1、 第第7章章 多元函数微分法及其多元函数微分法及其应用应用7.3.1 曲线的切线与法平面7.3.2 曲面的切平面与法线7.3.3 多元函数的极值微分法在几何上的应用(76)2设空间曲线的方程设空间曲线的方程()()(1)()xtytzt ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.7.3.1 曲线的切线与法平面曲线的切线与法平面M.),(0000tttzzyyxxM 对应于对应于;),(0000ttzyxM 对应于对应于设设M 微分法在几何上的应用(76)3考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同
2、除以,t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM,000zzzyyyxxx 微分法在几何上的应用(76)4,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程:000000.()()()xxyyzzttt切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.000(),(),()Tttt 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.000000()()()()()()0.txxtyytzz微分法在几何上的应用(76)5解解当当0 t时，时，,2,1,0 zyxe cos,txt ,sincos2tty 33e,tz ,1)0(x,2
3、)0(y,3)0(z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程,0)2(3)1(2 zyx.0832 zyx即即微分法在几何上的应用(76)6空间曲线方程：空间曲线方程：(),(),yxzx ,),(000处处在在zyxM00000,1()()xxyyzzxx00000()()()()()0.xxxyyxzz 法面方程：法面方程：特殊地：特殊地：切线方程：切线方程：微分法在几何上的应用(76)7解解因为因为 所以所以(0)2/2,(0)2/2,yz 切线方程：切线方程：法面方程：法面方程：2222()()()0,42222xyz/42/22/2.12/22/2xyz 在在 时的
4、点为时的点为/4x (/4,2/2,2/2).M42 22 2.xyz /42112,xyz微分法在几何上的应用(76)8设曲面方程为设曲面方程为0),(zyxF000(),(),(),Tttt 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线():(),()xtytzt 7.3.2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线nTM微分法在几何上的应用(76)9000000000(,),(,),(,)xyznFxy zFxy zF xy z 令令则则,Tn 切平面方程：切平面方程：000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxy zx
5、xFxy zyyF xy zzz 微分法在几何上的应用(76)10法线方程：法线方程：000000000000(,)(,)(,)xyzxxyyzzFxy zFxy zF xy z000000000(,),(,),(,)xyznFxy zFxy zF xy z 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.微分法在几何上的应用(76)11特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面方程形为),(yxfz 曲面在曲面在M处的切平面方程：处的切平面方程：0000000(,)()(,)(),xyfxyxxfxyyyzz曲面在曲面在M
6、处的法线方程：处的法线方程：0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy,),(),(zyxfzyxF 令令微分法在几何上的应用(76)120000000(,)()(,)()xyzzfxyxxfxyyy切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的全微分的全微分在点在点函数函数),(),(00yxyxfz 因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为微分法在几何上的应用(76)1322cos,1xxyfff 22cos,1yxyfff 221cos.1xyff 00(,)xxffxy 00(,)yyffxy 其中：其中：微分法在几何上的应用(76)14解解,1),(
7、22 yxyxf)4,1,2()4,1,2(1,2,2 yxn,1,2,4 切平面方程为切平面方程为,0)4()1(2)2(4 zyx,0624 zyx法线方程为法线方程为.142142 zyx微分法在几何上的应用(76)15解解(,)e23,zF x y zzxy,42)0,2,1()0,2,1(yFx,22)0,2,1()0,2,1(xFy(1,2,0)(1,2,0)1e0,zzF 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程,0)0(0)2(2)1(4 zyx,042 yx.001221 zyx微分法在几何上的应用(76)16例例 5 5 求曲面求曲面2132222 zyx平行于平面平行于平
8、面064 zyx的各切平面方程的各切平面方程.解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,),(000zyx切平面方程为切平面方程为0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 微分法在几何上的应用(76)17因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，),(000zyx,10 x所求切点为所求切点为满足方程满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切
