1、第三节第三节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性11220nnxxx120nxxx的向量形式为的向量形式为11220nnxxx当且仅当当且仅当时时关系式关系式成立成立存在一组存在一组不全为零不全为零的数的数12,nk kk11220nnxxx使得关系式使得关系式成立成立向向量量组组的的关关系系由上节内容知道，齐次线性方程组由上节内容知道，齐次线性方程组0Ax 因此，齐次线性方程组因此，齐次线性方程组只有零解只有零解0Ax 齐次线性方程组有齐次线性方程组有非零解非零解0Ax 一、线性相关与线性无关一、线性相关与线性无关1122.0sskkk成立成立注意3.3.包含零向量的任何向量组是线性相关的
2、包含零向量的任何向量组是线性相关的.0 线性相关，线性相关，若若则说则说线性无关线性无关.4.对于含有两个向量的向量组对于含有两个向量的向量组,它线性相关的充要条它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例件是两向量的分量对应成比例,几何意义是两向量共线几何意义是两向量共线;三个向量线性相关的几何意义是三向量共面三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.1.1.对于任一向量组而言对于任一向量组而言,不是线性无关的不是线性无关的2.2.就是线性相关的就是线性相关的.2.向量组只包含一个向量向量组只包含一个向量0,时，时，则说则说2.向量组只包含一个向量向量组只包含一个向量0,时，时，则说则说2.向
3、量组只包含一个向量向量组只包含一个向量0,时，时，则说则说2.向量组只包含一个向量向量组只包含一个向量 时，时，若若0,则说则说2.向量组只包含一个向量向量组只包含一个向量 时，时，由由定义定义3.73.7可知可知线性相关线性相关向量组向量组maaa,211122.0mmx ax ax a有非零解有非零解0),(21 xaaam12(,)mr a aam 有非零解有非零解定理定理3.5 3.5 列列向量组向量组a1,a2,am线性相关线性相关的充分必要条的充分必要条件是它所构成的矩阵件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,am)的秩的秩r(A)m(小于小于向量个数向量个数);向量组向量组线性无关线
4、性无关的充分必要条件是的充分必要条件是r(A)=m.0.212222111211 nnnnnnaaaaaaaaan 21（线性无关）（线性无关）0.212222111211nnnnnnaaaaaaaaa当向量组中所含向量的个数当向量组中所含向量的个数m大于向量的大于向量的维数维数n时，此向量组时，此向量组n 21线性相关线性相关 12(,)nrn 12(,)nrn 12(,)mrnm 线性相关线性相关123(1,2,1,5)(2,1,1,1)(4,3,1,11)(0,0,0,0)TTTTkkk 01150110312042321321321321kkkkkkkkkkkk124021301110
5、51110 124005500330099012400110000000001020011000000000 32312kkkk取取13 k，则则1,221 kk存在存在1,1,2321 kkk，故故321,线性相关线性相关.解法二较解法一简单解法二较解法一简单 1115111312421124055033099 124011000000 102011000000 32312kkkk存在存在1,1,2321 kkk，故故321,线性相关线性相关.解法二解法二利用推论利用推论110.001.010.00.112n 证证法一：利用定义法一：利用定义 例例3 3 已知向量组已知向量组a1,a2,a3
6、线性无关线性无关,试证向量组试证向量组 000322131kkkkkk设有设有k1,k2,k3,使使 k1 b1+k2 b2+k3b3=0,02110011101 由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式故方程组只有零解故方程组只有零解,k1=k2=k3=0,由此知由此知b1,b2,b3线性无关线性无关.因因向量组向量组a1,a2,a3线性无关线性无关,所以所以线性无关线性无关.112223331,baa baa baa亦即亦即131122233()()()0kk akk akk a112223331()()()0k aak aak aa即即法二：齐次方程法二：齐次方程,1100111
7、01 记为记为B=AK,并代入并代入3元齐次线性方程组元齐次线性方程组Bx=0,得得讨论讨论b1,b2,b3线性相关性，线性相关性，只需讨论齐次方程只需讨论齐次方程B Bx x=0=0的解的状况的解的状况.123()Bb b b 将将112223331,baa baa baa表示为矩阵等式表示为矩阵等式123()Bb b b 123()a a a AK()0AK x ()0A Kx 即即由于由于a1,a2,a3线性无关线性无关,即即R(A)=3,从而从而Kx=0,又因为又因为|K|=2 0知知,齐次方程组齐次方程组Kx=0只有零解只有零解.因此因此,齐次方程组齐次方程组Bx=0只有零解只有零解
