1、第六章第六章 圆圆辅助圆问题辅助圆问题方法突破精讲练方法突破精讲练模型模型 一一定弦定角圆上找具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上；定点定长可作圆1.如图，已知线段AB.(1)请你在图中画出使APB90的所有点P；(2)请你在图中画出使APB60的所有点P；(3)请你在图中画出使APB45的所有点P.怎么发现隐藏的辅助圆？怎么发现隐藏的辅助圆？针对训练针对训练第1题图解：作图如解图、，点P在所作圆或圆弧上(A、B两点除外)；第1题解图请你总结，以上满足条件的P点具有的特点：(1)_；(2)_；(3)_ 满足APB45的特点：点P集中在以AB为弦，其所对的圆周角等于45的
2、两段弧上(A、B两点除外)满足APB90的特点：根据直径所对的圆周角等于90可知点P集中在以AB为直径的圆上(A、B两点除外)；满足APB60的特点：点P集中在以AB为弦，其所对的圆周角等于60的两段弧上(A、B两点除外)；2.(1)如图，在矩形ABCD中，AB2，BC5.请你在矩形ABCD的边上画出使BPC90的所有点P；(2)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC2 .请你在矩形ABCD的边上画出使BPC60的所有点P；(3)如图，在正方形ABCD中，AB3.请你在正方形ABCD的边上画出使BPC45的所有点P.第2题图3 解：(1)如解图所示，点P1、P2即为所求；(2)如解图所示，点P1
3、、P2、P3即为所求；(3)如解图所示，点P1、P2即为所求第2题解图3.如图，线段AB和动点C构成ABC，AB2，ACB120，则ABC周长的最大值为_第3题图4 323【解析】如解图，延长AC至D使DCCB，则ABC的周长ABACBCABAD，AB的长固定，要求ABC周长的最大值，即求AD的最大值连接BD，DCCB，DDBC，又ACB120，ACBDDBC，D60，如解图，则点D在以AB为弦，其所对的圆周角为60的弧上运动，当AD为直径时，其长度最大，此时ABD90，如解图，在RtABD中，AD ，ABC周长的最大值为 2.第3题解图24 3sin332ABD4 33模型模型 二二 同弧所
4、对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角如图，BDE；如图，FBG.“辅助圆辅助圆”解角度的最值解角度的最值图 图模型分析模型分析1.如图，线段AB是球门的宽，球员(前锋)站在距球门前一定距离的直线b上的点P，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由请你总结，满足条件的P点具有的特点：针对训练针对训练第1题图解：存在，如解图所示，点P即为所求 满足条件的P点具有的特点：点P为AB的中垂线与直线b的交点【解法提示】要更易进球，即要APB的度数最大点P是直线b上一动点，点有无数个，则过A、B、P三点可以得到无数个圆
5、，只有当O与直线b相切时，APB为“圆上角”，b上的其余点P构成的APB为圆外角，此时APB最大，更易进球第1题解图2.如图，当射线CD与球门AB互相垂直时，球员(边锋)沿射线CD带球，在射线CD上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由第2题图解：存在，如解图所示，点P即为所求第2题解图【解法提示】要更易进球，即要APB的度数最大点P是射线CD上一动点，点P有无数个，则过A、B、P三点可以得到无数个圆；只有当O与射线CD相切时，APB为“圆上角”，射线CD的其余点P构成的APB为圆外角，此时APB最大，更易进球【作法提示】作AB的中垂线a，以B
6、为圆心，直线a与射线CD之间的距离h为半径画弧，交直线a于点O，以O为圆心、OB长为半径作圆，则O必定切射线CD于点P，则P点即为所求3.如图，点A与点B的坐标分别是(1，0)，(5，0)，点P是该直角坐标系内的一个动点(1)使APB30的点P有_个；(2)若点P在y轴上，且APB30，求满足条件的点P的坐标；(3)当点P在y轴上移动时，APB是否有最大值？若有，求出点P的坐标，并说明此时APB最大的理由；若没有，请说明理由第3题图解：(1)无数；【解法提示】如解图，以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点C为圆心，AC长为半径作C，则优弧AB(除A、B外)上任取一点，都满足APB30
