1、圆锥曲线圆锥曲线 三轮复习三轮复习 题外话：读书的三个境界看山就是山,看水就是水：初学阶段，从模仿开始，掌握规范。看山不是山,看水不是水：中间复习，要一题多解，把书读厚。看山还是山,看水还是水：最后冲刺，要总结归纳，把书读薄。序 言 在前两轮的复习过程中，同学们已经做过很多圆锥曲线的题目。我们的三轮复习侧重于梳理：一方面把学过的知识和方法条理化、系统化；另一方面温故而知新，进一步加深对圆锥曲线的理解、提高解决问题的能力。此外，这轮复习主要是“合并同类项”：也即侧重于“多题一解”而不是“一题多解”。请同学们对照二轮复习“一题多解”的要求，思考其它的解法。题目无限，题型有限题目无限，题型有限；跳出
2、题海，总结规律跳出题海，总结规律。三轮复习中，请同学们记住一个简单的道理：三轮复习中，请同学们记住一个基本的原则：思路导图123、点生斜率:、点生距离:一、设点、点生直线:4、点生面积:先 再合 确理 定化 方归 向2341、斜截式：、截距式：二、设线、两点式：、一般式：三、优化计算三点共线，直线夹角转移代入法，代点法几何问题，代数处理焦半径公式，求导法 单点生线，两点生线法，点差法，归一法单独用点，点弦结合选择合适的面积公式?kt设 还是设1mxny 的妙处 齐次化法相应的弦长公式对称思想，极限思想先猜后证法点到直线及距离公式硬解定理法(1)不对称韦达定理和点乘双根法；(2)求根公式,公式：
3、韦达定理,求根公式,两点间距离公式 弦长公式；点到直线距离公式；斜率公式；面积公式.方法：代点法；不等式法，求导法；点差法，归一法；齐次化法；先猜后证法；硬解定理法。一、适用范围一、适用范围 1、多点共线求斜率；多点共线求斜率；2、求两直线夹角。求两直线夹角。二、相关方法和公式二、相关方法和公式 1、转移代入法；、转移代入法；2、中点坐标公式；、中点坐标公式；3、斜率公式、斜率公式；4、两直线夹角公式。、两直线夹角公式。1.点生斜率点生斜率转移代入转移代入法法22,12.xM NyMNC DMC=CD=DNMN例1、已知为椭圆上两点，若直线与两坐标轴分别交于,两点，且，则直线的斜率为(2,),
4、(,2)McdNcd(,0),(0,),C cDd解：设点222221412cMcdNd点代入椭圆得：，点代入椭圆得：223302cd相减得：22dk=c MNdk=c则，(3)MNC,DM NMNC,DC DkAABB本 题 特 点(1)四点共线,可用三等分点的坐标表示端点,的坐标,代入椭圆、作差消去1(点差法)；(2)求的是直线的斜率，又可用的坐标表示出来；解法点睛：设,点的坐标作为自变量；把当做应变量；转移代入,作差消去常数1；转移代入法：设不在曲线上的点用 的坐标表示曲线上的点把 点代入曲线方程.转移代入法转移代入法 小孩小孩C，D吵架吵架.C 说说:“你等着，我找我哥你等着，我找我哥
5、M来收拾你！他在椭圆上，可厉害了。来收拾你！他在椭圆上，可厉害了。”D说说:“谁怕谁？我哥谁怕谁？我哥N也在椭圆上！也在椭圆上！”然后椭圆上的两个哥哥然后椭圆上的两个哥哥 M，N 就发生了联系，两点作差以后，把就发生了联系，两点作差以后，把四个人共同的斜率找了出来。四个人共同的斜率找了出来。00(,)Q xy解：设Q分析:（1）貌似不共线，其实也共线；求的还是斜率；可以设点 （2）问谁设谁，便于计算。设点 坐标作为自变量0002(1),(32,2)PxxPxy则1-22002200(32)(2)1(1)41(2)4xyxy(1)(2)4 得：074x 0158y15415836QMk.QPQM
6、QP Qxy00本 题 特 点(1)已知三点共线,可用 点坐标表示 点坐标；(2)求的是直线的斜率,又可用 的坐标表示；(3)利用点,在椭圆上,代点、作差,求出,2217(1,0),1(4=,.xMP QyQPMQMPMQMQM例2(2019.3绍兴模拟）如图，是椭圆上两点 点在第一象限),且直线和的斜率互为相反数，若2则的斜率为222=(),143axya=aacc解:(I)提示：2,2答案：；(),1,0QP m hmh(II)当点 在第二象限时，设,12120,011PFPFhhkkkkmm记2122221222111tan=1111111hhkkhmmF PFhhmk kmhmhmmh
7、 12则221=mh当且仅当时取等号,2(,1)Q mm 此时22(,1)(,1)Q mmQ mm同理可得，在第一象限时，；第二、三象限时，2(,1)Qmm综上所述，点坐标为2121113(05),:,:2:1.(I):(1),aF FxA Al xcxM MAA Flxm xPlF PFQQm 121112例浙江 如图已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 轴上,长轴的长为4，直线与 轴的交点为求椭圆的方程；(II)若直线为 上的动点，使最大的点记为，求 点坐标(用 表示).12tanhFPFh先把 当自变量，当应变量,用不等式反求.注 意 事 项(1)角度或斜率只是现象并不是看到角度和斜率，设点