8、.故故R(B)=3.因此由定理因此由定理3.5得得,向量组向量组b1,b2,b3线性无关线性无关.()0A Kx 法三：矩阵的秩法三：矩阵的秩由由证二得证二得B=AK,因为因为|K|=2 0,知知K可逆可逆,由矩阵秩的性质得由矩阵秩的性质得:R(B)=R(AK)=R(A)=3因此由定理因此由定理3.5得得,向量组向量组b1,b2,b3线性无关线性无关.证明抽象向量组线性无关的方法证明抽象向量组线性无关的方法.一是依据定义的证明方法一是依据定义的证明方法,即向量组的线性即向量组的线性组合为零的组合系数只能都为零组合为零的组合系数只能都为零;二是利用定理二是利用定理3.5,证明向量组构成的矩阵的秩
9、证明向量组构成的矩阵的秩等于向量组向量的个数等于向量组向量的个数三仍是利用定理三仍是利用定理3.5,3.5,但过程利用了矩阵秩的性质但过程利用了矩阵秩的性质.,:,)1(1121也线性相关也线性相关向量组向量组则则线性相关线性相关：向量组向量组若若 mmmaaaBaaaA.,:2111也线性无关也线性无关：向量组向量组则则线性无关线性无关若向量组若向量组mmmaaaAaaaB 证明证明（见课本定理（见课本定理3.63.6）t取何值时下列向量组线性相关取何值时下列向量组线性相关 123,1,1,1,1,1,1,TTTttt 12311,1111ttt 111111ttt 2110110 11tt
10、ttt 211011002ttttt t=2或或t=-1时时 3rT3T2T1 ,线性相关线性相关向向量量组组maaa,.,21（2 m）线线性性相相关关设设maaa,.,21线性相关，线性相关，则存在一组不全为零的数则存在一组不全为零的数mkkk,.,21，使使0.2211 mmakakak成成立立，不不妨妨设设01 k，即即1a为为maa,.,2的线性组合的线性组合.mmakkakka12121.于是于是二、关于线性组合与线性相关的定理二、关于线性组合与线性相关的定理即即1a可可由由maa,.,2线线性性表表示示，即存在一组数即存在一组数mkk,.,2，使使mmakaka .221成成立立
11、，maaa,.,21线线性性相相关关 证毕证毕不不妨妨设设1a是是maa,.,2的的线线性性组组合合，定义定义 若向量组若向量组A是向量组是向量组B的一部分，则称的一部分，则称A组是组是B组组的部分组的部分组.的线性组合，的线性组合，(1)先证先证 可由可由s ,.,21线性表示线性表示这时这时0,k 则则skkk,.,21不全为零，不全为零，则则sskkkk .11，即即 可由可由s ,.,21线性表示线性表示.如果如果sskk .11，且且ssll .11则则0)(.)(111 ssslklk s ,.,21线性无关，线性无关，0)(,.,0)(11 sslklksslklk ,.,11，
12、因因此此表表示示法法唯唯一一.例如，例如，任意任意n维向量维向量 n21 ,可由初始单位向量组可由初始单位向量组n21 ,唯一的线性表示唯一的线性表示nn2211 证毕证毕向量组的线性表示向量组的线性表示设有向量组设有向量组1,2,sA:,;如果向量组如果向量组A中每一个向量都可由组中每一个向量都可由组B线性表示，线性表示，则则称向量组称向量组A可由向量组可由向量组B线性表示线性表示.1,2,sB:,;证明证明：只需证明只需证明1,2,t,k kk不全为零不全为零设设1122tt0kkk （1）由已知由已知j1j12j2sjsaaa （2）将（将（2）代入（）代入（1）得）得1111212s1
13、s2121222s2st1t12t2stsk()()()0aaakaaak aaa （3）整理为整理为令令1111221tt2112222tts11s22stt000a ka ka ka ka ka ka ka ka k 因为因为st,故该齐故该齐次线性方程组次线性方程组有非零解有非零解1111221tt12112222tt2s11s22stts()()()0a ka ka ka ka ka ka ka ka k （4）从而使从而使（4）成立成立，（，（3）也成立，也成立，(1)必成立，必成立，故向量组（故向量组（B）线性相关）线性相关即存在不全为零的即存在不全为零的12,tkkk使方程组成立
14、使方程组成立证毕证毕定理定理3.93.9又可叙述为：若又可叙述为：若B可由可由A线性表示，线性表示，且且B线性无关，则线性无关，则.ts 证证线性表示；线性表示；能由能由）（321,1aaa线线性性表表示示；不不能能由由）（3214,2aaaa线性无关，线性无关，）（432,1aaa线性无关，线性无关，则则32,aa,321线性相关线性相关由于由于aaa线性表示；线性表示；能由能由所以所以321,aaa(2)反证法反证法线性表示，线性表示，能由能由假设假设3214,aaaa线性表示，线性表示，能由能由知知由由321,)1(aaa线性表示，线性表示，能由能由因而因而324,aaa与题设矛盾与题设
