1、微积分微积分(下下)期末考试要点期末考试要点选择题常考内容：选择题常考内容：1、多元函数连续、可微、可偏导之间的关系；、多元函数连续、可微、可偏导之间的关系；2、求多元数量值函数积分：二重积分、三重积分、求多元数量值函数积分：二重积分、三重积分、第一类线、面积分计算第一类线、面积分计算.(注意注意对称性对称性)3、幂级数的、幂级数的阿贝尔定理阿贝尔定理；、一个给定级数的收敛情况、一个给定级数的收敛情况（是绝对收敛或条件收敛或发散或不定）（是绝对收敛或条件收敛或发散或不定）、傅立叶级数的、傅立叶级数的狄立克莱收敛定理狄立克莱收敛定理；务必掌握的计算：务必掌握的计算：1、二阶线性常系数非齐次微分方
2、程、二阶线性常系数非齐次微分方程 y+ay+by=f(x)的求解的求解.2、求多元函数的偏导数、求多元函数的偏导数.3、求多元函数的、求多元函数的(无条件、条件）无条件、条件）极值极值4、求空间曲线的、求空间曲线的切线与法平面切线与法平面；求空间曲面的求空间曲面的切平面与法线切平面与法线；(,)0fxmz ynz 尤其是尤其是抽象函数抽象函数的偏导数的偏导数.如如:z=f(xy,x-y);方程所确定的方程所确定的隐函数隐函数的偏导数的偏导数.如如:、用、用格林公式格林公式计算第二类曲线积分；计算第二类曲线积分；用用高斯公式高斯公式计算第二类曲面积分计算第二类曲面积分、求幂级数的、求幂级数的收敛
3、域收敛域及其及其和函数和函数;将函数将函数f(x)f(x)展开为幂级数、傅立叶级数展开为幂级数、傅立叶级数5 5、计算、计算二重积分、三重积分二重积分、三重积分、第一类曲面积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分第二类曲面积分或二型线积分与路径无关或二型线积分与路径无关.证明题常考内容：证明题常考内容：主要是关于常数项级数的收敛性证明；主要是关于常数项级数的收敛性证明；（仅（仅2003,2008年没有考）年没有考）多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可偏导函数可偏导例选择题例选择题00()(,)B f xy 必不存在；
4、00()lim(,)xxyyAf x y必不存在；00()(,)(,)C f x yxy在必不可微；0000()(,),(,)xyD fxyfxy 必不存在；B()A 必要而非充分条件；()B 充分而非必要条件；()C 充分必要条件；()D 即非充分又非必要条件；二重积分的计算步骤二重积分的计算步骤1 1、作积分区域图、作积分区域图.2 2、根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系；、根据区域的形状及被积函数的结构选择坐标系；3 3、化二重积分为二次积分；、化二重积分为二次积分；(1)(1)直角坐标系中，需确定是直角坐标系中，需确定是先对先对y y后对后对x x积分还是积分还是先先对对x x后
5、对后对y y积分积分;(2)(2)极坐标系中，一般是极坐标系中，一般是先对先对r r后对后对 积分积分.注意注意:(1)(1)坐标系选择不当坐标系选择不当,不仅会增加计算难度不仅会增加计算难度,而且还可而且还可能导致积不出来；能导致积不出来；(2)(2)直角坐标系中，积分次序选择不当直角坐标系中，积分次序选择不当,也可能会增加也可能会增加计算难度计算难度,甚至积不出来；甚至积不出来；一、三重积分在直角坐标系下的计算一、三重积分在直角坐标系下的计算二、三重积分在柱面坐标系下的计算二、三重积分在柱面坐标系下的计算三、三重积分在球面坐标系下的计算三、三重积分在球面坐标系下的计算 三重积分的计算三重积
6、分的计算法法1:“先一后二法先一后二法”(投影法投影法)法法2:“先二后一法先二后一法”(截面法截面法)21(,)(,)(,).xyzx yzx yDdxdyf x y z dz21(,)zccDdzf x y z dxdy三重积分在直角坐标系下的计算：三重积分在直角坐标系下的计算：(,)zDf x y z dxdy 而而 容易积分时容易积分时,才考虑才考虑“先二后一法先二后一法”.注注:当当 截面截面D z容易确定、容易表达；容易确定、容易表达；(1)“先一后二法先一后二法”(投影法投影法)(2)“先二后一法先二后一法”(截面截面法法)21(,)(,)(cos,sin,).rzrzrDrdr
