1、第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型n 掌握掌握用分析方法建立物理系统数学模型的过程；用分析方法建立物理系统数学模型的过程；n 掌握掌握结构图化简和简单梅逊公式求系统的传递函数；结构图化简和简单梅逊公式求系统的传递函数；n 了解了解一、二阶线性系统微分方程的标准形式；一、二阶线性系统微分方程的标准形式；n 掌握掌握传递函数的定义、求法、典型环节的传递函数描述；传递函数的定义、求法、典型环节的传递函数描述；n 了解了解MATLAB软件对软件对线性系统建模和分析方法。线性系统建模和分析方法。2-1 2-1 系统的微分方程系统的微分方程2-2 2-2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 2-3 2-3
2、传递函数传递函数 2-4 2-4 系统框图及简化系统框图及简化 2-5 2-5 信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式 学习内容学习内容一、概一、概 述述 对系统各部分的运对系统各部分的运动机理进行分析，依动机理进行分析，依据系统本身所遵循的据系统本身所遵循的有关定律列写数学表有关定律列写数学表达式，并在列写过程达式，并在列写过程中进行必要的简化。中进行必要的简化。分析法分析法 根据系统对某些根据系统对某些典型输入信号的响应典型输入信号的响应或其它实验数据建立或其它实验数据建立数学模型。即人为施数学模型。即人为施加某种测试信号，记加某种测试信号，记录其输出响应。录其输出响应。实验法实验法建立系统
3、数学模型的方法建立系统数学模型的方法1212f(xx)f(x)f(x)f(ax)af(x)线性系统可以用线性微分方程描述的系统可以用线性微分方程描述的系统线性线性是指系统满足是指系统满足叠加原理叠加原理，即，即u 可加性可加性u 齐次性齐次性11011101()()()()()()nnnonoonnmmmimiimmddax tax ta x tdtdtddbx tbx tb x tdtdt非线性系统 用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。满足叠加原理。在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非线性关
4、系，可进行如下处理：线性关系，可进行如下处理：u 线性化；线性化；u 忽略非线性因素；忽略非线性因素；u 用非线性系统的分析方法。用非线性系统的分析方法。线性系统和非线性系统的判别 设某系统的微分方程设某系统的微分方程u 线性定常系统：线性定常系统：方程的系数方程的系数an,bm是常数；是常数；u 线性时变系统：线性时变系统：an,bm是时间的函数；是时间的函数；u 非线性系统：非线性系统：an,bm中只要有一个系数依赖于中只要有一个系数依赖于xo(t)和和xi(t)或它们的导数，或者在微分方程中出现其或它们的导数，或者在微分方程中出现其 它函数形式。它函数形式。11011101()()()(
5、)()()nnnonoonnmmmimiimmddax tax ta x tdtdtddbx tbx tb x tdtdt 例例，其中其中a,b,c,d均为常数。均为常数。ax(t)bx(t)cx(t)dy(t)线性定常系统线性定常系统a(t)x(t)b(t)x(t)c(t)x(t)d(t)y(t)线性时变系统线性时变系统2y(t)x(t)非线性系统非线性系统 例例判断下列微分方程表达的系统是线性系统判断下列微分方程表达的系统是线性系统还是非线性系统？还是非线性系统？（3）（2）（1）（4）2()()()oiix ttx tx t()3()8()()oooix tx tx tx t()cos(
6、)oix tt x t23()()()2()5()ooooix tx t x tx tx t非线性非线性线性定常线性定常线性时变线性时变非线性非线性本课程涉及的数学模型形式 u 时间域：微分方程（一阶微分方程组）、时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程差分方程、状态方程u 复数域：传递函数、结构图复数域：传递函数、结构图u 频率域：频率特性频率域：频率特性u 分析系统的工作原理和信号传递过程，确定元件分析系统的工作原理和信号传递过程，确定元件 或系统的输入量和输出量；或系统的输入量和输出量；u 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各
7、 变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部 件的动态微分方程。注意负载效应。件的动态微分方程。注意负载效应。u 消去中间变量，推出只含输入、输出量及其导数消去中间变量，推出只含输入、输出量及其导数 的微分标准方程，即的微分标准方程，即右端输入，左端输出，导数右端输入，左端输出，导数 降幂排降幂排。二、系统微分方程的建立二、系统微分方程的建立机械系统微分方程的列写 机械系统中部件的运动有直线和转动两机械系统中部件的运动有直线和转动两种，系统中以各种形式出现的物理现象，都种，系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为可简化为质量质量、弹簧弹簧和和阻尼阻尼