8、就一定方便；()2 关键在于 能否用点的坐标,方便地表示已知条件和所求的目标函数。例题4：判断设点试否方便()3 解题思路()设某个 些 点的坐标中间量：表示目标函数：其它点的坐标如直线的斜率如斜率，角度等,点在曲线上代入已知条件 如夹角公式中 间 结 论(I)(II).xCyFFlCA BMlxAMOOMAOMB 22例4 2018全国I)设椭圆:1 的右焦点为,过点 的直线 与 交于,两点,点的坐标为(2,0).2当 与 轴垂直时,求直线的方程；设 为坐标原点，证明：2(2)2yx 解:(I)答案：；122PMPMQMMP例 中,已知可用的坐标表示 的坐标可以设点AB本题中，若用 的坐标表
9、示 的坐标，方便吗？不方便的话，就考虑设线！本题的后续运算，作为今天的作业，请同学们自行完成。练 习,=.MC yxCkCABAMBk21.(2018全3卷16)已知点(-1,1)和抛物线:4过的焦点且斜率为 的直线 与 交于，两点.若90 则.,=.FC yxMCFMyNMFNFN22.(2017全2卷16)已知 是抛物线:8 的焦点，是 上一点，的延长线交轴于点若为的中点 则,.FCBBFCDBFFDC3.(2010全1卷16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点且2则的离心率为 ,.xF FEyA BF AF BA2212124.(2011浙江17)设分别为椭圆:1
10、的左右焦点，点,在椭圆上，若53则点 的坐标为(),.xPEym mA BAPPBm=B 225.(2018浙江17)已知点(0,1),椭圆:0 上两点,满足2则当时，4点 的横坐标的绝对值最大,xyF FEPEFPFlFPFlllQEP2212111222126.(2017江苏17改编)已知椭圆:1的左右焦点，是 上的一个点，且在第一象限，43过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.若直线,的交点在椭圆 上,求点 的坐标.一、适用范围一、适用范围 曲线上两点关于坐标轴对称，求证定点、定值曲线上两点关于坐标轴对称，求证定点、定值。二、相关方法和公式二、相关方法和公式 1、代点法；、代点法；2、斜率
11、公式、斜率公式2.点生斜率点生斜率代点法代点法特别特别鸣谢：鸣谢：本节课所讲的本节课所讲的代代点点法法，由浙江省由浙江省金华市金华市 张昊张昊 先生先生 提供提供112211,)(,),),(,),(,)A xyB xyD xyP sQ t解:设（,（00()=BPBAyykkxsxs21211122121()BDBQx yx ykktyy 2 同理：122121()x yx ys tyy 222222312121()()yyyyyy22222224 14 1334,ABBDlkA B D PlQ设用 表示点点元芳，你怎么看？2221x ysyx ysy11styy11换成；换成()=OPOQ
12、s t4为定值4(),A DxA P BQ D B 代 点 法1 椭圆上两点关于 轴对称；(2)及分别三点共线；几何的对称性代数的对称性；(3)两次三点共线,两次代点消元；(4)初看很吓人,真算起来很简单.122121x yx ysyy,(,).xylA BxPAxDBDxQOPOQ22例1.已知椭圆1 过点 02 的直线 交椭圆于,两点,交 轴于点点关于 轴的43对称点为，直线交 轴于点求证：为定值.(II).xCyFFlCA BMOOMAOMB 22例2 2018全国I)设椭圆:1的右焦点为,过点 的直线 与交于,两点,2点的坐标为(2,0).设为坐标原点，证明：上节课作业中，大家采用了“
13、设线”的方法。11221(,),)(,),)BxCCAxT tA xyB xyC xy2证明:作点关于 轴的对称点，延长交 轴于点0 设（,则（这里采用代点法证明。()=FAFByykkxx1212111122121x yx yyy 1()=TATCyykkxtxt12122122121x yx ytyy 122121x yx ytyy 222222TM点 与重合CHMBHM OMAOMB 没有对称构造对称。12121()()yyyyyy222222222222,yyyy1212韦达定理:转换成的形式，也是一种对称美.112211,)(,),),(,),(,)A x yB xyC xyP sQ
14、 ts解:作,由题意可设（,（00，其中3()=BPPAyykkxsxs21211122121()QBQCx yx ykktyy 2 同理：122121()x yx ys tyy 222222312121()()yyyyyy22222224444()ts 444 3433(,)Q4 3存在定点0 满足题意3223(2019.31.(II)(3,0)4,.xyPlA BxQQAQBx例石家庄质检20)已知椭圆过点作直线 交椭圆于不同两点问:在 轴上是否存在定点，使得直线和关于 轴对称？2121yyyy22224442221x ysyx ysy11122121x yx ysyy这些题目都有相同的背