7、df rrz dz 21(cos,sin,)zccDdzf rrz rdrd三重积分在柱坐标下的计算：三重积分在柱坐标下的计算：方法：方法：则可选用柱坐标系则可选用柱坐标系.若若(1)被积函数为被积函数为f(x2+y2)；(2)区域区域V的边界面的方程含的边界面的方程含x2+y2；（如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等）（如边界面为球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等）实质：实质：将直角坐标系中的将直角坐标系中的“先一后二先一后二”法或法或“先二后一先二后一”法中的法中的“二二”在极坐标系中计算在极坐标系中计算.球坐标最佳适用情况：球坐标最佳适用情况：被积函数为被积函数为f(x2+y2+
8、z2)；区域区域V的边界面为球面、圆锥面等的边界面为球面、圆锥面等.球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素三重积分在球面坐标下的计算：三重积分在球面坐标下的计算：2sindvd d d cos,sinsin,cossinzyx02,)00(-方法三、方法三、(直接法直接法)化为定积分。化为定积分。方法二、格林公式方法二、格林公式:方法一、积分与路径无关方法一、积分与路径无关,LPdxQdy平面上的第二类线积分的计算：(注意注意:积分无关的区域积分无关的区域 D D 必须是单连通区域必须是单连通区域!)!)(注意注意:(1):(1)积分曲线积分曲线 L L 要封闭要封闭;(2)P,Q (2)P,Q
9、函数要在区域函数要在区域D D内有连续偏导内有连续偏导.).)DLdxdyyPxQQdyPdx.)(QPxy需计算及，第二类曲面积分的计算第二类曲面积分的计算方法二：总投影法（定义法）方法二：总投影法（定义法）;方法三：分别投影法方法三：分别投影法.方法一：高斯公式法方法一：高斯公式法;()SVPQRPdydzQdzdxRdxdydVxyz(注意注意:曲面曲面S S要封闭要封闭!)!)注意：注意：1.线、面积分的被积表达式中的线、面积分的被积表达式中的(x,y,z)满足积分曲线或曲面的方程。满足积分曲线或曲面的方程。2.利用对称性可简化积分的运算利用对称性可简化积分的运算.(但第二类线、面积分
10、的对称性不仅与被但第二类线、面积分的对称性不仅与被 积积函数及积分区域有关而且还与积分函数及积分区域有关而且还与积分区域的方区域的方向有关！向有关！)（但二重积分与三重积分没有此特性！）（但二重积分与三重积分没有此特性！）故可由曲线故可由曲线(曲面曲面)方程进行方程进行等值代换等值代换来化简被积表达式化简来化简被积表达式化简!电电子子科科技技大大学学期期末末微微积积分分（下下）试试题题21(1)yyxy 22.(,)(1,0)yf x yx yxe 函函数数在在处处方方向向导导数数的的最最大大值值等等于于_ _ _ _.(1,0)xf maxfl (1,0)yf?zy 若若 求求：(1,0)2
11、gradfij.(15,3)1.(1),yzzxyx 一一填填空空题题分分 每每题题 分分设设则则(1,0)2yxye 1,2(1,0)yxxe 2(1,0)gradf5 1014.(,)ydyf x y dx 交交换换二二次次积积分分的的次次序序010(,)xdxf x y dy 1 yx xy22223.1,43234)LxyLaxyxyds 设设 为为椭椭圆圆其其周周长长为为，则则 （12a0,-205.()4,(-2,2(),02()-2,2().xxf xf xexf xS x 设设函函数数以以 为为周周期期 在在 上上函函数数则则的的傅傅里里叶叶级级数数在在 上上的的和和函函数数表
12、表达达式式 20,20,021().,02,22xxexxxex 解解：S S2 20000.(15,3,)1.(,)(,)(,)(,)().();();();().f x yxyf x yxyABCD二二选选择择题题分分 每每题题 分分 只只有有一一个个正正确确在在点点处处两两个个偏偏导导数数存存在在是是在在点点处处可可微微 必必要要条条件件 充充分分条条件件 充充分分必必要要条条件件 以以上上都都不不是是A21222122212222122222.(,),().();();();().zzf x xyfx yA fyfB xfxyfC ffyfD xffxyf 设函数具有二阶连续偏导数设函