9、平面方程切平面方程(2)微分法在几何上的应用(76)18解解设设,632),(222 zyxzyxF,44 PPxxF,66 PPyyF,22 PPzzF故故 zyxFFFn ,2,6,4 ,1422)6()4(222 n方向余弦为方向余弦为则则微分法在几何上的应用(76)19,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos(.711 故故微分法在几何上的应用(76)20另外，空间曲线方程：另外，空间曲线方程：,0),(0),(zyxGzyxF切
10、线方程：切线方程：000000,zxyzxyzxyzxyxxyyzzFFFFFFGGGGGG法平面方程：法平面方程：000000()()()0.yzxyzxyzxyzxFFFFFFxxyyzzGGGGGG 微分法在几何上的应用(76)211(1,2,1),|21,2,1,xyznFFF 2(1,2,1),|1,1,1,xyz znGGG 由由此此得得切切向向量量121,0,1.Tnn 微分法在几何上的应用(76)22所求切线方程为：所求切线方程为：,110211 zyx法平面方程为：法平面方程为：,0)1()2(0)1(zyxxz 2,2.xzy 微分法在几何上的应用(76)23dddddd1
11、ddyzyzxxxyzxx d,dyzxxyz d,dzxyxyz (1,2,1)d0,dyx (1,2,1)d1,dzx 微分法在几何上的应用(76)24由由此此得得切切向向量量,1,0,1 T所求切线方程为：所求切线方程为：,110211 zyx法平面方程为：法平面方程为：,0)1()2(0)1(zyx2,2.xzy xz 微分法在几何上的应用(76)25空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向量（当空间曲线方程为一般式时，求切向量 注意注意采用采用推导法推导法）（求法向量的方向余弦时（求法向量的方向余弦时注意注意符
12、号符号）7.3.4 小结与思考题小结与思考题微分法在几何上的应用(76)26思考题思考题微分法在几何上的应用(76)27思考题解答思考题解答,2,2,6000zyxn 设切点设切点),(000zyxM依题意知法向量为依题意知法向量为3,3 32236000 zyx,00 xy ,300 xz 切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程:,016930169320202200020 xxxxxx ,2 ).3,1(M微分法在几何上的应用(76)28课堂练习题课堂练习题微分法在几何上的应用(76)29微分法在几何上的应用(76)30课堂练习题答案课堂练习题答案微分法在几何上的应用(76)31实例
13、实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元。元。店主估店主估计，若本地牌子的每瓶卖计，若本地牌子的每瓶卖 x元，外地牌子的每元，外地牌子的每瓶卖瓶卖 y 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 70 5x+4y 瓶本地牌瓶本地牌子的果汁，子的果汁，80+6x 7y 瓶外地牌子的果汁。问：瓶外地牌子的果汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？最大收益？7.3.3 多元函数的极值多元函数的极值 微分法在几何上的应用(76)32每天的收益为每天的收益为),
14、(yxf)7680)(2.1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数的求最大收益即为求二元函数的 最大值最大值.(,)f x y微分法在几何上的应用(76)33多元函数的极值和最值：多元函数的极值和最值：播放播放微分法在几何上的应用(76)34多元函数的极值和最值：多元函数的极值和最值：微分法在几何上的应用(76)35多元函数的极值和最值：多元函数的极值和最值：微分法在几何上的应用(76)36多元函数的极值和最值：多元函数的极值和最值：微分法在几何上的应用(76)37多元函数的极值和最值：多元函数的极值和最值：微分法在几何上的应用(76)38多元函数的极值和最值：多元函数的极
15、值和最值：微分法在几何上的应用(76)39多元函数的极值和最值：多元函数的极值和最值：微分法在几何上的应用(76)40多元函数的极值和最值：多元函数的极值和最值：微分法在几何上的应用(76)41多元函数的极值和最值：多元函数的极值和最值：微分法在几何上的应用(76)42多元函数的极值和最值：多元函数的极值和最值：微分法在几何上的应用(76)43播放播放多元函数的极值和最值：多元函数的极值和最值：微分法在几何上的应用(76)44二元函数极值：二元函数极值：微分法在几何上的应用(76)45微分法在几何上的应用(76)46(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322
16、yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz 微分法在几何上的应用(76)47多元函数取得极值的条件：多元函数取得极值的条件：不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意),(yx),(00yx都都有有),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有),(0yxf),(00yxf,微分法在几何上的应用(76)48说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,微分法在几何上的应用(76)49例如
17、例如,点点)0,0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点.仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：问题：如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：微分法在几何上的应用(76)50微分法在几何上的应用(76)51将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1,1(P,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数
