1、高等院校非数学类本科数学课程 授课教师 彭亚新第七讲第七讲 向量的数量积、向量积、混合积向量的数量积、向量积、混合积1第一章第一章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第二节第二节 向量的数量积、向量积、混合积向量的数量积、向量积、混合积本节教学要求：正确理解向量的数量积、向量积、混合积的概念。熟悉数量积、向量积、混合积的运算性质。熟悉数量积、向量积、混合积的坐标形式。理解向量在轴上的投影，向量间的夹角与数量积的关系。会计算三阶行列式。掌握向量间垂直、平行、共面与数量积、向量积、混合积 的关系。2一一.向量的数量积向量的数量积第二节第二节 向量的数量积、向量积、混合积向量的数量积、向量
2、积、混合积二二.向量的向量积向量的向量积三三.向量的混合积向量的混合积3一一.向量的数量积向量的数量积1.向量的数量积的概念.2.向量的数量积的性质.3.向量的数量积的坐标形式.4.两个向量间的夹角.41.向量的数量积的概念 数量积的物理模型 ,的物体上作用于质量为外力mF ,该力所作离使物体沿直线移动了距S 的功为|cos|。SFW cos|SFWmFS ;,SF力和位移是向量：)(。：数量功是标量W 位移功力的大小 )(方向一致FprjSWS|5向量的数量积 cos|,baba则称数值为任意两个向量和设 ,记为的数量积与为向量ba,cos|baba 0 ,。且其中ba|bprjabaa|a
3、prjbbab|ababprja|bbaaprjb62.向量的数量积的性质性质性质 1)(交换律abba证证 ,得由数量积的定义 ,cos|bababa ,cos|ababab ,cos ,cos 所以因为abba 。abba7证证性质性质 2)()(分配律cabacbaacabacb)()(|)(cbprjacbaa)(|cprjbprjaaacprjabprjaaa|。caba和”“和的投影等于投影的8例。则有规定：222|,aaaaa )()()()(的表达式。和求babadcba解解 ,由数量积的分配律 )()()()(dcbdcadcba dbcbdaca )()()()(babab
4、aba )()(bbabbaaa 22babbaa 22。ba)(|)(bprjabaabprjaa|ba9 )()(dbcbdacadcba)()(22bababa 2)(222bbaaba|22aaaa常用的公式进行比较与相应的初等代数公式10证证 ,0等式显然成立。时 ,0所以因为时baba ,cos|)(bababa ,cos|baba )(。ba ,0所以因为时baba ),cos(|)(bababa),cos(|baba )(。ba其它情形类似可证性质性质 3 )()()()(babababa 为实数。其中)(与数乘的结合律113.向量的数量积的坐标表示 件向量相互垂直的充要条定理
5、定理 1 ,则为非零向量设ba0 baba证证 ,cos|立即可得由bababa 2 ,0。bababa与任何向量垂直。规定：0 12 基本单位向量的数量积 ,间的数量积如下：基本单位向量kji ;1|22iiii ;1|22jjjj ;1|22kkkk 0。ikkijkkjijji。,kjkiji13 式向量的数量积的坐标形 ),(),(则和设有向量zyxzyxbbbbaaaa )()(kbjbibkajaiabazyxzyxkibajibaibazxyxxx2kjbajbaijbazyyyxy2 2kbajkbaikbazzyzxz 。zzyyxxbababa14 式向量的数量积的坐标形
6、),(),(则设zyxzyxbbbbaaaa 。zzyyxxbabababa 由此推出：0 0 。zzyyxxbababababa15例 ),3,1 ,5(,)1 ,3 ,0(),2 ,1,4(cba设 ,。以及求bprjaprjcabaab解解 1123)1(04。ba 0)3(113)5(0。cb)(cb。1011301|222bbaaprjb。2112)1(41|222ababprja坐标面上位于 yzb16 )0 ,0 ,(；轴上：在xaax )0 ,0 (；轴上：在yaay ),0 ,0 (。轴上：在zaaz,zyxaaa不为零量的特征是什么？位于坐标面上的非零向量的特征是什么？位于
7、坐标轴上的非零向iayza/平面jaxza/平面kaxya/平面 )0,(；坐标面上：在yxaaaxy ),0 ,(；坐标面上：在zxaaaxz ),0 (。坐标面上：在zyaaayz,zyxaaa不同时为零 ka ja ia17量的特征是什么？平行于坐标面的非零向量的特征是什么？平行于坐标轴的非零向量的特征是什么？垂直于坐标面的非零向量的特征是什么？垂直于坐标轴的非零向 请课后思考、讨论。184.两个向量间的夹角 ,),(),(则为非零向量设zyxzyxbbbbaaaa ,cos|bababa|,cos bababa故 ,222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,。由此
8、可求出ba看出点什么没有？,0 ba注意：19 ,),(),(则为非零向量设zyxzyxbbbbaaaa ,)cos,cos,(cos0aaaa ,)cos,cos,(cos0bbbb|,cos00babababa coscoscoscoscoscos。bababa20例解解 ,64 2 使质点产生位移上作用于质点设力PkjiF ,2 3间的夹角。与位移并求力所作的功求力SFFkjiS SFW )2 3()64 2(kjikji 8)1(62432。,7 2 14568|,cosSFSFSF ,0 7 2arccos ,。且故SFSF物理单位物理单位21例解解 ,1|,0 cbacba且设 。