15、景：极点和极线xyOP OQ221.已知椭圆143求证：为定值,(,),(,)xyFMOMAOMB 222.已知椭圆11 02 02求证：221(3,0)4,xyPQA QBQ3.已知椭圆，点 若上下对称，求点 坐标.PQFMx xy yxyxyabab2200002222例1，例3中的点 和点，例2中的点 和点，互在对方的极线上。与极点(,)关于椭圆1对应的极线方程为：12221(02).(2,0)2,.180 xybNlbA BxMNMANMB 例4已知椭圆若过点任作一条直线 交椭圆于不同两点问:在 轴上是否存在定点，使得恒成立？MM作 业（1）用代点法计算的坐标；（2）再用其它方法算出的
16、坐标；（3）以抛物线为背景，自己出一道 类似的题目,并用多种方法解答.M请同学们口算定点的坐标一、适用范围一、适用范围 所求的问题，可以转化为两点之间的距离所求的问题，可以转化为两点之间的距离.二、相关方法和公式二、相关方法和公式 1.定义法；定义法；2.不等式法；不等式法；3.求导法；求导法；4.焦半径公式；焦半径公式；5.参数方程参数方程 6.极坐标极坐标.3.点生距离点生距离 第第1课时课时一、焦半径公式焦半径公式及其应用(,),A xyF F00121、坐标式焦半径公式 设曲线上一点分别是椭圆(双曲线)的左右焦点(),;()F AaexF Aaex10201 椭圆:左加右减(),.()
17、F AexaF Aexa10202 双曲线:左加右减()2()py=px pFAx203 抛物线0 中，2F2、极坐标式(倾斜角式)焦半径公式：椭圆的左焦点(双曲线的右焦点)()=;()=coscosepbppec21 椭圆,双曲线:，其中2 抛物线:11(II)(,)(,),(,)(,)FA x yB xyP xy112200由题意可知1 0，设,(I)略.FPFAFB 又0 xxxyyy12012030FPAB是的重心MAB是的中点,xxyym121222,xym 0012,=FAaexFBaexFPaexae12032()FAFBae xxaeFP1222232FAFPFB，成等差数列焦
18、半径公式():,(,)().(I);(II).xyklCA BABMm mkFCPCFPFAFBFAFPFB 22例1 2018全3 已知斜率为 的直线 与椭圆1交于两点,线段的中点为10431证明:设 为的右焦点,为 上一点,且0 证明：，成2 等差数列,并求出该数列的公差.FAFPFB求，的公差？(,)(),(,),(,)Mm mFPm101 012P点代入椭圆方程，解得：y 032m34(,)M314()().ABddFAFBe xxd 12 后续运算，结合第(I)问.(1)写出中点弦的方程；联立、韦达定理；2 公差 满足：23 21 请同学们自行完成，答案：28221231223311
19、232(200722)1,3627111120.xyFP P PPFPP FPPFPFPFPFP 例重庆理改编已知 是椭圆的左焦点，在椭圆上任取不同三点使得证明：为定值,并求出该定值1231111cos1cos(120)1cos(120)eeeFPFPFPepepep证明：coscos(120)cos(120)cos2cos120 cos0212311133182273bFPFPFPepa二、曲线上的点到定直线的距离 1、曲线可以用参数方程表示；2、曲线不能用参数方程表示.(.).xyPxy22例3 2018 3绍兴模拟改编 椭圆上的动点 到直线220的距离的最大值为4(cos,sin),)P
20、 解：由题意可设20 2Pxy则 到直线220的距离cossind2225sin()2 24525sin(),=d 2 222 102 5当451 即225 时，有最大值55d2 22的最小值是多少？吗？50最小值是！0为什么最小值是？请大家从代数角度回答，并作图验证。,(,=()(e).(e)aa bRf a babb22例4.已知,则）1的最小值为为自然对数的底数(,e)()e(,)axA ag xB b byx分析：(1)点在曲线上，点1 在直线1上(,)f a bAB()exg xx解：令1，得0=()ABy=x的最小值点 0,1 到直线1的距离=2=曲线上的动点到与定直线(两者相离)
