1、概率统计数学模型新 乡 学 院 1、保险储备策略问题、保险储备策略问题 某企业每年耗用某种材料3650件，每日平均耗用10件，材料单价10元，一次订购费每件25元，每件年储存费2元，每件缺货一次费用4元，平均交货期10天，交货期内不同耗用量X的概率分布如下表所示，试求使用平均费用达到最小的订货量、订购次数及含有保险储量的最佳订货点。Xi80859095100105110115120125130Pi0.010.020.050.150.250.200.150.100.040.020.01/*数学建模步骤:(1)问题分析及模型的建立:a、求最佳订货量及订货次数;b、求最佳订货点和保险储备量 (2)模
2、型的Matlab实现方法*/(1)问题分析及模型的建立 名词解释：保险储备是指企业在经济活动中，按照某一经济订货批量，在订货点发出订货单后，如果需求增大或送货延迟，就会发生缺货或供货中断。为防止由此造成的损失，需要多储备一些存货以备应急之需，称为保险储备。这些存货在正常情况下不动用，只有当存货过量使用或送货延迟时才使用。假设：）;/(C ）；/(21天件元储存费次元订购费C);/();/(3件元单价件次元缺货费UC;订购量订货周期日平均需求量年需求量QTRD。B;L；S;保险储备量平均送货期订货点订购次数Na、求最佳订货量及订货次数 货物订货量 Q=RT 记任意时刻t的库存量为q(t),则有：
3、q(t+t)=q(t)-Rt,0ts Q(j)=X(j)-s;else Q(j)=0;end end Q;E(i)=Q*P;C(i)=n*g*E(i);H(i)=h*B(i);T(i)=C(i)+H(i);end E,C,R,T;Mint=min(T);运算结果为：E=（5.6000 3.000 1.4000 0.55000 0.2000 0.50 0)C=268.800 144.000 67.200 26.400 9.600 2.400 0 H=0 50 100 150 200 250 300 T=26.800 194.000 167.200 176.400 209.600 252.400
4、300.00 minT=167.2000,B*=10,S*=10.结果：（1）不采用储存策略，缺货费用较多；（2）保存较多的库存量，储备费用较多；（3）建立合理的保险储备量，则企业的年度平均费用最少.2、回归分析商品销量与价格的关系 某厂生产的一种电器的销量y与竞争对手的价格x1和本厂的价格x2有关，下表是该商品在10个城市的销售记录，试根据这些数据建立y与x1、x2的关系式。若某市本厂产品销价160元，竞争对手销价170元，预测商品在该市的销量.x1/元120140190130155175125145180150X2/元10011090150210150250270300250y/个1021
5、0012077469326696585（1）模型的建立 将(x1,y)和(x2,y)各10个点绘成散点图，可以看出y与x2有比较明显的线性关系，而y与x1之间的关系则难以确定，用回归分析进行研究(plot(x,y,:r+)回归分析的类型:最简单形式:y=b0+b1x 多元形式:y=b0+b1x1+b2x2 +bmxm 更一般形式:(多元线性回归的标准形)y=b0+b1f1(x)+b2f2(x)+bmfm(x)其中m2,x=(x1,x2,xm),fj是已知函数 b=(b0,b1,bm)为回归系数 在回归分析中自变量x=(x1,x2,xm)是影响变量y的主要因素,是能够被控制和观察的,且还受到随机
6、因素干扰,可以合理假设这种干扰服丛正态分布,模型记为:)(0,2110Nxbxbbymm 其中未知,现在得到n个独立观察数据(yi,xi1,xi2,xim),i=1、2、n),nm 由模型得:n、2、1),(0,2110iNxbxbbyiiimmii 记TmnnnmmnbbbyyYxxxxX),(,1110111111 则回归模型的矩阵形式为：),0(2NXy 由以上分析，对于商品销售量与价格的回归模型为：22110 xbxbby(2)模型在Matlab中的实现方法 命令形式：b=regress(Y,X)/*求解多元线性回归*/b,bint,r,rint,stays=regress(Y,X,a
7、lpha)实现方法：X1=120 140 190 130 155 175 125 145 180 150;X2=100 110 90 150 210 150 250 270 300 250;Y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85;X=ones(10,1)x1 x2;b,bint,r,rint,stays=regress(Y,X,alpha)3、单因素方差分析广告宣传对产品销售量的影响 某公司为了研究三种内容的广告宣传对某种洗衣机销售量的影响，进行了统计调查，经过广泛宣传后，按寄回的广告上的订购计算，一年四个季度的销售量统计如下表所示：季度季度广告类型广告类型A1A