8、三个要素。三个要素。列写微分方程通常牛顿第二定律。即：列写微分方程通常牛顿第二定律。即：物体的加速度与其所受的合外力成正比，与物体的加速度与其所受的合外力成正比，与其质量成反比，且加速度与合外力方向相同其质量成反比，且加速度与合外力方向相同F=ma。典型元件所遵循的物理定律典型元件所遵循的物理定律 例例直线运动（机械平移系统）直线运动（机械平移系统）输入量输入量输出量输出量 22CKoKoCodF tftftmxtdtftKxtdftCxtdtoC 22oooddmxtCxtKxtF tdtdt电网络系统微分方程的列写 电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定
9、律和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。学模型。（1 1）基尔霍夫电流定律：基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于有电流之代数和应等于0 0（即流出节点的电流之（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。和等于所有流进节点的电流之和）。（2 2）基尔霍夫电压定律：基尔霍夫电压定律：电网络的闭合回路电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。典型元件所遵循的物理定律典型元件所遵循的物理定律 电阻电阻 电容电容 电感电感 例例()()()()()()
10、ioodu iRi tLi tu idtdi tCu tdt20002()()()()iddLCu tRCu tu tu tdtdtRLCiiuou相似系统 若忽略系数的物理意义，则机械位移系统和电网络系若忽略系数的物理意义，则机械位移系统和电网络系统的统的数学模型具有相同的形式数学模型具有相同的形式，这种系统叫做相似系统，这种系统叫做相似系统，揭示了不同物理现象之间的相似关系。揭示了不同物理现象之间的相似关系。从动态性能看，在相同形式的输入作用下，相似系统从动态性能看，在相同形式的输入作用下，相似系统输出的响应相似。输出的响应相似。RLCiiuou220100002()()()()iddax
11、 tax ta x tb x tdtdt小 结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究。同一方法进行具有普遍意义的分析研究。通常情况下，元件或系统微分方程的阶次通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的等于元件或系统中所包含的独立储能元独立储能元的的个数。个数。系统的系统的动态特性是系统的固有特性动态特性是系统的固有特性，仅取，仅取决于系统的结构及其参数。决于系统的结构及其参数。三、拉普拉斯变换三、拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是控制工程中的
12、一拉普拉斯变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变函数的导数经拉氏变换后，变成复变量量s的乘积，将时间表示的微分方程，的乘积，将时间表示的微分方程，变成以变成以s表示的代数方程。表示的代数方程。设时间函数设时间函数 f(t)满足狄里赫利条件，其中满足狄里赫利条件，其中则则 f(t)的拉氏变换，记作的拉氏变换，记作0t u L：拉氏变换符号；：拉氏变换符号；u s：复变量；：复变量；u f(t)：原函数；：原函数；u F(s)：f(t)的拉氏变换函数，称为的拉氏变换函数，称为象函数。象函数。0()()()stF sL f
13、 tf t edt拉氏变换的定义 将象函数将象函数 F(s)变换成与之相对应变换成与之相对应的原函数的原函数 f(t)的过程的过程 11()()()2jwstjwf tLF sF s e dsj拉氏反变换的定义 1、单位阶跃函数单位阶跃函数 10t100tt 0001111stststLttedtedtess 典型时间函数的拉氏反换2、单位脉冲函数、单位脉冲函数 0010ttt 0()()1stLtt edt3、单位斜坡函数、单位斜坡函数 000tf ttt 020011stststL ttedtteedtss4、指数函数、指数函数 ate()001atatsts a tL eeedtesa5
14、、正弦函数正弦函数 sint 1sin()2j tj tteej0()()0221sin()21()2111()2j tj tstsjtsjtLteeedtjeedtjj sjsjs欧拉公式欧拉公式6、余弦函数余弦函数 cost 1cos()2j tj ttee22cossLts欧拉公式欧拉公式 若有常数若有常数k1、k2，函数，函数f1(t)、f2(t)，且且f1(t)、f2(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F1(s)、F2(s)，则有则有1 12 21 12 2Lkf(t)+k f(t)=k F(s)+k F(s)拉氏变换的性质 1、线性性质、线性性质 若若 f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为
