法列出高阶动态电路的用笔算方法列出高阶动态电路的n阶微分方程比较困阶微分方程比较困难，我们可以利用计算机程序难，我们可以利用计算机程序SNAP来列出微分方程，将来列出微分方程，将图图911各结点编号，如图各结点编号，如图912(a)所示。所示。运行符号网络分析程序运行符号网络分析程序SNAP，读入图，读入图912(b)所示电所示电路数据，得到电容电压和
11、电感电流的频域表达式。路数据，得到电容电压和电感电流的频域表达式。图图912-结 点 电 压,支 路 电 压 和 支 路 电 流-RUs-rUs U5(S)=-SCSLr+2RSCSL+SL+3RRSC-RSCr+2R -SCrUs+2RSCUs+Us I3(S)=-SCSLr+2RSCSL+SL+3RRSC-RSCr+2R 以上各式中的以上各式中的S表示微分算子，即表示微分算子，即 ，用代数运算方，用代数运算方法可得到以电容电压和电感电流为变量的微分方程。法可得到以电容电压和电感电流为变量的微分方程。tsdd SCC22C2)(2dd3(dd2(urRRuturRCCRLtuLCrR )SSLL22L2dd)2(2dd3(dd2(utuCrRRitirRCCRLtiLCrR )