18、数,解解微分法在几何上的应用(76)5211|,|0,|,22xxPPxyPyyPPAzBzCzzz函函数数在在P有有极极值值.将将)1,1(P代代入入原原方方程程,有有6,221 zz,当当21 z时时，041 A,所所以以2)1,1(fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 A,所以所以6)1,1(fz为极大值为极大值.微分法在几何上的应用(76)53第第一一步步 解解方方程程组组(,)0,xfx y (,)0yfx y 求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，微分法在几何上的应用(76)54求最值的一般方法求最值的一般方法：将
19、函数在将函数在D内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在D的的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值者即为最大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.多元函数的最值：多元函数的最值：微分法在几何上的应用(76)55解解xyo6 yxDD如图如图,微分法在几何上的应用(76)56解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域D内内唯唯一一驻驻点点
20、)1,2(,且且4)1,2(f,再再求求),(yxf在在D边边界界上上的的最最值值，在边界在边界0 x和和0 y上上0),(yxf,微分法在几何上的应用(76)57在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6,2,621 yy,64)2,4(,0)6,0(ff 比较后可知比较后可知4)1,2(f为最大值为最大值,64)2,4(f为最小值为最小值.xyo6 yxD微分法在几何上的应用(76)58例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值.22222(1)2()0,(1)xxyx xyzxy 22222(1)2()0,(1)yxyy xyzxy 解解 由由微分法在几何上的应用
21、(76)592222223()(1)2(21)2,(1)xxxy xyx yxxyzxy 22222222()(1)4(12),(1)xyxyxyx xyxyzxy 又，因为又，因为2222223()(1)2(21)2,(1)yyxy xyy xyxyzxy 微分法在几何上的应用(76)60所以所以微分法在几何上的应用(76)61,21)21,21(z,21)21,21(z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21.无条件极值：无条件极值：除了限制自变量在定义域内，并除了限制自变量在定义域内，并无其它特殊条件无其它特殊条件.微分法在几何上的应用(76)62实例：实例：小王有小王有20
22、0元钱，他决定用来购买两种急元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。设他购买需物品：计算机磁盘和录音磁带。设他购买 x 张张磁盘，磁盘，y 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁盘设每张磁盘8元，每盒磁元，每盒磁带带10元，问如何分配这元，问如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果yxyxUlnln),(问题的实质：求问题的实质：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),(200108 yx条件极值条件极值(拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法):微分法在几何上的应用(76)63(,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.
23、xxyyfx yx yfx yx yx y 微分法在几何上的应用(76)64微分法在几何上的应用(76)65解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF,120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2,4,6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为微分法在几何上的应用(76)66例例 8 8 在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积最最小小，求求切切点点坐坐标标.解解设设),(000zyxP为为椭椭球球面面
24、上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxF,则则202|axFPx ，202|byFPy ，202|czFPz 过过),(000zyxP的切平面方程为的切平面方程为微分法在几何上的应用(76)67 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzV ,微分法在几何上的应用(76)68令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 00
25、0lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax,微分法在几何上的应用(76)69 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 微分法在几何上的应用(76)70多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值7.3.4 小结与思考题小结与思考题微分法在几何上的应用(76)71思考题思考题微分法在几何上的应用(76)72思考题解答思考题解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2),0(yyf 在在)0,0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0,(xxf 在在)0,0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0,0(不取极值不取极值.微分法在几何上的应用(76)73课堂练习题课堂练习题微分法在几何上的应用(76)74微分法在几何上的应用(76)75课堂练习题答案课堂练习题答案