15、F(s)，则对任一则对任一正实数正实数a有有说明：说明：当当 t0时，时，f(t)=0，f(t-a)：延时函数，表示：延时函数，表示f(t)延迟时间延迟时间a。()()asL f taeF s拉氏变换的性质 2、延迟定理、延迟定理 若若f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s)，对于任，对于任一常数一常数a（实数或复数），有（实数或复数），有)as(F)t(fe Lat拉氏变换的性质 3、复数域的位移定理、复数域的位移定理 设设f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s)，则，则其中其中f(0)是函数是函数f(t)在自变量在自变量t=0的值，即初始值。的值，即初始值。()()()(0)df tLL
16、f tsF sfdt可推广到可推广到n阶阶12(1)()()(0)(0)(0)nnnnnnd f tLs F ssfsffdt当初始条件为当初始条件为0时时，即，即 f(0)f(0)0()()L f tsF s则有则有()()nnnd f tLs F sdt4、微分定理、微分定理 设设f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s)，当初始条，当初始条件为件为0时，则时，则1()()nnLf t dtF ss 5、积分定理、积分定理 设原函数设原函数f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s)，则，则时间函数时间函数f(t)的初值定理为的初值定理为0(0)lim()lim()tsff tsF sas1)s
17、(F1(0)lim()lim1ssfsF sssa例：例：已知已知 ，求，求f(0)拉氏变换的性质 6、初值定理、初值定理 设原函数设原函数f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s)，则时，则时间函数间函数f(t)的稳态值为的稳态值为0lim()lim()tsf tsF sas1)s(F例：例：已知已知 ，求，求f()此定理在稳态误差中常用。此定理在稳态误差中常用。001()lim()lim0ssfsF sssa 拉氏变换的性质 7、终值定理、终值定理 设设f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s)，g(t)的拉氏的拉氏变换为变换为G(s)，则有则有 式中式中 称为称为f(t)与与g(t)的卷积。
18、的卷积。0()()()()tLf tgdF s G s0()()()()tf tgdf tg t拉氏变换的性质 8、卷积定理、卷积定理拉氏反变换的数学方法 已知象函数已知象函数F(s)求求 f(t)时，简单的象函数，时，简单的象函数，可直接查拉氏变换表，但对于复杂的，可利用可直接查拉氏变换表，但对于复杂的，可利用部分分式展开法部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为若干个简单的有理分式函数之和，的象函数化为若干个简单的有理分式函数之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数。数。对于象函数对于象函数F(s)，常可
19、写成如下形式，常可写成如下形式mm 1mm 10nn 1nn 1012m12nb sbsbB(s)F(s)A(s)a sasa(sz)(sz)(sz)k(sp)(sp)(sp)LLLL部分分式展开法 零点零点极点极点F(s)总能展开成多个简单分式之和总能展开成多个简单分式之和 1、F(s)无重极点的情况无重极点的情况12n12nnii 1iB(s)kkkF(s)A(s)spspspksp Liiis pkF(s)(sp)待定系数待定系数(2-40)inp t1ii 1f(t)L F(s)k e(2-41)解：解：例例2s3F(s)s3s2求求F(s)的拉氏反变换的拉氏反变换 1s12s3k(s
20、1)2s3s22s22s3k(s2)1s3s2 21F(s)s1s2122s3kkF(s)s3s2s1s2 t2tf(t)2ee设设F(s)有有r个重极点个重极点p1，其余极点均不相同，则，其余极点均不相同，则 2、F(s)有重极点的情况有重极点的情况rn1r 1n11121rr 1nrr 1111r 1nB(s)B(s)F(s)A(s)a(sp)(sp)(sp)kkkkk(sp)(sp)(sp)(sp)(sp)LLL其中，其中，1r111s pkF(s)(sp)1r121s pdkF(s)(sp)ds12r131s p21 dkF(s)(sp)2!ds1r 1r1r1s pr 11dkF(s