13、数具有二阶连续偏导数12,zfyfx D212222 zf xfxfyx y 分析分析:3.25sin2().()()sin2;()()cos2()sin2;()()sin2;()()cos2()sin2.xxxxxyyyxexA AxB exB eAxBxCxDxC x AxB exD xeAxBxCxDx非齐次线性微分方程的特解形式为非齐次线性微分方程的特解形式为2250rr 解解：12iwi 是特征根，是特征根，*()cos2()sin2.xyxeAxBxCxDxD2162r 12i 2224.(,)|1,0,().()0;()0;()0;()0.VVVVVx y zxyzzAxdVBy
14、dVCzdVDxydV 设设上上半半球球则则以以下下等等式式错错误误的的是是 15.(1)-1,2().();();();().nnnaxxxABCD 若幂级数在处收敛 则级数在 若幂级数在处收敛 则级数在 条件收敛绝对收敛发散不能判定条件收敛绝对收敛发散不能判定CB222.(8)(,),(),.zxyzyfyzzzz x yf uxy 三三分分 设设方方程程确确定定函函数数其其中中可可微微 求求222(,)zF x y zxyzyfy解：令解：令2,xFx,xzFzxF yF 2zzFzfy yzFzxF 22,zzzyfyfyyy 11.(8)(,)(0).zf x yxyxyxy四分 求
15、函数的极值四分 求函数的极值2210,10 xyzyxzxy 解解：32,xxzx 230,ACB (1,1);解解得得驻驻点点2,A 1,xyz 1,B 32,yyzy 2,C 0,A(1,1)3,z 故故有有极极小小值值ABB C.(12)1.2(0)0,(0)0 xyyyeyy 五分五分求微分方程满足初值条件求微分方程满足初值条件的特解的特解2210,rr解解：设设非非齐齐次次特特解解为为:*2(2),xyAxxe 1,2A 代代入入原原方方程程得得故故通通解解为为:120,0,CC由初值条件得由初值条件得*21,2xyx e 21.2xyx e 1,21,r 12()xYCC x e*
16、2xyAx e *yYy2121(),2xxCC x ex e*2(24),nxyAxxe 222.321.2zxyyz在在曲曲面面上上求求一一切切平平面面，使使该该切切平平面面x x垂垂直直于于直直线线3 31284-50 xyz 即即000(,)xyz解解：设设切切点点为为 ,1xynzz 法法向向量量 因因切切平平面面直直线线 006,4,1xy 00641321xy 01,2x 01,2y :代代入入曲曲面面方方程程得得05,4z 115:3()2()()0224xyz 切切平平面面方方程程为为2.(7)()arctanln 1,.f xxxx六分 将函数展开为 的幂级数六分 将函数展
17、开为 的幂级数并说明展开式成立的区间并说明展开式成立的区间22211()arctanln(1)211xfxxxxx 解：解：2200(),nnnnxxx）22100(1)(1),nnnnnnxx 21220()(1),2122nnnnxxfxnn|1x 2210(1)(),nnnnxx|1x|1x|1x 32222.(8)(2-cos)(1-2 sin3),2(0,0)(,1).2Lxyyx dxyxx ydyLxy 七分 计算曲线积分七分 计算曲线积分其中 为抛物线从点到点的一段弧其中 为抛物线从点到点的一段弧解解：,OAAB 选选取取路路径径为为折折线线：LOAAB故故oAB:0,:0;2
18、OA yx :,:01;2AB xy 200dx 积积分分与与路路径径无无关关24 262 cosxyyx,Qx LOAAB12203(12)4yydy Py 2223222.(10)()()(),1(0).Szxydydzyzxz dzdxx zxdxdySxyzz 八分 计算曲面积分八分 计算曲面积分其中 为下半球面下侧其中 为下半球面下侧1:0,(),Sz 解解：补补上上侧侧1SS 由由高高斯斯公公式式2122002sinddd 1S 11SSSS 11;SSSS 2.5 3xyDx dxdy 0 205 25 222()VyzxdV2222.(10)2,.zxyzxyVS 九分 设 是
19、曲面与九分 设 是曲面与所围成的立体 求 的体积 与表面积所围成的立体 求 的体积 与表面积VVdV 解解：圆圆锥锥表表面面积积:22SSdS 抛抛物物面面表表面面积积:212001dr rdr 12SSS221200rrdrdrdz 5.6 2xyDdxdy 221xyxyDzz dxdy 2 11SSdS 221xyzyDzz dxdy 22144xyDxy dxdy 4(2 21)3 42(2 21).3 11.(7),:1.nnnnuuu 十十分分 设设为为单单调调增增加加有有界界的的正正项项数数列列 证证明明级级数数收收敛敛证明证明:谢谢大家！谢谢大家！22221,43234)().