21、的距离最小时 该点处的切线的斜率定直线斜率练 习4.点生距离点生距离 第第2课时课时一、焦半径公式焦半径公式及其应用1、坐标式焦半径公式2、极坐标式(倾斜角式)焦半径公式二、曲线上的点曲线上的点到定直线定直线的距离 =1、曲线可以用参数方程表示单动点用参数方程设动点坐标2、曲线不能用参数方程表示切线斜率直线斜率上节课上节课 三三、曲线上的点曲线上的点到定点定点的距离33()10 xfxex解:(1)由得：(0,1)yx点到直线的距离1221(2019,(),()(),()21(),(),216xxP Qf x g xPQf x g xd f x g xd yeyxd yeyx例届诸暨期末)设分
22、别为函数图像上的点,定义的最小值为函数的距离则，.两个函数图像上各有一个动点，这两个动点之间距离的最小值.1exy=y=x（）是曲线，是直线曲直最近，切线平行2234100(),g xxykg xy00曲线()上的点(,)处的切线斜率212001kkyx 0012=,22xy123(,)222到原点距离为22211(2),01616yxxyy（半圆）min3124d12221(2),216xd yeyx.122121e=e222xxyy（）：指数函数左移纵坐标变成倍到圆上动点的距离到圆心的距离02101e2xx 0210e2xx 点到曲线：切线两点连线020yk=x连线斜率(x0,y0)121
23、22111121121112(05(,0),(,2):(),12412=(,0):=(,0)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnA xP xCyxa xb nNanxx=P xC yxa xbA xPACPxCyxa xbA xP 121例浙江)设点和抛物线其中，由以下方法得到：,点(,2)在抛物线:上,点到的距离是 到上点的最短距离，点(,2)在抛物线上,点到的距1().nnnACxCx2离是到上点的最短距离.(I)求及的方程；II 证明是等差数列每临大事有静气，不信今时无古贤。足够地退从特殊到一般解：1(1,0),A1(1,1)P，22211(,2)7P xCyxxb点在抛物线：上,1
24、2AP:距离最短1227,kyx2221kx12222(27)11k kxx 23x221(3,2)7Pyxxb把代入114b21:714Cyxx2213714.xCyxx综上所述，的方程为：12121112(05(,0),(,2):(),12412:=(,0)().nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnA xP xCyxa xb nNanxx=PxCyxa xbA xPACx 1例浙江)设点和抛物线其中，由以下方法得到：,点(,2)在抛物线上,点到的距离是到上点的最短距离.II 证明是等差数列112,nnkyxa212nnnkxx12112(2)1nnnnnk kxaxx 1111(
25、224)2,2nnnnnxnxx 递推式怎么证“等差”？1(1):;nnaad定义法(2):;naknb通项法2(3):;nSAnBn求和法21(4):2;nnnaaa中项法(5).先猜后证,数学归纳法1111(224)2,2nnnnnxnxx 1213xx，21,nxnnN下面用数学归纳法证明：1112 1 1 1nx （）当时，成立；(2)21knk kxk（2）假设当时，成立,1111(224)2212kkkkxkxk 由得：11(12)(24)221kkkxkk111(12)(21)(24)2(21)(12)kkkkxkkk121kxk+=nn=kxn 即当1时，21也成立,21.nn
26、Nxn综上所述，对一切20001 13 9133(2017),(,),(,).(,)(),2 42 422.(I)(II).xyABP xyxBAPQAPPAPQ例浙江 如图，已知抛物线点抛物线上的点过点作直线的垂线,垂足为求直线斜率的取值范围；求的最大值(II)QAQB解：1 5(,)2 4ABM记线段的中点为QAB点在以线段为直径的圆上由圆幂定理得：22=PAPQRMP=2MR的半径2=2MP2222000015()()=,24MPxyyx法1：,代入求导；2MP求的最小值01020542,12ykyx kx法2：01200542112ykkxx 32200004310,(1)(21)0
27、xxxx 01(1,1)xP 2716PAPQ的最小值为2224(2016:1,1.(II)(0,1)xCyaAa例浙江)设椭圆若任意以为圆心的圆与椭圆至多有三个交点,求离心率的范围.陌生题型先别慌：袖手审题。多思才能少算！离心率的范围？大扁、小圆，画图探路.分别画很扁、很圆的椭圆 太扁了不行，圆的可以至多三个交点？椭圆不能露头！椭圆上各点，不能图中在以2为直径的圆外！00(,)2P xyAP 解：设椭圆上动点，由题意得：恒成立2200(1)4xy 恒成立22200(1)(1)4ayy消去哪个方便？e求 的范围求谁的范围？2200204(1),1,1)1yayy 2220000220002312221111yyyyayyy 即22a202e 多思少算！分析、化归的习惯和能力非常重要！分离变量法分离常数练 习