21、)(sp)(r1)!ds与单根求法相同与单根求法相同解：解：例例求求 的拉氏反变换的拉氏反变换 23s2s3F(s)(s1)2131112332as2s3aaF(s)(s1)(s1)(s1)(s1)2311s132312s1322313s123s2s3a(s1)2(s1)d s2s3a(s1)0ds(s1)1 ds2s3a(s1)12!ds(s1)12tt2t321f(t)L t ee(t1)e(s1)s1本章作业本章作业教材教材 P63n 2-1 (c)(d)n 2-2 (1)(2)n 2-3 (1)传递函数 线性定常系统线性定常系统在在零初始条件零初始条件下，系下，系统统输出量输出量的拉氏
22、变换与的拉氏变换与输入量输入量的拉氏变的拉氏变换之比。换之比。传递函数的一般形式传递函数的一般形式 设线性定常系统的微分方程设线性定常系统的微分方程 当初始条件全为零时当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式可得系统传递函数的一般形式mm 1omm 10nn 1inn 10X(s)b sbsbG(s)X(s)a sasaLL11011101()()()()()()nnnonoonnmmmimiimmddax tax ta x tdtdtddbx tbx tb x tnmdtdt LK G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与取决于系统或元件的结构和参
23、数，与输入信号和输出信号无关。输入信号和输出信号无关。G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。但它不提供任何该系统的物理结构。G(s)是复变量是复变量s的有理真分式函数，具有复的有理真分式函数，具有复变量函数的所有性质。变量函数的所有性质。传递函数只能表示一个输入对一个输出的传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合单输入单输出系统的描述。关系，只适合单输入单输出系统的描述。传递函数的主要特点传递函数的主要特点传递函数的零极点表达式传递函数的零极点表达式1212()()()()()()()()()ominXsszszszG
24、sKX sspspspLL零点零点极点极点传递函数的零极点分布图传递函数的零极点分布图n 零点用零点用“”表示表示n 极点用极点用“”表示表示典型环节的传递函数 具有某种确定信息传递关系的元件、具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个元件组或元件的一部分称为一个环节环节。任何复杂系统可看做由一些基本的任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成，常用的典型环节有：环节组成，常用的典型环节有：比例环比例环节节、惯性环节惯性环节、微分环节微分环节、积分环节积分环节、振荡环节振荡环节和和延迟环节延迟环节等。等。1、比例环节、比例环节输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。输出
25、量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。运动方程：运动方程：拉氏变换：拉氏变换：()()oix tKx t()()oiXsKX s传递函数：传递函数：()()()oiXsG sKX s 2、惯性环节（非周期环节）惯性环节（非周期环节）运动方程：运动方程：一阶线性微分方程一阶线性微分方程()()()ooidTx tx tKx tdt传递函数：传递函数：()()()1oiXsKG sX sTsK环节增益（放大系数）；环节增益（放大系数）；T时间常数，时间常数，表征环节的惯性，表征环节的惯性，和环节结构参数有关和环节结构参数有关。例例 惯性环节惯性环节含一个储能元件含一个储能元件，对突变的输入
26、其，对突变的输入其输出不能立即复现，输出的变化落后输入输出不能立即复现，输出的变化落后输入。()()()ooidu tRCu tu tdtoiU(s)1G(s)U(s)Ts1RC电路电路RCT 3、微分环节、微分环节 输出量正比于输入量的微分。输出量正比于输入量的微分。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：()()ioDdx tx tTdt()()()oDiXsG sT sX s 在物理系统中微分环节不独立存在，而是和在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。其它环节一起出现。例例 无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节。
27、只有当称之为惯性微分环节。只有当|Ts|1时，才近似时，才近似为微分环节。为微分环节。无源微分电路无源微分电路1()()()oii t dtu tu tC()()ou ti t R(),11RCsTsG sTRCRCsTs 4、积分环节、积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。输出量正比于输入量对时间的积分。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：1()()oiIx tx t dtT()1()()oiIXsG sX sT s特点：特点：输出量取决于输入量对时间的累积过程；输出量取决于输入量对时间的累积过程；当输入消失，输出具有记忆功能。当输入消失，输出具有记忆功能。l 齿轮齿条传动机构齿轮齿
