1、弹塑性力学与有限元单元插值函数的构造弹塑性力学与有限元 n概述n一维单元插值函数的构造Lagrange单元n一维单元插值函数的构造Hermite单元n三角形单元插值函数的构造n二维、三维Lagrange单元族nSerendipity单元族q单元插值函数的构造单元插值函数的构造本章重点和应掌握的内容用以构造单元插值函数规范化形式的两类自然坐标（和物理坐标系同维的曲线坐标与和物理坐标系不同维的面积坐标及体积坐标）的建立方法和特点。构造单元插值函数的两类方法（广义Lagrange插值函数法和变结点插值函数法）的步骤和特点。q单元插值函数的构造、等参元和数值积分单元插值函数的构造、等参元和数值积分单元
2、的分类几何形式一维、二维、三维单元结构形式结构单元、实体单元一维单元q单元和插值函数的构造单元插值函数的构造、等参元和数值积分 在单元的选择上,一维单元可以是2节点线元、3节点二次元等。二维单元三维单元q单元和插值函数的构造单元插值函数的构造、等参元和数值积分在单元的选择上,二维单元常用3/6节点三角元、4/8/9节点四边元等在单元的选择上,三维单元常用4/10节点四面体元、8/20节点六面体元,特殊情况下,也可采用五面体元等。由第二章知道：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元（平面问题：3个结点，6 个自由度)利用3个结点坐标:xi,yi(i=1,2 3)ue
3、Nau 123456,单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造利用广义坐标，建立有限单元法的插值函数方法繁琐，形成的单元矩阵复杂。问题：插值函数构造取决于？必须注意：插值函数的构成不取决于求解的微分方程式，插值函数构造方法仅取决于：几何图形（单元形状）;结点数量与位置；以及在单元结点处规定的因变量的数量。单元插值函数的构造、等参元和数值积分一维单元插值函数的构造Lagrange单元一维自然坐标系n个结点构造n-1次Lagrange插值多项式：1)结点i的插值函数；2)i为第i个结点的坐标,3)为自然坐标即：为结点i的n-1次插值函数，i=1,2n。)(l)1n(i nik1k
4、kikni1ii1ii2i1in1i1i21)1n(i)()().()().()().()().()()(l q单元和插值函数的构造 的性质 i=1,2n1)n-1次插值函数,共有n个项2)3)()(1nil ji0ji1)(lijj)1n(i 1)(l)1n(in1i 单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造一维单元插值函数的构造Lagrange单元构造一维单元插值函数：a.Lagrange线性插值 (n=2)单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造)()()()(12121211l)()()()(12112112l一维单元插值函数的构造Lagrange单
5、元单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造构造一维单元插值函数：构造一维单元插值函数：b.二次Lagrange插值 (n=3)1(21)1(21)()()(l1131213221 )1(21)1(21)(l3323 )1()(l222 一维单元插值函数的构造Lagrange单元单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造如果要求在单元的公共界面上保持场函数导数的连续性,则节点参数中还应当包含场函数导数的节点值.此时可以采用Hermite插值多项式作为单元插值函数.对于一维二节点元,Hermite插值多项式可以表示为：220111iiiiiiHH 0,ijijH
6、41iiiHQ 或者其中Hermite插值多项式具有以下性质10,ijH 00jidHd 1jiijdHd一维单元插值函数的构造Hermite单元单元插值函数的构造、等参元和数值积分11223412,QQQQ 023111 32NH 123312NH 0232232NH 12342NH 并且当1=0,2=1时,和 是以下形式的三次多项式 0iH 1iH01H02H11H12H1.01.011q单元和插值函数的构造一维单元插值函数的构造Hermite单元单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造 22220122111iiiiiiiiiddHHHdd 保持场函数的一阶导数连续性的
7、Hermite多项式称为一阶Hermite多项式.0阶的Hermite多项式就是Lagrange多项式;在节点处保持至场函数的n阶导数连续性的Hermite多项式称为n阶Hermite多项式.在2节点时,它是的2n+1次多项式.函数的2阶Hermite多项式可以表示为:61iiiHQ 或者一维单元插值函数的构造Hermite单元其中 0345222210156,NHQ 034511111 10156,NHQ 13453131683,dNHQd 22234551521133,2dNHQd 13454242473,dNHQd 223456262212,2dNHQd单元插值函数的构造、等参元和数值积