7、；在x轴下方，同理可得优弧AB.(2)当点P在y轴的正半轴上时，如解图，过点C作CGAB，垂足为G，点A(1，0)，点B(5，0)，OA1，OB5，AB4，点C为圆心，CGAB，AGBG AB2，OGOAAG3，第3题解图12ABC是等边三角形，ACBCAB4，CG ，点C的坐标为(3，2 )，过点C作CDy轴，垂足为D，连接CP2，则CD3，OD2 ，P1、P2是C与y轴的交点，AP1BAP2B30，CP2CA4，CD3，DP2 ，点C为圆心，CDP1P2，P1DP2D ，P1(0，2 )，P2(0，2 )；2222422 3ACAG332243773737当点P在y轴的负半轴上时，同理可得
8、P3(0，2 )，P4(0，2 )，综上所述，满足条件的点P的坐标有：P1(0，2 )，P2(0，2 )，P3(0，2 )，P4(0，2 )；(3)当过点A、B的E与y轴相切于点P时，APB最大理由：连接EA，过点E作EHx轴，垂足为H，可证：APBAEH，当APB最大时，AEH最大由sinAEH 得：当AE最小即PE最小时，AEH最大当圆与y轴相切时，APB最大3737373737372AE当点P在y轴的正半轴上时，如解图，E与y轴相切于点P，PEOP，EHAB，OPOH，EPOPOHEHO90，四边形OPEH是矩形，OPEH，PEOH3，EA3，EHA90，AH2，EA3，EH ，OP ，
9、P(0，)；第3题解图2222325EAAH55当点P在y轴的负半轴上时，同理可得P(0，)，综上所述，当点P在y轴上移动时，APB有最大值，此时点P的坐标为(0，)，(0，)555模型模型 三三 平面内一定点D和O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值具体分以下三种情况讨论(规定ODd，O半径为r)：1.若D点在O外时，d r，如图、：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为dr，DE的最小值为dr；“辅助圆辅助圆”解线段的最值解线段的最值模型分析模型分析2.当D点在圆上时，dr，如图：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为dr2r(即
10、为O的直径)，DE的最小值为dr0(点D、E重合)；3.若定点D在O内时，d r，如图、：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为dr，DE的最小值为rd.1.如图，已知 O及其外一点C，请在 O上找一点P，使其到点C的距离最近第1题图解：如解图，连接OC交圆O于点P，则点P即为所求(如解图，在圆O上任取异于P点的点P，OPPCOPPC，又OPOP，CPCP)，第1题解图2.如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为_(请在图中画出点P的运动路径)第2题图 2 25【
11、解析】如解图，连接AC、BD交于点E，依题意，易得BMCN，ABMBCN，ABBC，ABM BCN，BAMCBN，又NBCNBA90，BAMNBA90，APB90，又AB4，根据“定边定角”模型可得点P在以AB为直径 的上运动，取AB的中点O，连接OC，线段OC交 于点P，此时PC的长最小，PCOCOP .BEBE222222422 52BCBO第2题解图3.如图，AC为边长为4的菱形ABCD的对角线，ABC60.点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA运动连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为_(请在图中画出点P的运动路径)第3题图【解析】在菱形ABCD中，ABC60，
12、ABBC，ABCACB60，根据题意可知BMCN，ABM BCN，BAMNBC，BPMABPBAPNBCABPABC60，APB180BPM120.4 33根据“定边定角”模型可知点P在以AB为弦，其所对的圆周角为120的劣弧上运动，如解图，设O为劣弧AB的圆心，连接OC，交 于点P，此时PC最小易得AOB等于120，又OAOB，OBAOAB30，OBCOBAABC306090，BC4，在RtOBC中，OCB30，OB ，OC ，PCOCOP .AB4 338 334 33第3题解图4.如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF，连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H，连接
13、DH，若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是_(请在图中画出点H的运动路径)第4题图【解析】如解图，连接AC，交BD于点I，在正方形ABCD中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG，在ABE和DCF中，ABE DCF(SAS)，12，在ADG和CDG中，15ABCDBADCDAAEDF ADCDADGCDGDGDG ADG CDG(SAS)，23，13，BAH3BAD90，1BAH90，AHB1809090，点H在以AB为直径 的上运动，取AB的中点O，连接OD交弧AB于点H，此时DH最小OHAO AB1，在RtAOD中，OD ，DHODOH 1.第4题解图AI225AOAD1255.如