28、条传动机构 ()X sDG sN ssuoCFuiR2R1+l 积分运算电路积分运算电路ifi1uC+tuCRud1iF1o 5、振荡环节、振荡环节 运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：222()()2()()oooid x tdx tTTx tx tdtdt221()21G sT sTs 含有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，导含有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，导致输出带有振荡的性质。致输出带有振荡的性质。T时间常数；时间常数；01阻尼比，。另一种另一种常用的标准形式常用的标准形式222()2nnnG sss1nnT无阻尼自然振荡频率，。例例质量质量-弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系
29、统运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：22211/()21KG smsCsKT sTs式中，式中，/,2CTm KmK C2 mk当时为振荡环节。22oooddmxtCxtKxtF tdtdtCo6、延迟环节（传输滞后环节）、延迟环节（传输滞后环节）注意：注意：延迟环节与惯性环节的区别。延迟环节与惯性环节的区别。运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：()()oix tx t()sG se纯延迟时间 输出滞后输入时间，但不失真地反映输入，延迟环输出滞后输入时间，但不失真地反映输入，延迟环节一般与其它环节共存，不单独存在。节一般与其它环节共存，不单独存在。u 惯性环节从输入开始时刻就已有输出
30、，由于惯性，惯性环节从输入开始时刻就已有输出，由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；u 延迟环节从输入开始，在延迟环节从输入开始，在0 时间内，没有输出，时间内，没有输出，但但t=之后，输出完全等于输入。之后，输出完全等于输入。例例测量轧制钢板的厚度测量轧制钢板的厚度()(),/oih th tL v 运动方程：运动方程：拉氏变换：拉氏变换：()()soiHseH s传递函数：传递函数：()()()soiHsG seH s说 明 u 典型环节不是具体的元件，是表示元件或典型环节不是具体的元件，是表示元件或 系统运动特性的数学模型。系统运动特性
31、的数学模型。u 同一个元件取不同的信号作为输入量或输同一个元件取不同的信号作为输入量或输 出量、或用于不同的系统，可能形成不同出量、或用于不同的系统，可能形成不同 的典型环节。的典型环节。练习练习（1）齿轮副中，若以主动轮角速度）齿轮副中，若以主动轮角速度为输入，以为输入，以被动轮转角被动轮转角为输出，则该装置为为输出，则该装置为 环节。环节。积分积分（2）关于传递函数的特点，不正确的是）关于传递函数的特点，不正确的是 。A、与具体的物理结构无关、与具体的物理结构无关 B、反映控制系统的传输和响应特性、反映控制系统的传输和响应特性 C、与输入信号有关、与输入信号有关 D、只适用于单输入单输出系
32、统的描述、只适用于单输入单输出系统的描述C 五、五、方块图及动态系统的构成方块图及动态系统的构成 系统方框图是系统数学模型的系统方框图是系统数学模型的图图解形式解形式。可以形象直观地描述系统中。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系、功能以及信号各元件间的相互关系、功能以及信号在系统中的传递、变换过程。在系统中的传递、变换过程。注意：注意：即使描述系统的数学关系式相即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。同，其方框图也不一定相同。方框图方框图方框图表示系统的优点 只要依据信号的流向，将各环节的只要依据信号的流向，将各环节的方框连接起来，便可组成整个系统，简方框连接起来，便可组成
33、整个系统，简便、直观，更容易求解系统的传递函数。便、直观，更容易求解系统的传递函数。通过系统框图，可揭示和评价每一通过系统框图，可揭示和评价每一个环节对系统的影响。个环节对系统的影响。l 信号引出点（线）：信号引出点（线）：表示信号引出或测量的位置表示信号引出或测量的位置和传递方向。和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样大小完全一样。l 函数方框（环节）：函数方框（环节）：方框代表一个环节，箭头代方框代表一个环节，箭头代表输入输出。函数方框具有表输入输出。函数方框具有运算功能运算功能。l 信号线：信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递带有箭