8、分q单元和插值函数的构造一维单元插值函数的构造Hermite单元对于3节点三角形单元,引入面积坐标:Li=Ai/A单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造面积坐标的定义：三角形内任一点P,可表示为：P=Li,Lm,Lj 由于三角形的面积坐标与该三角形的具体形状及其在总体坐标中的位置无关，因此，它是三角形的一种自然坐标。在构造三角形单元的插值函数时,普遍采用自然(面积)坐标来形成具体的形函数,其方法直观简单.1)与j-m 边平行线上的三角形内点有相同的值 Li 面积坐标的性质:单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的
9、构造iAiAjm2)角点坐标为:i(1,0,0）；j(0,1,0)；m(0,0,1)3)每边的方程为：在j-m边,Li=0；在m-i边,Lj=0；在i-j边,Lm=0；4)三个坐标不是独立的，只有两个独立的坐标:Li+Lm+Lj=1.面积坐标与直角坐标的转换关系:单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造=jjijmmjmmxyax yxyxy1=y1jijmmybyy 1=1jijmmxcxxx面积坐标与直角坐标的转换关系:单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造面积坐标的微分计算：导数计算（复合函数求导）单元
10、插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造同理：另设，以i-j为参考边,S表示p点到i-j边的距离根据形函数N 的构造，N 满足：用面积坐标给出单元插值函数：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造角结点的插值函数：i i 结点形函数结点形函数例：n=3,即单元结点数等于3，一次三角形单元，对于结点1：用面积坐标给出单元插值函数：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造例：当n=6时，每边有3个结点，k=3同理有：考虑边中点N4的插值函数,也满足：用面积坐标给出单元插值函数：
11、单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造用面积坐标给出单元插值函数：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造1)线性单元：（三结点三角形单元）单元的插值函数可以表示为:Ni=Li（i=1,2,3）2)二次单元：（六结点三角形单元）二次单元有六个节点,单元插值函数可以表示为:用面积坐标给出单元插值函数：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造其中,是通过除节点i以外所有节点的二根直线方程 的左端项.例如,当i=1时,分别是通过节点4,6的直线方程 的左端项和通过节点2,5
12、,3的直线方程 的左端项.123,ijfL L L 123,0ijfL L L 1jf 1112311,02fL L LL 121231,0fL L LL6145231(,0)(0,)(,0,)21231123,ijiijjiiifL L LNfLLL 是节点i到直线j的正则化的距离(也即面积坐标值),因此可以得到形函数:20L 123,ijiiifLLL121111112211LLNLL645231(,0)(0,)(,0,)1102L 用面积坐标给出单元插值函数：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造通过类似的步骤,可以得到其余各点形函数:6452
13、31(,0)(0,)(,0,)122222212211LLNLL123333312211LLNLL1241211224LLNL L3252311224LLNL L3161311224LLNL L用面积坐标给出单元插值函数：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造3)三次单元：（十结点三角形单元）单元插值函数可以表示为:用面积坐标给出单元插值函数：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造三角形单元插值函数的构造645231(2/3,1/3,0)789(1/3,2/3,0)(2/3,0,1/3)(1/3,0,1/3)(0,1/3,2/3)
14、(0,2/3,1/3)10(1/3,1/3,1/3)2133123313212iiiiiiLLLNLL(i=1,2,3,4)对于边内节点,例如4节点:12141211 39312 3 1 31 32LLLNL LL对于中心节点:31210123271 3 1 3 1 3LLLNL L L对于角节点:二维、三维Lagrange单元族：)(lnI)(lmJ)(l)(lNmJnIIJ 1),(NIJ1m1J1n1I JsIrsmJrnIsrIJ)(l)(l),(N 可证明：1)插值函数：（一般情况）很明显，有：单元结点：方向n+1个点 n阶插值函数 方向m+1个点 m阶插值函数单元插值函数的构造、等