14、图，在边长为2的菱形ABCD中，A60，M是AD边的中点，N是AB上一个动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长的最小值为_(请在图中画出点A的运动路径)第5题图 17【解析】根据折叠的性质得MAMA为定值，点A在以M为圆心，MA为半径的半圆弧上运动，如解图所示，连接MC与M交于点A，此时AC最小过点M作MHDC于点H，在边长为2的菱形ABCD中，A60，M为AD中点，2MDADCD2，HDM60，HMD30，HD MD ，HMDMcos30 ，MC ，ACMCMA 1.121232227HMCH7第5题解图6.如图，以正方形ABCD的一边BC为边向四边形内作等腰BCE，
15、BEBC，过E作EHBC于H，点P是RtBEH的内心，连接AP，若AB2，则AP的最小值为_(请在图中画出点P的运动路径)第6题图102【解析】如解图，连接PE、PC、PB.P是EHB的内心，EHB90，EPB180 (HEBHBE)135，BCBE，PBCPBE，PBPB，PBC PBE，BPCBPE135，点P在以CB为弧，其所对圆周角为135的弧上运动，以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO，连接OP、OA.则以点O为圆心的劣弧BC为点P的运动轨迹，APAOOP，当O、P、A共线时，PA的值最小，作OQAB的延长线于Q，易知OB ，OQBQ1，OA ，PA的最小值为 .12222
16、1310102第6题解图7.如图，AOB45，边OA、OB上分别有两个动点C、D，连接CD，以CD为直角边作等腰RtCDE，且CDCE，当CD长保持不变且等于2 cm时，则OE长的最大值为_(请在图中画出点O的运动路径)第7题图102【解析】根据“定边定角”模型可知，点O在以CD为弦，且其所对的圆周角为45的 上运动设点Q是 的圆心，连QC、QD，则CQD2COD90，CD2，则CQOQDQ ，如解图，分析可知，当O、Q、E三点在一条直线上时，OE最大，过点E作EHQC的延长线于点H，QCD45，ECD90，则HCE45，EHHC ，在RtHEQ中，可求得EQ ，OE长的最大值为 .第7题解图
17、DOCDOC2210102模型模型 四四 三角形中，若一边长为定值，这一边所对的角度也为定值，则满足条件的点在两段弧上运动，当这个角的顶点在其对边的中垂线与弧的交点处时该三角形的面积达到最大，此时该三角形为等腰三角形例：如图，AB2，APB60，要求SAPB的最大值，当且仅当POAB时，APB的面积最大“辅助圆辅助圆”解面积的最值解面积的最值模型分析模型分析1.如图，在四边形ABCD中，ADBC，BDDC，若AD2，BC4，则四边形ABCD面积的最大值是_针对训练针对训练第1题图 6【解析】在四边形ABCD中，ADBC，AD2，BC4，要使面积最大，即要AD与BC之间距离最大，BC所对的BDC
18、90，根据“定边定角”模型可知：满足条件的D点在以BC为直径的半圆上运动，当D点运动到BC的中垂线与半圆的交点时，D到BC的距离最大，此时DBC为等腰直角三角形，D到BC的距离 BC2，四边形ABCD面积的最大值为 (24)26.第1题解图12122.(2018西安爱知中学模拟)如图，已知在四边形ABCD中，ABAD，BAD60，BCD30，AC4 ，则四边形ABCD面积的最小值是_第2题图28 83【解析】ABAD，BAD60，ABD为等边三角形，如解图，过点B、D分别作AC边上的高BE、DF，当且仅当E、F两点重合时，BEDF取得最小值，此时BEDFBD，AC长度为定值，此时S四边形ABC
19、D最小，作BCD的外接圆O，连接OB、OD，BCD30，BOD60，又OBOD，BOD为等边三角形，ACAEOEOC BD BDBD4 ，BD2 2 ，S四边形ABCD ACBD 4 (2 2 )8 8.32322261212第2题解图22633.如图，在ABC中，AB2，ACB45，分别以AC、BC为边向外作正方形ACED、正方形CBMN，连接EN，则ECN面积的最大值为_第3题图12【解析】如解图，过点A作APBC，过点E作EQNC的延长线于点Q，由已知得ECAC，CNBC，ECABCN90，ECQQCA90，ACBQCA90，ECQACB，ECAC，EQCAPC，EQC APC，EQAP