8、2A31163184206217619819131701792184185190224 其中A1是强调运输方便性的广告；A2是强调节省能源的经济广告；A3是强调噪音低的优良广告.试问哪一种类型的广告促进洗衣机销量增加所起的宣传效果最好？(1)问题分析及模型的建立 单因素方差分析：若只考虑一个因素对实验指标的影响，而用方差进行分析，这种这种方法称为单因素方差分析。方差分析的主要目的是通过实验数据分析推断因素A对实验指标影响是否显著，即当因素A取不同水平的实验指标有无显著差异。假设检验的因子有m种水平，X1，X2，Xm是m个相互独立的正态总体，分别服从于N（i i，2），i=1,2,m；另外，xi
9、j（i=1,2,m；j=1,2ni,)是抽得的分别服从于正态分布的简单随机样本。单因素方差分析模型是：xij=i+ij ij N(0，2)对于上述模型中所提出的多个正态总体均值是否相等的问题，提出假设检验：H0:1=2=m 定义平方和分解公式)()()(1,1,2111212112111QQxxxxxxQxnnxxnxnnmimiinjiijminjijmiiinjijiimiiiii 其中Q1为内差平方和，Q1是反映数据xij在抽样过程中产生总的程度的一个评价指标。Q2是各组平均值与总平均值的离差平方和。通过Q2取值的大小可以反映原假设H0是否成立 构造F检验统计量为：)()1(12mnQm
10、QFF(m-1，n-m)检验方法：给定显著水平，当FF(m-1,n-m)时，则拒绝H0，其方差分析表如下所示：方差来源平方和自由度方差F值因子Q2m-1s22=Q2/(m-1)s22/s12误差Q1n-ms12=Q1/(n-m)总和QN-1s22=Q/(n-1)方差分析一般用的显著性水平是：取=0.01、0.05 概念解释：洗衣机销售是一个试验指标，新闻广告是影响试验指标的一个因素A，三个不同广告内容可以看种不同状态，称为水平，记为A1，A2，A3，该试验是一个单因子三水平的试验。试验分析：I、虽然用同一种广告，但在同一年里不同季度的销售量不同，分析原因可以认为是由于其他随机原因造成。II、不
11、同的新闻广告引起洗衣机销售量的不同，可能是广告内容的不同所致，也可能是其他随机因素所致。III、由于存在其他随机因素，为了便于简化与可操作性，假设这些随机因素对洗衣机销售量的影响是次要的，并且假设三种广告类型为三种不同的总体，由于经常遇到的是正态总体，因此，假定它们分别是方差相同的正态总体。所以该问题是一个单因素方差分析模型。(2)模型求解及Matlab中的实现方法 单因素方差分析 anova1():命令形式：p=anova1(X)其中X为mn阶的矩阵。功能：返回p=PFF(m-1,n-1),当p时，表示接收H0。模型求解命令：fm=163 184 206；176 198 191；170 17
12、9 218；185 190 224；anova1(fm).其运算结果为：ans=0.0039(p值）其方差分析表如下：SourceSSdfMSFProbFColums2668.1721334.0810.930.0039Error1098.59122.06Total3766.6711 由计算结果知 p=0.0039=0.05，故拒绝H0。查表可求得F0.05(2,9)=4.26F=10.93,所以拒绝H0 认为不同类型的广告内容对洗衣机销售有显著影响。最好广告形式的确定方法：定义 minmiimiii,2,1,11 i 称为第i个水平对试验结果的效应值，i 反映第i个水平因子对试验指标作用的大小
13、。.,iiiiiixxxx来估计参数计值可以用点估的无偏估计是点估计值 根据上述计算可知，广告内容对洗衣机销量有显著影响，因此计算出各水平效应值如下：42.1933.19075.20958.233.19075.18783.1633.1905.173332211xxxxxx 效应值3最大，说明广告A3引起的洗衣机销量最多，即广告A3对洗衣机销量所起的宣传效果最好。4、统计优化设计车灯线光源的优化设计 安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径为36mm，深度为21.6mm。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源要求