9、求accbba ,0|0|)(222cbacba因为 )()()(2cbacbacba 2 2 2|222accbbacbaaccbbacba 2 2 2222)(23accbba 2 3 。故accbba22例证证 对的圆周角为直角。证明：在圆内，直径所 0 ,。即要证明如图所示CBAC ,OCOBOCAOAC ,OCOBCB )()(OCOBOCOBCBAC22OCOB|22OCOB ,022rr直角。故直径所对的圆周角为 )(为圆的半径rABCO)(OBAO23例|:222222。证明zzyyxxzyxzyxbabababbbaaa证证 ),(),(则由令zyxzyxbbbbaaaa ,
10、|,cos|babababa|222222。得zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa )/,1,cos (。此时时等号成立当baba24二二.向量的向量积向量的向量积1.向量的向量积的概念.2.向量的向量积的性质.3.向量的向量积的坐标形式.251.向量的向量积的概念 向量积的物理模型 ,处作用于杠杆上点设力PF 力臂的长度力矩的大小力的大小 :则由力臂到力符合右手法方向 。间的夹角为与OPF ,且产生的力矩为一个向量对点则力MOF ,sin|OPFOQFMFOQ ,的角度旋转时以不超过到的方向是从FOPM ,。和垂直于且按右手法则确定FOPMP26向量的向量积 :按下列方式确定的向
11、量和是由设bac);,(0 ,sin|)1(babac ;)(,)2(所确定的平面与垂直于bacbcac ,)3(确定转到按右手法则从的方向bac ,。记为的向量积与为则称bacbac ,:的角度四个手指以不超过伸开右手右手法则 ,拇指的正向握拢时的正向转向从ba 。的正向所指的方向为cabbac27 ,.1一个向量。即两个向量的向量积是是一个向量ba ,.2。bbaaba ;0)()(ababaa 0)()(。bbabab 0 .3。aa)0 ,sin|(aaaaaa281.什么是传统机械按键设计？传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。传统机械
12、按键设计要点：1.合理的选择按键的类型，尽量选择平头类的按键，以防按键下陷。2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议留0.050.1mm，以防按键死键。3.要考虑成型工艺，合理计算累积公差，以防按键手感不良。传统机械按键结构层图：按键开关键PCBA 向量积的几何意义 :面积为邻边的平行四边形的和以向量baab sin|。bahaS 。bacABCDc ,sin|babac|bababa的模的向量积与向量 :面积为邻边的平行四边形的与等于以baABCDSba|h|2 1 baSABD302.向量的向量积的性质证证性质性质 1)()(反交换律abba 向量积不满足交换律 ,0,/故或则若bababa。0
13、)(abba ,则不平行与若ba ,所以的方向相反与而按右手法则abba。)(abbaabba)(ba,sin|)(|babaabba31性质性质 2 )()()()(Rbabababa)(与数乘的结合律性质性质 3 )(cbcacba )(bcacbac)(分配律 )()(:dbcbdacadcba一般形式32 件向量相互平行的充要条定理定理 2 ,则为非零向量设ba 0 /baba证证 0|,0|,sin|立即可得及由babababa 0 ,sin 0baba 0 与任何向量平行。规定：/0,。或baba 0 :aa推论33ABCD例 :角线为邻边构成的平行以平行四边形的两条对证明 四边形
14、面积的两倍。四边形的面积为原平行FE证证。即要证如图所示ABCDAEFCSS 2 ,则引入向量BCbABa ,baBCABAC ,baBCABDBCF|CFACSAEFC故|)()(|baba|bbabbaaa|2|)2(|babaABCDS 2 )(2)()(bababa34例|)()(:2222。证明bababa证证 ,sin|)(22222bababa ,则记ba ,cos|)cos|()(22222bababa)cos(sin|)()(222222bababa从而|22。ba 通常将此式写为 )()(2222。bababa35例 ,。且为非零向量设cbcacba 。试问能否由此推出ba
15、解解 ,得由cbca 0)(。cba ;,0 )1(baba即故 ,/)()2(。此时可能有bacba ,。时不一定有综上所述bacbca363.向量的向量积的坐标表示 基本单位向量的向量积 ,间的向量积如下：基本单位向量kji)(;0 平行关系的推论kkjjiiijk ;,kijkji ;,ijkikj ;,jkijik)(右手法则37 式向量的向量积的坐标形 ),(),(则和设有向量zyxzyxbbbbaaaa )()(kbjbibkajaiabazyxzyxkibajibaiibazxyxxxkjbajjbaijbazyyyxy kkbajkbaikbazzyzxz 0 0 038 式向
