1、 教育部重点课题新教育子课题教育部重点课题新教育子课题 在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践温州市瓯海区三溪中学温州市瓯海区三溪中学 张明张明*0 12222babyax yoF1F2Mx yxoF2F1M椭圆的标准方程椭圆的标准方程：0 12222babxay222abcF1(-c，0)，F2(c，0)F1(0，-c)，F2(0，c)椭圆定义：椭圆定义：|MF1|+|MF2|=2a椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质v1、范围、范围v2、对称性、对称性)0(12222babyax利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质v3、顶点、顶点v4、离心率、离心率1、
2、范围、范围axaxby byxyo中在)0(12222babyaxn椭圆位于直线 所围成的矩形内byax,022byax 122axby 同理2、对称性、对称性P(x,y)P1(x,-y)P3(-x,-y)P2(-x,y)xyo原点叫椭圆的对称中心，简称中心 轴、轴叫椭圆的对称轴 xy3、顶点、顶点椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆的方程 里，12222byax)0,(),0,(21aAaA 0 x令 得 ，因此椭圆和 轴有两个交点 byyxax0y令 得 ，因此椭圆和 轴有两个交点),0(),0(21bBbB21AA叫椭圆的长轴，长为a2ba,分别为椭圆的
3、长半轴长和短半轴长.21BB叫椭圆的短轴长为b2为椭圆的焦距,为椭圆的半焦距c2caFBFBFBFB22122111xyoA2A1F2F1.B2B1.xyo四个直角三四个直角三角形称为特角形称为特征三角形征三角形 同学们，同学们，a大还是大还是b大还是大还是c大即谁最大？是大即谁最大？是a2=b2+c2还是还是c2=a2+b2需要死记硬背吗？需要死记硬背吗？答：只要画出椭圆，知道顶点，知道那个特征直角三角形这答：只要画出椭圆，知道顶点，知道那个特征直角三角形这些结论自然而然的得出。些结论自然而然的得出。同学们，椭圆有圆有扁，如何区分刻画这种情况？同学们，椭圆有圆有扁，如何区分刻画这种情况？在椭
4、圆的三个重要参数在椭圆的三个重要参数a、b、c中，其实只要知道两个，那椭中，其实只要知道两个，那椭圆就确定下来了。所以用圆就确定下来了。所以用a、b或或b、c、或、或a、c都可以判断椭圆的都可以判断椭圆的圆扁程度。圆扁程度。我们一般选取我们一般选取a、c。但如果要得到结论那要把。但如果要得到结论那要把a、c关系转化关系转化成成a、b关系。关系。让让a不变，不变，c变。让变。让c从从0到到a，因为，因为a2=b2+c2，所以，所以b从从a到到0则则椭圆越来越扁。椭圆越来越扁。本来用含有本来用含有a、b的式子来刻画椭圆的圆扁程度是最好的。的式子来刻画椭圆的圆扁程度是最好的。a不变，让不变，让b从从
5、0到到a，椭圆越来越圆。因为，椭圆越来越圆。因为a2=b2+c2。b不变不变,让让a从从b到无穷大，则椭圆越来越扁。到无穷大，则椭圆越来越扁。但我们习惯用含有但我们习惯用含有a、c的式子来刻画椭圆的圆扁程度。的式子来刻画椭圆的圆扁程度。为什么要选为什么要选a、c不是不是a、b？因为因为:一、一、a、c在椭圆的定义中有是原始的参数不是导出参数；在椭圆的定义中有是原始的参数不是导出参数；二、与椭圆的第二定义有关，第二定义古希腊人已经知道一点二、与椭圆的第二定义有关，第二定义古希腊人已经知道一点点，在阿波罗尼的点，在阿波罗尼的圆锥曲线圆锥曲线里，古希腊人知道圆锥曲线有个焦里，古希腊人知道圆锥曲线有个
6、焦点和准线但不深入比较肤浅。离心率是点和准线但不深入比较肤浅。离心率是17世纪初，在当时关于一个世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率离心率，给圆锥曲线的第二定义铺平道路，第二定义也称统一定义。，给圆锥曲线的第二定义铺平道路，第二定义也称统一定义。4、离心率、离心率概念概念：椭圆焦距与长轴长之比.定义式：定义式：ace 2)(1abe范围：范围：10 e B 2 B 1 A
7、2 A 1 x O y,0e椭圆变圆，直至成为极限位置：圆椭圆变圆，直至成为极限位置：圆,1e椭圆变扁，直至成为极限位置：线段椭圆变扁，直至成为极限位置：线段结论需要死记硬背吗？理解了就自然记住。注意：这些不用注意：这些不用死记硬背，而是死记硬背，而是理解理解i记忆记忆22221(0)xyabab22221(0)yxabab(01)ceea方程方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2两种标准方程的椭圆性质的比较两种标准方程的椭圆性质的比较bybaxa,bxbaya,例题分析例题分析例例1、求椭圆求椭圆16x225y2400
8、的长轴和短轴长，离心的长轴和短轴长，离心率，焦点和顶点坐标率，焦点和顶点坐标1162522yxn解：把已知方程化为标准方程解：把已知方程化为标准方程3,4,5cba所以椭圆的四个顶点是椭圆的四个顶点是A A1 1(5,0)5,0)、A A2 2(5,0)(5,0)B B1 1(0,(0,4)4)、B B2 2(0,4(0,4)离心率离心率53ace焦点焦点F F1 1(3,0)3,0)和和F F2 2(3,0),(3,0),因此长轴长因此长轴长 短轴长短轴长 102 a82 b这些结论需这些结论需要记住公式要记住公式然后去套吗？然后去套吗？只要画出椭只要画出椭圆结论自然而圆结论自然而然的得出。
9、然的得出。练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点）经过点P（-3，0），），Q（0，-2）；）；（2）长轴长等于）长轴长等于20，离心率等于，离心率等于 .5314922yx解：解：（1）由椭圆的几何性质可知，点）由椭圆的几何性质可知，点P、Q分别为椭圆分别为椭圆23ba，为所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程.，由已知53202)2(acea.610ca，.64222cab1641001641002222xyyx或所以椭圆方程为：长轴和短轴的一个端点长轴和短轴的一个端点.小结小结22221(0)xyabab22221(0)yxabab(01)ceea方程方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率xA2B2F2yOA1B1F1yOA1B1xA2B2F1F2