15、参元和数值积分q单元和插值函数的构造二维情况：常用当有：一次单元、二次单元或三次单元2).一次单元4结点单元（矩形），双线性Lagrange 4,3,2,1i)1)(1(41Niii 这里插值函数以结点编号，而不是两个方向。原因是为了在计算机上实现方便。二维、三维Lagrange单元族：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造3).二次单元 9结点矩形单元(记作：)插值函数：7,5,)1)(1(21),(200iNi4,3,2,1)1)(1(41),(0000iNi8,6,)1)(1(21),(200iNi,)1)(1(),(229Nii00,内部中结点：边中结点：角结点：二
16、维、三维Lagrange单元族：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造由33次Lagerange 展开式所产生的项是 3次完全多项式由nn次Lagerange 展开式所产生的项是 n次完全多项式二维、三维Lagrange单元族：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造2.Lagrange单元族的特点：1)Lagrange单元族、插值函数构造方便2)但存在一些问题：以二维为例，a)内部结点较多 (n-1)(m-1)个,单元的次数越高，插值函数构造方便。相应自由度增多。二维、三维Lagrange单元族：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造
17、b)但非完全高次项较多，位移模式包括的多项式的项为：通常：p次多项式，结点数n，n=(p+1)2一次单元：多项式 4(项):完全的一次式:3,75%;多余的高次项：1,25%二次单元：9(项):完全的二次式:6,67%;多余的高次项：3,33%三次单元：16(项)完全的三次式:10,62.5%,多余的高次项：6,37.5%而多余的项对于提高单元精度没有多少好处。给我们提出一个问题：如何减少一些不必要的项，以提高效率。二维、三维Lagrange单元族：单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造此类单元 Zienkiewicz 首先提出，现在使用较多,目的是减少内部结点,显然，如果
18、是线性单元，则得到的问题与Lagrange单元族一样。Serendipity单元族单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造作用是：不改变精度的条件下，减少内部结点，即对 Lagrange 单元简化.Serendipity单元族单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造对于二次以上的单元,就减少内部结点：1)8结点四边形二维单元右下图表示边中结点5插值函数的变化规律：方向二次Lagrange插值，方向一次Lagrange插值，)1)(1(21)1)(1(21)1)(1(21)1)(1(2126282725NNNN8,.,3,2,18,7,6,5),(jiNijj
19、ji 显然满足，2)角结点插值函数：双线性插值函数构成以 为例，显然：a)b)为了满足 ，需要修正上述函数iiiiN00004,3,2,1)1)(1(41且：1),(111NiN不满足8,54,7,3,6,2210),(1jiNjjijjjiN),(Serendipity单元族单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造65222121),(NNNN76332121),(NNNN87442121),(NNNN85112121),(NNNN41811),(),(),()iiiiijjjiNNbNa角结点插值函数也可以按照以下划线法构成:以(1)和(1)的乘积与通过其相邻的两边中点的
20、直线方程相乘构成,以保证在两个邻边和对边满足插值函数为零.)1)(1)(1(4141C,1)1(N)1)(1)(1(C),(N11 原式原式很容易验证上式与前面已有的相同：85112121),(NNNNSerendipity单元族单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造3）二次变结点与二次 Lagrange 单元 Serendipity单元族单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造形函数比较 4)位移模式 单元内：较Lagrange单元族少 项，结点减少了（自由度）但完全多项式次数不减。边界上：所以单元间界面上位移协调。2222,1 22 二二次次2,1,1 二二次次2,1,1 二次变结点与二次 Lagrange 单元 Serendipity单元族单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造高次变结点单元位移模式 Serendipity单元族单元插值函数的构造、等参元和数值积分q单元和插值函数的构造