16、量的数量积的坐标形 ),(),(则和设有向量zyxzyxbbbbaaaa )()(kbjbibkajaiabazyxzyxkibajibaiibazxyxxxkjbajjbaijbazyyyxy kkbajkbaikbazzyzxz 0 0 0kijijkijk )()()(。kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy39 )()(kbjbibkajaiabazyxzyx )()()(。kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzykbbaajbbaaibbaayxyxzxzxzyzy zyxzyxbbbaaakji 基本单位向量)(左边的baa)(右边的bab40 式向量
17、的向量积的坐标形 ),(),(则设zyxzyxbbbbaaaa 由此推出：0 /。zzyyxxbababababa zyxzyxbbbaaakjiba。理解为分子也是时分母出现 0 ,0 41例 2)(。计算iji解解 ,)0 ,1 ,1(ji ,)0 ,0 ,2(2i ).2,0,0(0020112)(kjiiji故42例 )1,2 ,1 ()1 ,1,2(。垂直的向量和求与cba解解。和垂直于由向量积的概念 ,baba),5,3,1(121112 kjiba ,所求向量为由向量的平行关系 0 ),53(。且Rkjic43三三.向量的混合积向量的混合积1.向量的混合积的概念.2.向量的混合积
18、的坐标形式.3.向量的混合积的几何意义.441.向量的混合积的概念 ),(),(),(则称设zyxzyxzyxccccbbbbaaaa ,)(的混合积。为向量数值cbacba ,。或的混合积记为通常也将向量cbacbacba ,),()(:的故由数量积的交换律cbabaccba)(。混合积也可表示为bac452.向量的混合积的坐标形式 ),(),(),(则设zyxzyxzyxccccbbbbaaaa kbbaajbbaaibbaabbbaaakjibayxyxzxzxzyzyzyxzyx )(zyxyxyzxzxxzyzycbbaacbbaacbbaacba zyxzyxzyxcccbbbaa
19、a46 式向量的混合积的坐标形 ),(),(),(则设zyxzyxzyxccccbbbbaaaa )(zyxzyxzyxcccbbbaaacba zyxzyxzyxcccbbbaaacba或 a b c47例 质：验证向量的混合积的性 )()()(bacacbcba )()()(abcbcacab解解 ),(),(),(则设zyxzyxzyxccccbbbbaaaa )(zyxzyxzyxcccbbbaaacba zyxyxyzxzxxzyzycbbaacbbaacbbaa48 zyxyxyzxzxxzyzycbbaacbbaacbbaa )(zyxzyxzyxaaacccbbbacb )(。
20、cbacccbbbaaazyxzyxzyx按第二行展开 其余部分类似可证。492.向量的混合积的几何意义abcbacprjba ,构成设非零向量cba ,)(则如图所示右手系|)(。cprjbacbaba ,为邻边的以ba 平行四边形的面积 ,为邻边的以cba 平行六面体的高 ,)(,体积。为邻边的平行六面体的表示以此时cbacba50 ,)(,则时如图所示构成左手系设非零向量cba 0。cprjba|)(|cprjbacbaba ,为邻边的平行表示以cba ,此时 六面体的体积。,的混合积的绝对值等于非零向量综上所述cba ,体积。为邻边的平行六面体的以cbaabcbacprjba51 混合
21、积的几何意义 ),(),(),(则设zyxzyxzyxccccbbbbaaaa 体的体积为以它们为棱的平行六面|)(|cbaV 。zyxzyxzyxcccbbbaaa ,)(是一个数虽然cba ,cba但这个数依赖于 的结构顺序。因此有些 。“伪数”书称它为 有什么想法没有？52 ,),(),(),(则共面若zyxzyxzyxccccbbbbaaaa?|)(|cbaV?)(cba 0 0 ,0)(则若cba ),(),(),(共面？zyxzyxzyxccccbbbbaaaa aba bba 0)(cbacba ,或在同一平面上三个向量共面是指它们 或在平行平面上。53定理定理 3 ),(),(
22、),(共面向量zyxzyxzyxccccbbbbaaaa 的充要条件是 0 )(。zyxzyxzyxcccbbbaaacba54 ),(),(),(),(444333222111zyxDzyxCzyxBzyxA例 :3点中不在同一平面上的四已知空间 R 的体积。求四面体 ABCDABCD解解 等于以的体积四面体VABCD ,为棱的平行六面体ADACAB ,6 1 而体积的 ;),(121212zzyyxxAB ;),(131313zzyyxxAC ;),(141414zzyyxxAD55 故|)(|61ADACABV 61141414131313121212。zzyyxxzzyyxxzzyyxx 有什么附带产物？56定理定理 4 ),(),(),(),(444333222111zyxDzyxCzyxBzyxA 3中的四点空间R 共面的充要条件是 0 141414131313121212。zzyyxxzzyyxxzzyyxx57