34、头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。l 求和点（比较点、综合点）：求和点（比较点、综合点）：两个或两个以上两个或两个以上 的输入信号进行加减比较的元件。的输入信号进行加减比较的元件。方框图的结构要素G G(s s)R R(s s)C C(s s)图图2 2-1 14 4 方方块块图图中中的的方方块块信信号号线线方方块块r(t)c(t)图图 2 2-1 1 6 6 分分 支支 点点 示示 意意 图图P P(s s)P P(s s)R R(s s)C C(s s)(1sG)(2sG引出点引出点+1 11 1+2 22 2+求和
35、点求和点（1 1）相加减的量必须具有相同的量纲；）相加减的量必须具有相同的量纲；注注 意意（2 2）求和点可以有多个输入，但）求和点可以有多个输入，但输出是唯一输出是唯一的。的。动态系统的构成动态系统的构成 串联连接串联连接 并联连接并联连接 反馈连接反馈连接特点：特点：前一环节的输出量是后一环节的输入量。前一环节的输出量是后一环节的输入量。)()()()()()()()()()()()()()()()(123231212211sRsGsGsGsUsGsCsRsGsGsUsGsUsRsGsU123()()()()()()C sG s G s G sG sR sR R(s s)G G(s s)C
36、 C(s s)（b b）（1 1）串联连接）串联连接 R R(s s)C C(s s)（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sGniisGsG1)()(结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的的乘积乘积。G G(s s)（b b）R R(s s)C C(s s)特点：特点：各环节的输入信号是相同的，输出各环节的输入信号是相同的，输出C(s)为各环节的为各环节的输出之和。输出之和。（2 2）并联连接）并联连接（a a）R R(s s)C C(s s)(2sG)(1sG)(3sG)(2sC)(1sC)(3sC)()()()()()
37、()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()()()()()(321sGsGsGsGsRsC结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的节传递函数的代数和代数和。)()(1sGsGnii（3 3）反馈连接）反馈连接（a a）C C(s s)R R(s s)G(s)H(s)E E(s s)B B(s s)()()()()()()()()()C sG s E sE sR sB sB sH s C s()()()()()()()()()()()()1()()C sC ssR sE
38、 sB sC sC sH s C sG sG sG s H s mmm()()()()1()()oiXsG ssX sG s H su 误差传递函数误差传递函数()1()1()()iE sX sG s H smu 前向通道传递函数前向通道传递函数()()()oXsG sE su 反馈通道传递函数反馈通道传递函数()()()oB sH sXsu 开环传递函数开环传递函数()()()()B sG s H sE s(2-79)(2-81)(2-80)(2-82)方框图求传递函数的基本思路 为了研究方便，常对系统方框图作一些为了研究方便，常对系统方框图作一些变换，方框图化简求系统传递函数的基本思变换，
39、方框图化简求系统传递函数的基本思路是：路是：利用利用等效变换等效变换法则，移动求和点和引出法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。回路。求和点的移动求和点的移动交换求和点交换求和点合并求和点合并求和点引出点的简化引出点的简化 例例求下列所示系统的传递函数求下列所示系统的传递函数 u A点前移点前移o123i1212321233X(s)G(s)G(s)G(s)X(s)1G(s)G(s)H(s)G(s)G(s)H(s)G(s)G(s)G(s)H(s)系统的传递函数为系统的传递函数为 六、信号流图及梅逊公式 对于复杂的控制系统，方块图的
40、简对于复杂的控制系统，方块图的简化过程较复杂，易出错。化过程较复杂，易出错。Mason提出的信号流图，既能表示提出的信号流图，既能表示系统的特点，还能直接应用梅逊公式方系统的特点，还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。因此，信号便的写出系统的传递函数。因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。流图在控制工程中也被广泛地应用。信号流图及其术语信号流图及其术语 信号流图起源于梅逊（信号流图起源于梅逊（S.J.Mason）利用图示法来描述）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是一个和一组线性代数方程，是由由节点和支路节点和支路组成的一种信号组成的一种信号传递网络。传递网络。节节 点点支支