14、在某一设计规范标准下确定线光源的长度 该设计规范简化为：在焦点F正前方25m处的A点放置一测试屏,屏与FA垂直,用以测试车灯的反射光.在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线,在该直线A点的同侧取B点和C点,使AC=2AB=2.6m,要求C点的光强度不小于某一额定值,B点的光强度不小于该额定值的两值.试解决下列问题:(1)在满足设计规范的条件下,计算线光源长度,使线光源的功率最小.(2)对得到的线光源长度,在有标尺的坐标系中绘出测试屏上反射光的亮区.(3)讨论该设计规范的合理性.(1)模型的建立 建立坐标系如下图所示,记线光源长度为L,功率为W、B、C点的点光源强度分别为hB(L)W,hC(L)
15、W,hB(L)、hC(L)待求。车灯反射面方程为z=(x2+y2)/60,焦点坐标为（0，0，15）。1、位于点P（0，w，15）单位能量的点光源反射到点C（0，2600，25015）的能量 设反射点的坐标为Q(x,y,(x2+y2)/60),a为入射向量，该点反射面外法线方向为b,则反射向量 c=a-(2ab)b/|b|2xyzcabAFBCoQ.)900(6081000036001800,900)9002(,9002c:),(cc)1,30,30(),1560rw,-y(x,a,r2242222xx2222rwyrrcrrywcrxywccyxbyxzyzy的表达式可得由记wyrkcykc
16、xzy2900r-k0 x，k6025015,2600,kc：，C22x或从上述公式解得为常数其中应有点注意到反射光通过223459005200)2600(133750021060000001350810000)8100009360000()46800001498200(1800)2600(y0 x:yyxwwywywywyyw中以下两组方程由此可得反射点坐标满.2,1),60,0(,ww.36rww,56.1w，2iC022C0C0iyyQ，ii有两个反射点时而当即无反射点的实根第一组方程不存在满足时当存在通过计算可知.),60 xy,x,(36r-1.5609w3.8119-432222，
17、QQy，记为反射点即有两个的一对实根存在满足时而第二组方程仅当.QC60r-25015cosz.4cosMCQw,15)P(0,z),y,Q(x,22轴的夹角为反射向量与而点有能量密度为点反射到单位能量点光源经的则位于若反射点的坐标为PQ 2、hB(L)、hC(L)的表达式 长L的具有单位能量的线光源位于点P(0,w,15)的长dw的微小线光源段反射到C点的能量密度为4,3,5609.1,8119.3,0,5609.1,8119.3,4cos)(2,1,30,0,2,4cos)(f/)()(20002i41iwwPQwfiwwwLwPQwLwfwEiiiCCiiii其中相应的反射点方程为的表达
18、式同理可得点的能量密度为反射到的具有单位能量的光线长，LdwwELLL)(h)()(h:CLB22C.0.7800005-0.1906,-w,78.0w9005200)2600(133750021060000001350810000)8100009360000()46800001498200(1800)2600(y0 xC022345点的范围为而第二组方程两个反射相应的yyxwwywywywyyw 3、优化设计的数学模型 设线光源的功率为W、则W反射到B、C点的能量密谋分别为hB(L)W,和hC(L)W。问题的数学模型为：1)(2)(.min00LhWLht sWCBLL(2)、模型的求解 h
19、B(L)、hC(L)可以用数值积分求得。hB(L)应具备下列性质：*BC0000),(2)(h)(mm。m20,|20,0)(LLLhL。，LL，LL，LLLLLLLWLLLhCBBBBBBBB其解为数值求解右移相应地且起亮值和最大值点均似的性质也有类如察的最大范围为考为最大值点为起亮值其中62.3L6.22,.16,3w,)(2)(1w).,(,LL,*CBCBBCCBCBLL。LhLhLLLL、L数值计算结果为最小值为问题的最优值则可以证明令且有再求出(3)、反射光亮区的计算 分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合，计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线，判断其是否与车灯反射面相交，若相交，一次反射光不能到达测试屏，否则求出该反射光线与反射屏平面的交点，即为射亮点。所有这些亮点的集合即为反射光亮区。亮区的上半部分如图所示，下半部分与上半部分是关于x轴对称的0200400600800 1000-200-400-600-800-1000-50005001000150020002500300035004000反射光亮区