20、，SECN CNEQ，SABC CBAP，1212SECNSABC，要求ECN面积的最大值，即求ABC面积的最大值AB2，ACB45，根据“定边定角”模型可知，点C在以AB为弦，ACB45的圆上运动，当C点运动到AB的中垂线与圆的交点时，C点到AB的距离最大为 1，此时ABC为等腰三角形，其面积最大，ABC面积的最大值为 2(1)1.第3题解图222124.问题探究：(1)如图，在ABC中，ABAC5，BC6，则ABC的面积等于多少？(2)如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点P在对角线AC上，且CPCB，求PBC的面积？问题解决：(3)如图，ABC是一块商业用地，其中B90，AB30 m
21、，BC40 m，某开发商现准备再征一块地，把ABC扩充为四边形ABCD，使D90，是否存在面积最大的四边形ABCD？若存在，求出四边形ABCD的最大面积；若不存在，请说明理由第4题图解：(1)如解图，作中线AD，则AD平分ABC的面积，BDCD BC 63，ACAB5，ADBC，由勾股定理得AD 4，SABC BCAD 6412；(2)矩形ABCD中，AB3，BC4，则AC 5，点P在对角线AC上，且CPCB4，在ABC中，AC边上的高即为PC边上的高，h ，PBC的面积为S PCh ；第4题解图12121212225322ABBC3 4125512245(3)存在要使四边形ABCD的面积最大
22、，ABC的面积为定值，只要ACD的面积最大即可B90，AB30 m，BC40 m，则AC 50 m，SABC BCAB600 m2.在ACD中，D90，AC50米，根据“定边定角”模型可知，点D在以AB为直径的半圆上运动，如解图，当D点运动到AC的中垂线与半圆的交点时，D点到AC的距离最大为25 m，此时ACD为等腰直角三角形，其面积最大，则ACD的最大面积为 ACDO625 m2，22ABBC1212四边形ABCD的最大面积为SABCSACD1225 m2.第4题解图模型模型 五五 如图，O与直线l相离，点P是O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r，则点P到直线l的最小距离
23、是dr，点P到直线l的最大距离是dr.“摩天轮摩天轮”中的最值问题中的最值问题模型分析模型分析1.如图，平面直角坐标系中，已知C和直线AB：y x ，点Q为C上一个动点，已知C的半径为1，C(3，0)，则点Q到直线AB距离的最大值是_，最小值是_第1题图2 132 1333【解析】如解图，过点C作直线AB的垂线，垂足为点D，交C于点Q1，延长DC交C于点Q2，则点Q到直线AB距离的最大值为DQ2，最小值为DQ1，易得到ABOCBD，当x0时，y ，当y0时，x1，A(0，)，B(1，0)，AB2，BC4，则 ，CD2 ，DQ22 1，DQ12 1.第1题解图ABACBCCD33234CD333
24、2.如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，2)，A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ与A相切于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_第2题图【解析】如解图，连接AQ、AP，则AQP90，PQ ，当AP最小时，PQ最小，当APx轴时，AP最小，A点坐标为(3，2)，PQ最小时，P(3，0)(3，0)第2题解图22221APAQAP3.如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作D，P为D上的一个动点，连接AP、OP，则AOP面积的最大值为_第3题图174【解析】如解图，延长AO至C点，过点D作DFAC于点F，延长FD交D于点P，连接AP，OP，要使AO
25、P面积最大，则只需AO边上的高最大，此时P满足条件，即PF为最大的高，DF ，PF DP 1 ，AO AC ，SAOP最大 AOPF .第3题解图224 312543AD CDAC12512517512521212521751744.如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C的圆心坐标为(1，0)，半径为1，若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是_第4题图222【解析】要使ABE面积最小，BE边上的高AO为定值2，则只需BE长最小，如解图，当且仅当AD与C在第二象限切于点D时，BE取得最小值，连接CD，易得CD1，AC3，AD ，又DACOAE，CDAEOA90，AEOACD，即 ，OE ，BE最小值为2 ，SABE最小 BEAO (2 )22 .第4题解图22312AOADOECD22 21OE222212122222