20、LxyLaxyxyds 设设 为为椭椭圆圆其其周周长长为为，则则 （12a例例1:填空题填空题111122221(0),().()4;()4;()4;()4;SSSSSSSSxyza zSAxdsxdsBydsydsCzdszdsDxydsxyds 设设S S:为为在在第第一一卦卦限限部部分分，则则有有 C例例2 选择题选择题:四、第二类曲面积分的计算四、第二类曲面积分的计算方法二：总投影法（定义法）方法二：总投影法（定义法）;方法三：分别投影法方法三：分别投影法.方法一：高斯公式法方法一：高斯公式法;()SVPQRPdydzQdzdxRdxdydVxyz(注意注意:曲面曲面S S要封闭要封闭
21、!)!)SdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPI),(),(),(1):(,),S zz x y若 X XY YD Dd dx xd dy yn nF FI I 则则(,1)xynzz 法向量：（上侧取正，下侧取负！）（上侧取正，下侧取负！）方法二：总投影法（定义法）方法二：总投影法（定义法）kzyxRjzyxQizyxPF),(),(),(;xySxoyD则将 向面投影得;),(),),(:)2 2(xzxzD Dz zx xz zx xy yy yS S 若若),1 1,(z zx xy yy yn n （右侧取正，左侧取负！）（右侧取正，左侧取负！）XzXzD Ddxdzdx
22、dzn nF FI I 则则;),(),),(:)3 3(yzyzD Dz zy yz zy yx xx xS S 若若),1 1(z zy yx xx xn n （前侧取正，后侧取负！）（前侧取正，后侧取负！）z zY YD Dd dz zd dy yn nF FI I 则则关键关键：确定将：确定将S 向哪个坐标面投影。并正确求出法向量。向哪个坐标面投影。并正确求出法向量。()SR xyz dxdy，方法三、分别投影法方法三、分别投影法:xyDy)(x,y)z(x,z :S其中其中xzDz)(x,z)y(x,y :S其中其中(2)()SQ xyz dzdx，（1）SPdydzQdzdxRdx
23、dy SSSPdydzQdzdxRdxdy ()()DxyDxyR xyz xy dxdyR xyz xy dxdy，法向朝上，法向朝下()()DzxDzxQ xy zxz dzdxQ xy zxz dzdx，法向朝右，法向朝左yzDz)(y,z)x(y,x :S其其中中(3)()SP xyz dydz，()()DyzDyzP x yzyz dydzP x yzyz dydz，法向朝前，法向朝后 LdyyxQdxyxP)()(，1、在在D内与积分路径无关内与积分路径无关yPxQ 2、P(x，y)dx+Q(x，y)dy是是D内某一函数内某一函数u(x，y)的全微分，的全微分，yPxQ 设设D为平
24、面内的单连通区域，函数为平面内的单连通区域，函数P(x，y)，Q(x，y)在在D内有连续的一阶偏导数，内有连续的一阶偏导数，00()()()()()xyxyu xyP xy dxQ xy dy，且，且，（称（称 u(x,y)为为P(x，y)dx+Q(x，y)dy的一个的一个原函数原函数）平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件2222222()().xzxxzdydz S S（1 1）设设S S是是球球面面+y=1+y=1的的外外侧侧，则则+y+y例例1 填空题填空题:222().Lxxyyydx （2 2）设设L L是是椭椭圆圆2+=12+=1的的正正向向，则则0 sin(c
25、os4),(0,0)(2,0)(0).xxLeydxeyx dyLaa 例例2 2：计计算算曲曲线线积积分分I=I=其其中中 为为以以OAOA为为直直径径的的从从点点O O到到点点A A上上半半圆圆周周2-2 a (2003级期末考题级期末考题8分分)ALOD(积分路径积分路径L不封闭不封闭，不能直接用格林公式，不能直接用格林公式!)加辅助线加辅助线AO，其方向为由，其方向为由A到到O，使，使L+AO封闭，则封闭，则QPxysin(cos4)xxL AOeydxeyx dy 解：解：44Ddxdy 因因AO：y=0，x从从a到到0；则；则0sin(cos4)xxAOeydxeyx dyL AO
26、AO原式2-2 a 22233322231(0)(1)SSxyzzy dydzx dzdxzdxdyIxyz 例例：设设 为为上上半半球球面面（上上侧侧），计计算算曲曲面面积积分分75I (2003级期末考题级期末考题9分分)333(1)SIy dydzx dzdxzdxdy S解：解：221:0 (1)Szxy，且取下侧。作辅助面：作辅助面：251333(1)S Sy dydzx dzdxzdxdy 23Vz dV1333(1)Sy dydzx dzdxzdxdy 又又1SdxdyxyDdxdy 222222,(uuuuuxyzudsudxdydznn设 是有界闭区域上的光滑边界曲面，三元函数在上有二阶连续偏导数，记试证明：是 的外法向量）例例4:0cos,cos,cos)nn设外法向量 的单位向量为（证明证明:un则udsn uuudydzdzdxdxdyxyy 222222()uuudxdydzxyzudxdydzcoscoscosuuuxyy(coscoscos)uuudSxyy
