1、 极坐标与参数方程极坐标与参数方程一轮复习 选修4-4一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个再选定一个单位长度单位长度和和角角的正方向的正方向（通常取逆时针（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个平面极坐标系，简称为这样就建立了一个平面极坐标系，简称为极坐标系极坐标系。XO二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用，用 表示线段表示线段OM的长度，用的长度，用 表示从表示从OX到到OM 的角度，的角度
2、，叫做点叫做点M的的极径极径，叫做叫做点点M的的极角极角，有序数对，有序数对（，）就叫做就叫做M的极坐标，记作的极坐标，记作M（，）特别强调：特别强调：表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到到极点极点O的距离；的距离；表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。这就是极坐标与直角坐标的这就是极坐标与直角坐标的互化公式互化公式.极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化sincosyx，)0(tan222xxyyx，说明：说明：第一种第一种形式用于形式用于极坐标向直角坐标转化极坐标向直角坐标转化；第二种第二种形式用
3、于形式用于直角坐标向极坐标转化直角坐标向极坐标转化.1、(2010北京高考北京高考)极坐标方程极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是表示的图形是 ()A两个圆两个圆 B两条直线两条直线C一个圆和一个射线一个圆和一个射线 D一条直线和一条射线一条直线和一条射线解析解析由由(1)()0(0)得，得，1或或，其中，其中1表示以极点为圆心，半径为表示以极点为圆心，半径为1的圆，的圆，表示以极点为起表示以极点为起点与点与Ox反向的射线反向的射线答案答案C高考在线极坐标方程的应用(2010广东高考广东高考)在极坐标系在极坐标系(，)(02)中，曲中，曲线线(cos sin)1与与(sin cos)1的交
4、点的极坐标的交点的极坐标为为_2直线的参数方程直线的参数方程M0（x0，y0）P（x，y）xyO是参数）ttyytxx(sincos00t的几何意义的几何意义|P M0|=|t|t只有在只有在标准式标准式中才有上述几何意义中才有上述几何意义 设设A,BA,B为直线上任意两点，它们所对应的参为直线上任意两点，它们所对应的参数值分别为数值分别为t t1 1,t,t2 2.|AB|AB|21tt AB00210tttM为为中中点点若若,题型题型1：对直线的参数方程的理解：对直线的参数方程的理解(1)(1)经过点经过点MM (1,3),1,3),倾斜角为倾斜角为4545;练习练习1 1、写出下列直线的
5、参数方程、写出下列直线的参数方程(2)(2)倾斜角余弦值为倾斜角余弦值为 ，且过点，且过点P(2,2)P(2,2)；33(3)(3)过点过点P(4,-1)P(4,-1)且与直线且与直线l：平行。平行。tytx131221353的参数方程？的参数方程？）如何写出直线）如何写出直线（l112（2）如何求出交点，所对应的参数，?ABtt有有什什么么关关系系？，与与、）（213ttMBMAAB 圆的参数方程圆的参数方程1222(,)()(),:O a brxaybr圆心为、半径为 的圆的标准方程为那么参数方程是sincosrbyraxa br其中圆心为（,),为圆的半径，为旋转角例例 已知点已知点P
6、P（x x，y y）是圆）是圆x x2 2+y+y2 2-6x-4y+12=0-6x-4y+12=0上上动点，求动点，求（1 1）P P到直线到直线x+y-1=0 x+y-1=0的距离的距离d d的最值。的最值。(1)2)4sin(2421sin2cos3d显然当显然当sin（+）=1时，时，d取最大值，最取最大值，最小值，分别为小值，分别为 ，。4122221解：解：将圆的方程化为将圆的方程化为：（：（x x3 3）2 2+（y y2 2）2 2=1=13cos2sinxy它的参数方程是(为参数）例例 已知点已知点P P（x x，y y）是圆）是圆x x2 2+y+y2 2-6x-4y+12
7、=0-6x-4y+12=0上动上动点，求点，求（2 2）x+yx+y的最值，的最值，（3 3）x x2 2+y+y2 2 的最值，的最值，解：解：将圆的方程化为将圆的方程化为：（：（x x3 3）2 2+（y y2 2）2 2=1=13cos2sinxy它的参数方程是(为参数）(2)x+y=3+cos+2+sin=5+sin（+）24 x+y的最大值为的最大值为5+，最小值为，最小值为5-。22例例 已知点已知点P P（x x，y y）是圆）是圆x x2 2+y+y2 2-6x-4y+12=0-6x-4y+12=0上动上动点，求点，求（3 3）x x2 2+y+y2 2 的最值，的最值，解：解
8、：将圆的方程化为将圆的方程化为：（：（x x3 3）2 2+（y y2 2）2 2=1=13cos2sinxy它的参数方程是(为参数）x2+y2 的最大值为的最大值为14+2 ，最小值为，最小值为14-2 。1313222222(3cos)(2sin)cos6cos9sin4sin46cos4sin142 13sin()14xy椭圆的参数方程椭圆的参数方程()cossinx bya为参数xyo)MAB22221yxab普通方程：22194xy2100 xyxyo2100 xy法法1 1：数形结合法：数形结合法法法2 2：参数法：参数法解法解法1解解:设与已知直线平行且与椭圆相切的直线方程为设与
9、已知直线平行且与椭圆相切的直线方程为 20 xym2219420 xyxym由由得得2225164360ymym22(16)4 25(436)0mm 得得225m 令令结合图形可知结合图形可知5m xyo2100 xy切线到直线切线到直线 的距离为的距离为所求所求d最值最值2100 xyminmax22|5 10|,5,3 512ddd 解得xyo2100 xy法法2 2：参数法：参数法d22194xy2100 xy 3cos40()sin1()(4)232.xOylxaxyCayaxOyOxPPlQCl在直角坐标系中，直线 的方程为，曲线 的参数方程为为参数 已知在极坐标系 与直角坐标系取相
10、同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴 中，点 的极坐标为，判断点 与直线 的位置关系；设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值(),PPPlxyPl1 把极坐标系下的点4，化为直角坐标，2得0 4 因为点 的直角坐标 0 4 满足直线 的方程40，所以点 在解析直线：上(cossin)cossincos()cos()cos().QCQaaaaQldaaad 2 因为点 在曲线 上，故可设点 的坐标为，34从而点 到直线 的距离为22622 2，62由此得，当1时，取得最小值，且最小值为 26(cossin)cossincos()cos()cos().QCQaaaaQ
11、ldaaad 2 因为点 在曲线 上，故可设点 的坐标为，34从而点 到直线 的距离为22622 2，62由此得，当1时，取得最小值，且最小值为 26 11222122cos()22sin1234.OPOMxOyCxaaMCyaPPCCOxCACBAB 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线求的方程；在以 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求()()()12x y1P xyMMxcosxcosCyysinsinxcosCaysin设，则由条件知，由于点2 2242在上，所以，即，442224从而的参数方程解析：为为参数44.|.121122212C4sinC8sinCA4sinCB8sinAB曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为射线与的交点 的极径为，33射线与的交点 的极径为33所以2 3