41、 路路通通 路路连接两个节点的定向线段，连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于关系。支路相当于乘法器乘法器。信号在支路上沿箭头单向传信号在支路上沿箭头单向传递。递。表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。之和。沿支路箭头方向穿过各相连支路沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径。的路径。信号流图的基本性质u 节点标志系统的变量节点标志系统的变量。节点自左向右顺序设置，。节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号代数每个节点标志的变
42、量是所有流向该节点的信号代数和，从同一节点流出的信号均用该节点变量表示。和，从同一节点流出的信号均用该节点变量表示。u 支路相当于乘法器支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。路增益而变换为另一信号。u 信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。后果的因果关系。u 对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。此信号流图不是唯一的。输入节点输入节点只有输出的节点，代表系统的输入变量。只有输出的节点，代表系统的输入变量。输出节点
43、输出节点只有输入的节点，代表系统的输出变量。只有输入的节点，代表系统的输出变量。输出节点输出节点输入节点输入节点混合节点混合节点既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出既有输入又有输出的节点。若从混合节点引出一条具有单位增益的支路，可变为输出节点。一条具有单位增益的支路，可变为输出节点。前向通路前向通路 信号从输入节点到输出节点传递时，信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点每个节点只通过一次只通过一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称，称前向通路总增益前向通路总增益，一般用，一般用Pk表示。表示。回回 路路不接触回路不接触回路 起点与终点重合，且起点与终
44、点重合，且通过任何节点不多于一次通过任何节点不多于一次的闭合通的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益回路增益，用，用Lk表示。表示。相互间没有任何公共节点的回路。相互间没有任何公共节点的回路。方框图与信号流图比较 方框图的组成方框图的组成 方框方框 信号线信号线 求和点求和点-乘法运算乘法运算-标记信号名称标记信号名称G(s)Xo(s)Xi(s)Xo(s)=G(s)Xi(s)信号流图的组成信号流图的组成 支路支路 节点节点-乘法器乘法器-标记信号名称标记信号名称G(s)Xi(s)Xo(s)例例绘制系统结构图对应的信号流图。绘制系统结构图对应的信号流图。
45、（1）结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对应的节点。）结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对应的节点。（2）将各节点按原来顺序）将各节点按原来顺序自左向右排列，方框用具自左向右排列，方框用具有相应增益的支路代替，有相应增益的支路代替，并连接有关的节点。并连接有关的节点。根据系统框图绘制信号流图。根据系统框图绘制信号流图。kP aLcbLL fedLLL k 1kkkPP,1abcdefab cd e fLL LL L L L第第k条前向通路的传递函数。条前向通路的传递函数。流图的特征式。流图的特征式。所有不同回路的回路传递函数之和。所有不同回路的回路传递函数之和。两两互不接触回路的传递函数乘
46、积之和。两两互不接触回路的传递函数乘积之和。每三个互不接触回路的传递函数乘积之和。每三个互不接触回路的传递函数乘积之和。第第k条前向通路的余子式（流图特征式中去除与第条前向通路的余子式（流图特征式中去除与第k条前向通路接触的回路，剩余回路构成的余项式）。条前向通路接触的回路，剩余回路构成的余项式）。梅逊公式梅逊公式 例例用梅逊公式求系统的传递函数。用梅逊公式求系统的传递函数。1212321234214121232123421411GG HG G HGG GG HGGGG HG G HGG GG HGG 1123PGG G11 214PGG21 123141212321234214()1GG GGGG sGG HG G HGG GG HGG 例例用梅逊公式求系统的传递函数。用梅逊公式求系统的传递函数。123121323123122GGGGGGGG GGG G 1123PGG G K11 223PG G K211 G 231132123121323123(1)(1)()122G G KGGG KGG sGGGGGGGG GGG G313PGG K321 G 4123PGG G K 41 第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型本章作业本章作业教材教材 P64n 2-6 a)c)
