1、将军饮马型最值问题将军饮马问题解决的是线段和差最值问题,解决的方法是通过轴对称,化折为直,把两条线段的和转化为一条线段的长,利用两点之间线段最短的性质解决问题.类型一一定直线,同侧两定点点A,B是直线l外同侧两点,在直线l上求作一点P,使AP+BP最小.解决方法:作点A关于直线l的对称点A.连接AB,交直线l于点P,则点P使AP+BP最小.图T3-11.如图T3-2,BAC=30,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上一动点,PQAC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为.图T3-22.如图T3-3,在矩形ABCD中,AD=4,DAC=30,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小值是.图
2、T3-33.2019合肥二模如图T3-4,ABC中,ACB=90,AC=4,BC=6,CD平分ACB交AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD上一动点,则PA+PE的最小值是.图T3-44.如图T3-5,菱形ABCD中,AB=2,A=120,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任意一点,则PK+QK的最小值为.图T3-5图T3-66.2018遵义如图T3-7,抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为.图T3-7图T3-8类型二一定点,二定直线P是AOB内一
3、点,分别在OA,OB上求作点Q,R,使得PQ+PR+QR(即PQR的周长)最小.解决方法:分别作点P关于直线OA,OB的对称点P,P,连接PP,与OA,OB的交点即为所求点Q,R,此时PQ+PR+QR(即PQR的周长)最小.图T3-98.如图T3-10,点P是AOB内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,若PMN周长的最小值是5 cm,则AOB的度数是()A.25B.30C.35D.40图T3-10答案B9.如图T3-11,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E,F分别是BC,DC上的点,当AEF的周长最小时,EAF的度数为()A.50B.60C.70D.
4、80图T3-11答案D解析分别作A关于直线BC和CD的对称点A,A,连接AA,交BC于E,交CD于F,则AA长即为AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知DAB=130,HAA=50.又EAA=EAA,FAD=A,且EAA+EAA=AEF,FAD+A=AFE,所以AEF+AFE=EAA+EAA+FAD+A=2(AAE+A)=2HAA=100,所以EAF=180-100=80.故选D.10.如图T3-12,在ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,试求作周长最小的DEF.图T3-12解:将D视为定点,分别作出点D关于AC,BC的对称点D,D,连接DD交AC,BC于点E,F.此时DEF的
5、周长等于DD长.无论点D的位置如何变化,点C对线段DD的张角不变,即DCD=2ACB,因此为使DD最小,只需CD=CD=CD的值最小即可,显然当CDAB时,CD最小,从而DEF的周长最小.11.如图T3-13,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(1)求此抛物线的解析式;(2)求AD的长;(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当PAD的周长最小时,求点P的坐标.图T3-1311.如图T3-13,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的
6、坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(2)求AD的长;图T3-13(2)由折叠得DE=AD,BE=10-6=4,BD=8-AD,在RtDBE中,DE2=BE2+BD2,AD2=42+(8-AD)2,解得AD=5.11.如图T3-13,矩形OABC的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(10,8),沿直线OD折叠矩形,使点A正好落在BC上的E处,E点坐标为(6,8),抛物线y=ax2+bx+c经过O,A,E三点.(3)点P是抛物线对称轴上的一动点,当PAD的周长最小时,求点P的坐标.图T3-13