15、矛盾.,324线性相关线性相关aaa234,a a a例例5向量组向量组线性无关，证明：线性无关，证明：123,a a a已知向量组已知向量组线性相关，线性相关，大组无关，则大组无关，则小组无关小组无关定理定理3.83.81.线性相关与线性无关的概念线性相关与线性无关的概念3.3.线性相关与线性无关的判定线性相关与线性无关的判定三、小结2.2.线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用1122m nnnAxbxxxb 112200m nnnAxxxx 3.3.线性相关与线性无关的判定线性相关与线性无关的判定总结各种充要条件总结各种充要条件线线性性表表示示可可由由是是线线性性相
16、相关关的的，则则）若若向向量量组组mma,aaa,aa2121 1亦亦线线性性相相关关线线性性相相关关，则则成成立立使使得得）若若有有不不全全为为零零的的数数m,m,mmmmmbbbaaabbbaaa,21212211221121,02 亦亦线线性性无无关关线线性性无无关关，则则才才能能成成立立等等式式全全为为零零时时）只只有有当当m,m,mmmmmbbbaaabbbaaa,21212211221121,0,3 思考题思考题下列命题是否正确？下列命题是否正确？同时成立同时成立，使得使得不全为零的数不全为零的数亦线性相关，则有亦线性相关，则有线性相关，线性相关，）若）若00,4221122112
17、12121 mmmmmm,m,bbbaaa,bbbaaa线线性性无无关关则则使使得得的的数数）如如果果有有一一组组不不全全为为零零s,sssaaaakakakk,kk21221121,0,5 线线性性无无关关则则使使得得数数）如如果果有有一一组组全全为为零零的的s,sssaaaakakakk,kk21221121,0,6 向向量量线线性性无无关关是是任任意意两两个个）线线性性无无关关的的充充要要条条件件（）2721 maaam,线线性性无无关关；性性无无关关，则则若若线线性性无无关关；线线性性无无关关，则则）若若144332214321133221321,8a,aa,aa,aaaaaaa-a,
18、a-a,a-aaaaa,线性无关；线性无关；则则线性无关，线性无关，）若）若1132212129a,aaa,a,aaa)(saaasss-s,P160 10.（1）11.（2）12.13.14.15作业作业，有，有记记),(),(111 mmmaaaBaaA,1)()(ARBR,线性相关线性相关若向量组若向量组A，则则mAR)(.,线性相关线性相关向量组向量组因此因此B,11)()(mARBR从而从而)1(证毕证毕线性无关，线性无关，若向量组若向量组B反证法：反证法：,线性相关线性相关而向量组而向量组A,)(mAR)()(),()(11 mmaRARaARBR,1)(mBR矛盾，矛盾，线性无关
19、，即线性无关，即则与向量组则与向量组1)(mBRB.线性无关线性无关则向量组则向量组A证毕证毕向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1,a2,am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1,k2,km，使得，使得k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）（零向量）m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解有非零解矩阵矩阵A=(a1,a2,am)的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示向量组线性无关性的判定（
20、重点、难点）向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1,a2,am 线性无关线性无关如果如果 k1a1+k2a2+kmam=0（零向量），则必有（零向量），则必有k1=k2=km=0 m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 只只有零解有零解矩阵矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于向量的个数的秩等于向量的个数 m 向量组向量组 A 中任何一个向量都不能由其余中任何一个向量都不能由其余 m1 个向量线个向量线性表示性表示向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组向量组 A：a1,a2,am 线性相关线性相关存在存在不全为零不全为零的实数的实数 k1,k2,km，使得，使得k1a1+k2a2+kmam=0（零向量）（零向量）m 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解有非零解矩阵矩阵A=(a1,a2,am)的秩小于向量的个数的秩小于向量的个数 m 向量组向量组 A 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 m1 个向量线性个向量线性表示表示
