1、直线与椭圆的斜率定值问题方案一:通法本类问题主要考查的是椭圆的几何性质,直线和椭圆的位置关系及直线斜率,直线相交的问题,属于难题解决第二问时,涉及直线较多,采用设两条直线斜率,表示另外两条的方法,控制引入未知数个数,然后利用直线相交,表示交点坐标,需要较强的类比推理能力及运算能力,还要注意斜率是否存在,要有较强的分类讨论意识例1.已知椭圆C:的离心率为,且过点求椭圆C的方程;若是椭圆C上的两个动点,且使的角平分线总垂直于x轴,试判断直线PQ的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.练习1.已知椭圆()的离心率为,、是椭圆C的左、右焦点,P是椭圆C上的一个动点,且面积的最大值为(1)求
2、椭圆C的方程;(2)若Q是椭圆C上的一个动点,点M,N在椭圆上,O为原点,点Q,M,N满足,则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由法二:构建斜率的齐次式例2.已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作斜率为的两条直线分别交于异于点的两点.证明:当时,直线过定点练习2. 已知点在双曲线上,直线l交C于P,Q两点,直线的斜率之和为0求l的斜率;反思练习1.已知椭圆经过两点,为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,且与圆相交于两点,试问直线与的斜率之积是否为定值?若是,求出该定
3、值;若不是,说明理由.2.已知椭圆, ,左、右焦点为,点在椭圆上,且点关于原点对称,直线的斜率的乘积为.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线经过点,且与椭圆交于不同的两点,若,判断直线的斜率是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.3.已知椭圆()的离心率为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线()与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试探究是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.直线与椭圆的斜率定值问题解析方案一:通法本类问题主要考查的是椭圆的几何性质,直线和椭圆的位置关系及直线斜率,直线相交的问题,属于难题解决第二问时,涉及直线较多,采用设两条直线斜率,表示另外两条的
4、方法,控制引入未知数个数,然后利用直线相交,表示交点坐标,需要较强的类比推理能力及运算能力,还要注意斜率是否存在,要有较强的分类讨论意识例1.已知椭圆C:的离心率为,且过点求椭圆C的方程;若是椭圆C上的两个动点,且使的角平分线总垂直于x轴,试判断直线PQ的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,说明理由.【答案】 ;()【分析】(I)由离心率可得关系,再将点坐标代入,可得间关系,又,解方程可得的值;(II)由的角平分线总垂直于轴,可判断直线的斜率互为相反数,由两直线都过点,由点斜式可写出直线方程一一与椭圆方程联立,消去或的值,可得一元二次方程,又点满足条件,可求得点的坐标,用表示再由斜率公式可
5、得直线的斜率为定值【详解】() 因为椭圆的离心率为, 且过点, 所以, . 因为, 解得, , 所以椭圆的方程为. ()法1:因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为. 所以直线的方程为,直线的方程为.设点, ,由消去,得. 因为点在椭圆上, 所以是方程的一个根, 则, 所以. 同理.所以. 又. 所以直线的斜率为. 所以直线的斜率为定值,该值为. 法2:设点, 则直线的斜率, 直线的斜率. 因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 所以, 即, 因为点在椭圆上, 所以, . 由得, 得, 同理由得, 由得, 化简得, 由得,
6、得. 得,得. 所以直线的斜率为为定值. 法3:设直线的方程为,点, 则, 直线的斜率, 直线的斜率. 因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 所以, 即, 化简得. 把代入上式, 并化简得 . (*) 由消去得, (*) 则, 代入(*)得, 整理得,所以或. 若, 可得方程(*)的一个根为,不合题意. 若时, 合题意.所以直线的斜率为定值,该值为.练习1.已知椭圆()的离心率为,、是椭圆C的左、右焦点,P是椭圆C上的一个动点,且面积的最大值为(1)求椭圆C的方程;(2)若Q是椭圆C上的一个动点,点M,N在椭圆上,O为原点,点Q,M,N满足,则直线OM与直线ON的斜率之积是
7、否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由【答案】(1)(2)是定值,且定值为【分析】(1)根据题意列出关于,的方程组,解出,的值,即可求出椭圆方程;(2)设,所以,由得,代入得,所以,即,从而得到直线与直线的斜率之积为定值,且定值为【详解】解:(1)由题意可知:,解得,椭圆C的方程为:;(2)设,即,直线OM与直线ON的斜率之积为定值,且定值为方案二:构建斜率的齐次式例2.已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作斜率为的两条直线分别交于异于点的两点.证明:当时,直线过定点解:(1)由题意得得(2)由得设,则,令,则,设由,即则,直线过定点
8、练习2. 已知点在双曲线上,直线l交C于P,Q两点,直线的斜率之和为0求l的斜率;解:把代入得,解得,设,即令,则,设,由,即,则,即,反思练习1.已知椭圆经过两点,为坐标原点.(1)求椭圆的标准方程;(2)设动直线与椭圆有且仅有一个公共点,且与圆相交于两点,试问直线与的斜率之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.【答案】(1);(2)为定值,【分析】(1)将两点坐标代入椭圆方程,建立的方程组,即可求出结论;(2)先求出直线斜率不存在时的值,当直线斜率存在时,设其方程为,与椭圆方程联立,根据已知求出关系,再将直线与圆方程联立,根据根与系数关系将坐标用表示,进而求出,即可得出结论.【
9、详解】(1)依题意,解得,所以椭圆方程为.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为.若直线l的方程为,则M,N的坐标为,.若直线l的方程为,则M,N的坐标为,.当直线l的斜率存在时,可设直线,与椭圆方程联立可得,由相切可得,.又,消去得,设,则,.故为定值且定值为.综上,为定值且定值为.2.已知椭圆, ,左、右焦点为,点在椭圆上,且点关于原点对称,直线的斜率的乘积为.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线经过点,且与椭圆交于不同的两点,若,判断直线的斜率是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1);(2)直线的斜率为定值【分析】(1)利用斜率乘积为,可构造出方程组,求解得
10、到和,从而可得椭圆标准方程;(2)联立直线与椭圆方程,可得关于的一元二次方程;利用判别式大于零可求得的取值范围;利用韦达定理表示出和;根据,可得到;利用向量数量积坐标运算,代入韦达定理整理得到,解方程可求得结果.【详解】(1)由题意知:,又,可得:,椭圆的方程为:(2)设直线的方程为:将其代入,整理可得:则,得:设,则,又,且 又,所以又,化简得:,解得: 直线的斜率为定值3.已知椭圆()的离心率为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)若直线()与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试探究是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】(1) (2) 为定值,该定值为0.【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率公式,求得a2=4b2,将M代入椭圆方程,即可求得a和b的值,求得椭圆方程;(2)将直线l:代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,即可取得k1+k2=0试题解析:(1)依题意,解得,故椭圆的方程为;(2)法一:,下面给出证明:设, ,将代入并整理得,解得,且故,则,分子=,故为定值,该定值为0. 法二:,证明如下:设,即令,则,设,由,即,故为定值,该定值为0.